1、高等教育自学考试辅导 概率论与数理统计（经管类） 2012 年 10 月真题讲解一、前言学员朋友们，你们好！现在，对全国 2012 年 10 月高等教育自学考试概率论与数理统计（经管类）试题进行必要的分析，并详细解答，供学员朋友们学习和应试参考。三点建议：一是在听取本次串讲前，请对课本内容进行一次较全面的复习，以便取得最佳的听课效果；二是在听取本次串讲前，务必将本套试题独立地做一遍，以便了解试题考察的知识点，与以及个人对课程全部内容的掌握情况，有重点的听取本次串讲；三是，在听取串讲的过程中，对重点、难点的题目，应该反复多听几遍，探求解题规律，提高解题能力。一点说明：本次串讲所使用的课本是 20
2、06 年 8 月第一版。二、考点分析1.总体印象对本套试题的总体印象是：内容比较常规，有的题目比较新鲜，个别题目难度稍大。内容比较常规： 概率分数偏高，共 74 分；统计分数只占 26 分，与今年 7 月的考题基本相同，以往考题的分数分布情况稍有不同； 除回归分析仅占 2 分外，对课本中其他各章内容都有涉及；几乎每道题都可以在课本上找到出处。如果粗略的把题目难度划分为易、中、难三个等级，本套试题容易的题目约占 24 分，中等题目约占 60 分，稍偏难题目约占 16 分，包括计算量比较大额题目。2.考点分布按照以往的分类方法：事件与概率约 18 分，一维随机变量（包括数字特征）约 22 分，二维
3、随机变量（包括数字特征）约 30 分，大数定律 4 分，统计量及其分布 6 分，参数估计 6 分，假设检验 12 分，回归分析 2 分。考点分布的柱状图如下三、试题详解选择题部分一、单项选择题（本大题共 10 小题，每小题 2 分，共 20 分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其选出并将“答题纸”的相应代码涂黑。错涂、多涂或未涂均无分。1.已知事件 A， B， A B 的概率分别为 0.5，0.4，0.6，则 P（ A ）=高等教育自学考试辅导 概率论与数理统计（经管类） A.0.1 B.0.2C.0.3 D.0.5答疑编号 918150101【答案】B【解析】因为 ，
4、所以 ，而 ，所以 ，即 ；又由集合的加法公式 P（ AB）= P（ A）+ P（ B）- P（ A B）=0.5+0.4-0.6=0.3，所以 0.50.30.2，故选择 B.快解 用 Venn 图可以很快得到答案：【提示】1. 本题涉及集合的运算性质：（i）交换律： A B=B A,AB=BA；（ii）结合律：（ A B） C=A（ B C）,（ AB） C=A（ BC）；（iii）分配律：（ A B） C=（ A C）（ B C）， （ A B） C=（ A C）（ B C）；（iv）摩根律（对偶律） , .高等教育自学考试辅导 概率论与数理统计（经管类） 2.本题涉及互不相容事件的概念
5、和性质：若事件 A 与 B 不能同时发生，称事件 A 与 B 互不相容或互斥，可表示为 AB ，且 P（AB）=P（A）+P（B）.3.本题略难，如果考试时遇到本试题的情况，可先跳过此题，有剩余时间再考虑。2.设 F（ x） 为随机变量 X 的分布函数，则有A. F（-）=0， F（+）=0 B. F（-）=1， F（+）=0C. F（-）=0， F（+）=1 D. F（-）=1， F（+）=1答疑编号 918150102【答案】C【解析】根据分布函数的性质，选择 C。【提示】分布函数的性质： 0 F（ x）1； 对任意 x1，x 2（x 10. 如果二维随机变量（ X,Y）的概率密度为，则称
6、（X,Y）服从区域 D 上的均匀分布. 本题 x2+y21 为圆心在原点、半径为 1 的圆，包括边界，属于有界区域，其面积 S=，故选择 D.【提示】课本介绍了两种二维连续型随机变量的分布：均匀分布和正态分布，注意它们的定义。若（ X,Y）服从二维正态分布，表示为（ X,Y） .4.设随机变量 X 服从参数为 2 的指数分布，则 E（2 X1）=A.0 B.1C.3 D.4答疑编号 918150104【答案】A【解析】因为随机变量 X 服从参数为 2 的指数分布，即 =2，所以 ；又根据数学期望的性质有 E（2X-1）=2E（X）-1=1-1=0，故选择 A.高等教育自学考试辅导 概率论与数理
7、统计（经管类） 【提示】1.常用的六种分布（1）常用离散型随机变量的分布：X 0 1概率 q pA. 两点分布 分布列 数学期望：E（X）=P 方差：D（X）=pq。B. 二项分布：XB（n,p） 分布列： ，k=0，1，2，n； 数学期望：E（X）=np 方差：D（X）=npqC. 泊松分布：XP（） 分布列： ，k=0，1，2， 数学期望：E（X）= 方差：D（X）（2） 常用连续型随机变量的分布 A.均匀分布：XUa,b 密度函数： , 分布函数： ， 数学期望：E（X） , 方差：D（X） .指数分布：XE（） 密度函数： , 高等教育自学考试辅导 概率论与数理统计（经管类） 分布函数
8、： ， 数学期望：E（X） , 方差：D（X） .C.正态分布（A）正态分布：XN（, 2） 密度函数： ，0, 则 P（B|A）=P（B）.12.设 A， B 为两事件，且 P（ A）= P（ B）= ， P（ A|B）= ，则 P（ | ）=_.答疑编号 918150202【答案】【解析】 ，由 1 题提示有 ，所以 ，所以 ，故填写 .高等教育自学考试辅导 概率论与数理统计（经管类） 【提示】条件概率：事件 B（P（B）0）发生的条件下事件 A 发生的概率 ；乘法公式 P（AB）=P（B）P（A|B）。13.已知事件 A， B 满足 P（ AB）= P（ ），若 P（ A）=0.2，则
9、P（ B）=_.答疑编号 918150203【答案】0.8【解析】 ，所以 P（B）=1-P（A）=1-0.2=0.8，故填写 0.8.【提示】本题给出一个结论：若 ，则有 .X 1 2 3 4 5P 2a 0.1 0.3 a 0.3，高等教育自学考试辅导 概率论与数理统计（经管类） 14.设随机变量 X 的分布律 则 a=_.答疑编号 918150204【答案】0.1【解析】2a+0.1+0.3+a+0.3=1，3a=1-0.7=0.3，所以 a=0.1，故填写 0.1.【提示】离散型随机变量分布律的性质：设离散型随机变量 X 的分布律为 PX=xk=pk，k1，2，3，（1）p k0，k1
10、，2，3，；（2） ；（3） .15.设随机变量 X N（1，2 2），则 P-1 X3=_.（附：（1）=0.8413）【答案】0.6826答疑编号 918150205【解析】（1）- （-1）=2（1）-1=20.8413-1=0.6826【提示】注意：正态分布标准化代换 为必考内容.16.设随机变量 X 服从区间2， 上的均匀分布，且概率密度 f（ x）=则 =_.答疑编号 918150206高等教育自学考试辅导 概率论与数理统计（经管类） 【答案】6【解析】根据均匀分布的定义， -2=4 ，所以 =6 ，故填写 6.17.设二维随机变量（ X， Y）的分布律0 1 20 0.1 0.1
11、5 01 0.25 0.2 0.12 0.1 0 0.1则 PX=Y=_.答疑编号 918150207【答案】0.4【解析】PX=Y=PX=0,Y=0+PX=1,Y=1+PX=2,Y=2=0.1+0.2+0.1=0.4故填写 0.4.18.设二维随机变量（ X， Y） N（0，0，1，4，0），则 X 的概率密度 fX （ x）=_.答疑编号 918150208【答案】 ，-0 （1,2,n）； A 1A 2A n=，高等教育自学考试辅导 概率论与数理统计（经管类） 则对于 内的任意事件 B，都有 ；（2）贝叶斯公式：条件同 A，则 ，I=1,2,n。（3）上述事件 A1,A2,An构成空间
12、的一个划分，在具体题目中，“划分”可能需要根据题目的实际意义来选择。27.已知二维随机变量（ X， Y）的分布律-1 0 10 0.3 0.2 0.11 0.1 0.3 0高等教育自学考试辅导 概率论与数理统计（经管类） 求：（1） X 和 Y 的分布律；（2）Cov（ X， Y）.答疑编号 918150302【分析】本题考查离散型二维随机变量的边缘分布及协方差。【解析】（1）根据二维随机变量（X,Y）的联合分布律，有X 的边缘分布律为X 0 1P 0.6 0.4Y 的边缘分布律为Y 1 0 1P 0.4 0.5 0.1（2）由（1）有E（X）=00.6+10.4=0.4，E（Y）=（-1）0
13、.4+00.5+10.1=-0.3又+1（-1）0.1+100.3+110=-0.1 所以 cov（X,Y）=E（XY）-E（X）E（Y）=-0.1-0.4（-0.3）=0.02。【提示】协方差：A）定义：称 E（X-E（X）（Y=E（Y）为随机变量 X 与 Y 的协方差。记做Cov（X,Y）.B）协方差的计算 离散型二维随机变量： ； 连续性二维随机变量： ； 协方差计算公式：cov（X,Y）=E（XY）-E（X）（Y）； 特例：cov（X,Y）=D（X）.C）协方差的性质：Cov（X,Y）Cov（Y,X）；Cov（aX,bY）abCov（X,Y），其中 a，b 为任意常数；Cov（X 1+
14、X2,Y）Cov（X 1,Y）Cov（X 2,Y）；若 X 与 Y 相互独立，Cov（X,Y）0，协方差为零只是随机变量相互独立的必要条件，而不是充分必要条件； ；高等教育自学考试辅导 概率论与数理统计（经管类） 四、综合题（本大题共 2 小题，每小题 12 分，共 24 分）28.某次抽样结果表明，考生的数学成绩（百分制）近似地服从正态分布 N（75， 2），已知 85 分以上的考生数占考生总数的 5%，试求考生成绩在 65 分至 85 分之间的概率.答疑编号 918150303【分析】本题计算过程可按服从正态分布进行。【解析】设考生的数学成绩为随机变量 X，已知 XN（75, 2），且其中
15、 Z N0,1。高等教育自学考试辅导 概率论与数理统计（经管类） 所以 。因此，考生成绩在 65 分至 85 分之间的概率约为 0.9.29.设随机变量 X 服从区间0，1上的均匀分布， Y 服从参数为 1 的指数分布，且 X 与 Y 相互独立.求：（1） X 及 Y 的概率密度；（2）（ X， Y）的概率密度；（3） PXY.答疑编号 918150304【分析】本题考查两种分布，相互独立的随机变量的性质及二维随机变量概率的计算。【解析】由已知 XU 0,1，YE（1），高等教育自学考试辅导 概率论与数理统计（经管类） （1） X 的概率密度函数为 ，Y 的概率密度函数为（2）因为 X 与 Y
16、 相互独立，所以 f（x,y）=f（x）f（y），则,（3）积分区域 D 如图所示，则有D：【提示】1. 1. 随机变量 X，Y 相互独立 。2.二重积分化二次积分的方法。3.定积分的第一换元法。高等教育自学考试辅导 概率论与数理统计（经管类） 五、应用题（10 分）30.某种产品用自动包装机包装，每袋重量 X N（500，2 2）（单位：g），生产过程中包装机工作是否正常要进行随机检验.某天开工后抽取了 9 袋产品，测得样本均值 =502g. 问：当方差不变时，这天包高等教育自学考试辅导 概率论与数理统计（经管类） 装机工作是否正常（ =0.05）?（附： u0.025=1.96）答疑编号
17、918150305【分析】本题考查单正态总体、方差已知、均值的假设检验。【解析】设假设检验的假设 H0：= 0=500；H 1： 0=500，已知 XN（500,2 2），所以选择适合本题的统计量u 统计量，由检验水平 =0.05，本题是双侧检验，所以查表得临界值从而得到拒绝域 根据样本得到统计量的样本观察值因为 ，所以拒绝 H0，即可以认为这台包装机的工作不正常。【提示】假设检验的基本步骤1.提出统计假设：根据理论或经验对所要检验的量作出原假设（零假设）H 0和备择假设 H1，要求只有其一为真。如对总体均值 检验，原假设为 H0：= 0，备择假设为下列三种情况之一：H 1： ，其中 i）为双
18、侧检验，ii），iii）为单侧检验。2.选择适当的检验统计量，满足： 必须与假设检验中待检验的“量”有关； 在原假设成立的条件下，统计量的分布或渐近分布已知。3.求拒绝域：按问题的要求，根据给定显著水平 查表确定对应于 的临界值，从而得到对原假设H0的拒绝域 W。4.求统计量的样本值并决策：根据样本值计算统计量的值，若该值落入拒绝域 w 内，则拒绝 H0，接受H1，否则，接受 H0。高等教育自学考试辅导 概率论与数理统计（经管类） 四、简要总结1.关于本套试题（1）整套考题（共 30 题）所有题目几乎均可在课本上找到其原型（2）两种考查内容所有的考试，包括中考、高考及考研，试题不外乎考查个内容
19、：知识和能力。考查知识其实就是考查对课本内容的理解和记忆，这类题目一般难度不大，而考查能力的题目的难度就比较大了。本套试题知识型题目约占 80 分左右，考查能力的部分约占 20 分左右，包括分析能力，推演能力和计算能力，所以，本套试题属于难度稍大的类型。2.关于复习的建议（1）认真看书，全面复习（2）加深理解，强化记忆3.关于选作习题（1） 重视例题和习题（2）正确选作课外题4.关于答卷的方法本套试题题目排列不是“从简到难”，比如，第一题就比较难，遇到这种情况，建议考生可跳过难题。只要把其它题目正确完成，就可以得到比较理想的分数。以上仅供学员朋友们参考。祝学员朋友们学习进步，在考试中取得理想的成绩！
