1、2.2 配方法配方法是继探索一元二次方程近似解的基础上研究的一种求精确解的方法它是一元二次方程的解法的通法因为用配方法解一元二次方程比较麻烦，一个一元二次方程需配一次方，所以在实际解一元二次方程时，一般不用配方法但是，配方法是导出求根公式的关键，且在以后的学习中，会常常用到配方法因此，要理解配方法，并会用配方法解一元二次方程.本节的重点、难点是配方法根据课程的特点，以及学生的认知结构特点，本节内容分三课时在教学时，首先从前面两节课的实例引入求精确解.因为我们已经能解形如(x+a) 2=b(b0)的方程，所以想到要求一个一元二次方程的精确解时，是否可把方程转化为已经能解的方程，这时引入了一元二次
2、方程的解法配方法配方法的关键是正确配方，而要正确配方就必须熟悉完全平方式的特征教学方法主要是学生自主探索、发现的方法2.2 配方法(一)教学目标(一)教学知识点1会用开平方法解形如(x+m) 2=n(n0)的方程 2理解一元二次方程的解法配方法(二)能力训练要求1会用开平方法解形如(x+m) 2=n(n0)的方程；理解配方法2体会转化的数学思想方法3能根据具体问题的实际意义检验结果的合理性(三)情感与价值观要求通过师生的共同活动，学生的进一步操作来增强其数学应用意识和能力教学重点利用配方法解一元二次方程教学难点把一元二次方程通过配方转化为(x+m) 2n(n0)的形式教学方法讲练结合法教具准备
3、投影片六张：第一张：问题(记作投影片221 A)第二张：议一议(记作投影片 221 B)第三张：议一议(记作投影片 221 C)第四张：想一想(记作投影片221 D)第五张：做一做(记作投影片221 E)第六张：例题(记作投影片221 F)教学过程创设现实情景，引入新课师前面我们曾学习过平方根的意义及其性质，现在来回忆一下：什么叫做平方根?平方根有哪些性质? 生甲如果一个数的平方等于 a，那么这个数就叫做 a 的平方根。 用式子表示：若 x2=a，则 x 叫做 a 的平方根生乙平方根有下列性质：(1)一个正数有两个平方根，这两个平方根是互为相反数的(2)零的平方根是零(3)负数没有平方根师很好
4、，那你能求出适合等式 x2=4 的 x 的值吗?生由 x24 可知，x 就是 4 的平方根因此 x 的值为 2 和-2师很好；下面我们来看上两节课研究过的问题(出示投影片221 A)如图，一个长为 10 m 的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为 8 m，如果梯子的顶端下滑1 m，那么梯子的底端滑动多少米?师由前节课的分析可知：梯子底端滑动的距离 x(m)满足 x2+12x-150上节课我们已求出了x 的近似值，那么你能设法求出它的精确值吗?这节课我们就来研究一元二次方程的解法讲授新课 师我们已经学习了一元二次方程的定义及有关概念，现在同学们来讨论一下：你能解哪些一元二次方程?生甲等式
5、 x2=4 就是一元二次方程，像这样类型的方程我们就能解.生乙方程(x+3) 29，我们也可以解，即是要求(x+3)，使它的平方等于 9，而 9 的平方根是 3和-3，所以(x+3)就等于 3 或-3，因此 x0 或 x-6师乙同学分析得很好，大家听清楚了没有?好，下面大家看大屏幕(出示投影片 221 B)你会解下列一元二次方程吗?你是怎么做的?(1)x25； (2)3x 20；(3)x2-40； (4)2x 2-500；(5)(x+2)25； (6)(x-3) 26；(7)2x2+500生甲方程(1)的解为 5 ，- ，因为 x 是 5 的平方根方程(2)的解为 0，因为方程 3x20 可以
6、化为 x20，即 x 是 0 的平方根生乙方程(3)可以通过移项化为方程(1)的形式，即 x24，所以方程(3)的根为 2，-2方程(4)也可以通过移项化为方程(2)的形式，即 2x250，然后再化为 x225，因此方程(4)的根为 5，-5生丙解方程(5)和(6)时，只要把(x+2)和(x-3)当作整体看待，其形式就如方程(1)，这样方程(5)和(6)即可求解方程(5)就是求(x+2)，使它的平方为 5，则 x+2 就等于 5或- ，因此，x 就等于-2+ 5或-2- 5方程(6)就是求(x-3)，使它的平方为 6，则(x-3)就等于 6 或- ，因此，x 等于3+ 6 或 3- 生丁方程(
7、7)通过移项得 2x2-50而由平方根的性质可知：负数没有平方根，所以没有一个实数适合这个方程师同学们分析得真棒，大家利用平方根的定义求解了一类一元二次方程，这种解一元二次方程的方法叫做直接开平方法其中适合方程(7)的实数 x 不存在，所以原方程无实数解从刚才的解题过程中，我们知道了一元二次方程如果有解，则它有两个根，这两个根可以是相等的，如方程(2)；也可以是不相等的，如方程(1)、(3)、(4)、(5)、(6)，所以我们在书写时，通常用x1、x 2表示未知数为 x 的一元二次方程的两个根注意：(1)方程 3x20 有两个相等的实数根，即 x1=0，x 2=0这与一元一次方程 3x=0 有一
8、个根 x0 是有区别的(2)刚才我们解的一元二次方程，可用形式 ax2+c=0 来表示当 a、c 异号时，方程 ax2+c0 有两个不相等的实数根；当 a、c 同号时，ax 2+c=0 没有实数根好，接下来同学们来看大屏幕(出示投影片221 C)。分组讨论讨论判断下列方程能否用开平方法来求解?如何解?(1)x2-4x+42；(2)x2+12x+365生甲方程(1)能用开平方法求解因为方程(1)的左边正好是一个完全平方式，右边是一个正数，所以它可以化为(x-2) 22这样利用直接开平方法可得 x-2= 2，即 x1=2+ 2，x 2=2- . 生乙方程(2)也能用平方法来解，方法同解方程(1)，
9、即原方程化为(x+6) 2=5两边分别开平方，得 x+6 5，即 x1-6+ ，x 2-6- 5师很好，同学们基本了解了解一元二次方程的基本思路，谁来给大家叙述一下呢?生解一元二次方程的基本思路是：把原方程变为(x+m) 2n，然后两边同时开平方，这样原方程就转化为两个一元一次方程师真棒，实际上解一元二次方程的关键是要设法将其转化为一元一次方程，即将原方程“降次”， “降次”也是一种数学方法下面我们来看能否求出方程 x2+12x-15=0 的精确值，同学们先来想一想：(出示投影片221 D)解方程 x2+12x-15=0 的困难在哪里?你能将方程 x2+12x-150 转化成(x+m) 2=n
10、 的形式吗?生解方程 x2+12x-150 的困难就是：怎么样能把 x2+12x-15=0 的左边变成一个完全平方形式，右边变成一个非负数师噢，那想一想完全平方式的特征是什么?生完全平方公式是:a 22ab+b2(ab) 2师好，下面大家来做一做(出示投影片221 E)填上适当的数，使下列等式成立(1)x2+12x+ (x+6) 2；(2)x2-4x+ =(x- )2；(3)x2+8x+ (x+ )2生甲(1)的左边应填上：36(2)的左边应填上 4，右边填；2(3)的左边应填上 16，右边填：4生乙老师，我看出来了，这三个等式的左边填的常数是：一次项系数一半的平方；而右边填的是：一次项系数的
11、一半是吗?师大家说呢?生齐声是师好，我们理解了完全平方式的特征后，把方程；x 2+12x-150 转化为(x+m) 2n 的形式师生共析x 2+12x-150，可以先把常数项移到方程的右边，得x2+12x15两边都加上 62(一次项系数 12 的一半的平方)，得x2+12x+62=15+62，即(x+6) 251师接下来能否求出方程 x2+12x-150 的精确值，即梯子底端滑动的距离呢?生齐声能，给方程两边开平方，得x+6 51，即 x+6 或 x+6- 51所以 x1-6+ ,2-6- 师噢，所以梯子底端滑动了(-6+ )m 或(-6- 51)m生老师，梯子底端滑动的距离是正数，不能是负数
12、，所以 x1是原问题的解，而 x2不是师大家说，对吗?生齐声对师很好，x 1，x 2是方程 x2+12x-150 的根，但 x2不是原问题的解，所以应舍去我们通过配成完全平方式的方法得到了一元二次方程 x2+12x-150 的根，这种解一元二次方程的方法称为配方法(Solving by completing the square)下面同学们来看一例题：(出示投影片221 F)例题解方程 x2+8x-90师大家能独立解这个方程吗?生齐声能解：可以把常数项移到方程的右边，得x2+8x9两边都加上 16，得x2+8x+169+16，即(x+4) 2=25开平方，得x+45，即 x+4=5 或 x+4
13、-5所以 x11，x 2-9师很好，由此我们可以知道：由配方法解一元二次方程的基本思路是将方程转化为(x+m) 2n的形式，它的一边是一个完全平方式，另一边是一个常数，当 n0 时，两边开平方便可求出它的根注；因为在实数范围内任何非负数都有平方根，所以当 n0 时，方程有解；当 n0)；(2)x2-a0(a0)；(3)(x-a)2b 2；(4)(ax+c)2d(d0，a0)过程通过对本题的探究，让学生了解字母系数的一元二次方程的解法与数字系数的一元二次方程的解法一样，因为负数没有平方根，因此只有在判明了方程的两边均是非负数时，才能开平方本题的(1)、(2)方程经过变形后，可得 x2a，因为给了
14、条件 a0 或 d0，所以可以对 a 进行开平方；方程(3)中，两边都是完全平方式，可以同时开平方；方程(4)是给了条件 d0，所以也可以直接开平方结果解：(1)化简为 x2=a因为 a0，所以两边同时开平方，得 x a，即 x1= ，x 2- (2)化简为 x2=a因为 a0，所以两边同时开平方，得 x a，即 x1= a，x 2- (3)两边同时开平方，得x-a= ，即 x-ab 或 x-a-b解关于 x 的方程，得x1=a+b，x 2=a-b(4)因为 d0，所以两边同时开平方，得 ax+c d即 ax+c= d或 ax+c= ，又因为 a0，x 1= ac ，x 2= adc注意：若题
15、目(4)中不给条件 d0，则要分情况讨论如下：若 d0 时，则有 ax+c d，得 x1 adc，x 2 ac若 d0，则有 ax+c0，所以 x1x 2-.若 d0，则因为一个数的平方不可能为负，所以本题无解 板书设计2.2 配方法(一)一、(1)x 24，x2(2)(x+3)29，x+33，x+33 或 x+3-3，x1=0，x 2-6这种方法叫直接开平方法(x+m)2n(n0)二、解：x 2+12x-150，x2+12x15，x2+12x+6215+6 2，即(x+6) 251，x+6 51，即 x+6 或 x+6- 51，x1-6+ ，x 2-6- (舍)梯子底端滑动的距离是(-6+ )米这种解一元二次方程的方法称为配方法例 1：解方程 x2+8x-90三、课堂练习四、课时小结五、课后作业
