1、简谐运动及其图象【学习目标】1知道什么是弹簧振子以及弹簧振子是理想化模型。2知道什么样的振动是简谐运动。3明确简谐运动图像的意义及表示方法。4知道什么是振动的振幅、周期和频率。5理解周期和频率的关系及固有周期、固有频率的意义。6知道简谐运动的图像是一条正弦或余弦曲线，明确图像的物理意义及图像信息。7能用公式描述简谐运动的特征。【要点梳理】要点一、机械振动1弹簧振子弹簧振子是小球和弹簧所组成的系统，这是一种理想化模型如图所示装置，如果球与杆之间的摩擦可以忽略，且弹簧的质量与小球的质量相比也可以忽略，则该装置为弹簧振子2平衡位置平衡位置是指物体所受回复力为零的位置3振动物体（或物体的一部分）在平衡
2、位置附近所做的往复运动，叫做机械振动振动的特征是运动具有重复性要点诠释：振动的轨迹可以是直线也可以是曲线4振动图像（1）图像的建立：用横坐标表示振动物体运动的时间 ，纵坐标表示振动物体运动过程中对平t衡位置的位移 ，建立坐标系，如图所示x（2）图像意义：反映了振动物体相对于平衡位置的位移 随时间 变化的规律xt（3）振动位移：通常以平衡位置为位移起点，所以振动位移的方向总是背离平衡位置的如图所示，在 图像中，某时刻质点位置在 轴上方，表示位移为正（如图中 时刻） ，某时刻质xtt 12t 点位置在 轴下方，表示位移为负（如图中 时刻） 34 （4）速度：跟运动学中的含义相同，在所建立的坐标轴（
3、也称为“一维坐标系”）上，速度的正负号表示振子运动方向与坐标轴的正方向相同或相反如图所示，在 坐标轴上，设 点为平衡位置。 为位移最大处，则在 点速度最大，在xOAB O两点速度为零AB 在前面的 图像中， 时刻速度为正， 时刻速度为负t14t 23t 要点二、简谐运动1简谐运动如果质点的位移与时间的关系遵从正弦函数规律，即它的振动图像是一条正弦曲线，这样的振动叫做简谐运动简谐运动是物体偏离平衡位置的位移随时间做正弦或余弦规律而变化的运动，它是一种非匀变速运动物体在跟位移的大小成正比，方向总是指向平衡位置的力的作用下的振动，叫做简谐运动简谐运动是最简单、最基本的振动2实际物体看做理想振子的条件
4、（1）弹簧的质量比小球的质量小得多，可以认为质量集中于振子（小球） ；（2）当与弹簧相接的小球体积足够小时，可以认为小球是一个质点；（3）当水平杆足够光滑时，可以忽略弹簧以及小球与水平杆之间的摩擦力；（4）小球从平衡位置拉开的位移在弹簧的弹性限度内3理解简谐运动的对称性如图所示，物体在 与 间运动， 点为平衡位置， 和 两点关于 点对称，则有：ABOCDO（1）时间的对称：，4OBAOTtt，DCDDBACtt（2）速度的对称：物体连续两次经过同一点（如 点）的速度大小相等，方向相反D物体经过关于 点对称的两点（如 与 两点）的速度大小相等，方向可能相同，也可能相OC反4从振动图像分析速度的方
5、法（1）从振动位移变化情况分析：如图所示，例如欲确定质点 在 时刻的速度方向，取大于1Pt一小段时间的另一时刻 ，并使 极小，考查质点在 时刻的位置 （ ） ，可知t 1t 1t -t 1tx ，即 位于 的下方，也就是经过很短的时间，质点的位移将减小，说明 时刻质点速度1x 1P方向沿 轴的负方向同理可判定 时刻质点沿 轴负方向运动，正在离开平衡位置向负最大位移处2tx运动若 ，由简谐运动的对称特点，还可判断 和 时刻对应的速度大小关系为 。12x 1t2 12v （2）从图像斜率分析：图像切线斜率为正，速度方向为正方向，图像切线斜率为负，速度方向为负方向，斜率绝对值表示速度大小斜率大、速度
6、大要点三、描述简谐运动的基本概念1全振动一个完整的振动过程，称为一次全振动不管以哪里作为开始研究的起点，弹簧振子完成一次全振动的时间总是相同的2周期（1）定义：做简谐运动的物体完成一次全振动所需要的时间叫做振动的周期，用 表示T（2）单位：在国际单位制中，周期的单位是秒（ ） s（3）意义：周期是表示振动快慢的物理量周期越长表示物体运动得越慢，周期越短表示物体运动得越快（4）简谐运动的周期公式： 2mTk要点诠释：公式中 为做简谐运动物体的质量， 为做简谐运动物体受到的合外力跟位移的大小的比例常数3振幅（1）定义：振动物体离开平衡位置的最大距离，叫做振幅，用 表示A（2）单位：在国际单位制中，
7、振幅的单位是米（ ） m（3）意义：振幅是表示振动强弱的物理量要点诠释：振幅是一个标量，是指物体偏离平衡位置的最大距离它没有负值，也无方向，所以振幅不同于最大位移 在简谐运动中，振幅跟频率或周期无关在一个稳定的振动中，物体的振幅是不变的振动物体在一个全振动过程通过的路程等于 个振幅，在半个周期内通过的路4程是两个振幅，但 个周期内通过的路程不一定等于一个振幅可以比一个振幅大，也可以比一个14振幅小4频率（1）定义：单位时间内完成的全振动的次数，叫故振动的频率，用 表示常把物体在 内f1 s完成的全振动次数叫做频率（2）单位：在国际单位制中，频率的单位是赫兹（ ） Hz（3）意义：频率是表示物体
8、振动快慢的物理量频率越大表示振动得越快，频率越小表示振动得越慢（4）周期与频率的关系： 。1Tf（5）固有频率和固有周期：振子获得能量后，物体开始振动物体的振动频率，只是由振动系统本身的性质决定，与其他因素无关，其振动频率叫固有频率，振动周期也叫固有周期要点四、简谐运动的描述1简谐运动的表达式： sin()xAt（1）式中 表示振动质点相对于平衡位置的位移， 表示振动的时间x t（2） 表示振动质点偏离平衡位置的最大距离，即振幅A（3） 叫做简谐运动的圆频率，它也表示简谐运动物体振动的快慢与周期 及频率 的关系： Tf。2fT所以表达式也可写成：或 sinxAtsin(2)xAft（4） 表示
9、 时，简谐运动质点所处的状态，称为初相位或初相 代表了简谐运动0t t的质点在 时刻处在一个运动周期中的哪个状态，所以代表简谐运动的相位t（5）简谐运动的位移和时间的关系也可用余弦函数表示成： ，注意同cos()2xAt一振动用不同函数表示时相位不同，而且相位 是随时间变化的量t（6）相位每增加 就意味着完成了一次全振动22测量弹簧振子周期的方法弹簧振子的周期一般较小，测定其周期时，一般是用秒表测出振子完成 次全振动所用的时间 ，nt则tTn值取大一些（如 ）可以减小周期的测量误差503计算振动物体通过的路程的方法一个周期内，振子的运动路程为 若全振动的次数为 ，则振动物体通过的路程为 4An
10、4nA4对一次全振动的认识对简谐运动的物体，某一阶段的振动是否为一次全振动，可以从以下两个角度判断：一是从物体经过某点时的特征物理量看，如果物体的位移和速度都回到原值（大小、方向两方面），即物体完成了一次全振动；二是看物体在这段时间内通过的路程是否等于振幅的四倍5相位差是指两个相位之差，在实际中经常用到的是两个具有相同频率的简谐运动的相位差，反映出两简谐运动的步调差异设两简谐运动 和 的振动方程分别为：AB，11sin()xt，22它们的相位差为2121()()tt可见，其相位差恰好等于它们的初相之差，因为初相是确定的，所以频率相同的两个简谐运动有确定的相位差若，210则称 的相位比 的相位超
11、前 ，或 的相位比 的相位落后 ；BAAB若，210则称 的相位比 的相位落后 ，或 的相位比 的相位超前 （1）同相：相位差为零，一般的为2012n （ ， ， ， ）（2）反相：相位差为 ，一般的为() （ ， ， ， ）要点诠释：比较相位或计算相位差时，要用同种函数来表示振动方程，相位差的取值范围：6振动图像的信息如图所示，则（1）从图像上可知振动的振幅为 ；A（2）从图像上可知振动的周期为 ；T（3）从图像上可知质点在不同时刻的位移， 时刻对应位移 ， 时刻对应位移 ；1t1x2t2x（4）从图像上可以比较质点在各个时刻速度的大小及符号（表示方向） ，如 时刻质点的速度较1t时刻质点的
12、速度小， 时刻质点的速度为负， 时刻质点的速度也为负（ 时刻是质点由最大位移2t 1t 2t处向平衡位置运动过程的某一时刻，而 时刻是质点由平衡位置向负的最大位移运动过程中的某一时2t刻） ；（5）从图像上可以比较质点在各个时刻加速度的大小及符号，如 时刻的加速度较质点在 时1t 2t刻的加速度大， 时刻质点加速度符号为负， 时刻质点加速度符号为正；1t 2t（6）从图像可以看出质点在不同时刻之间的相位差7简谐运动的周期性简谐运动是一种周而复始的周期性的运动，按其周期性可作如下判断：（1）若，21tnT 则 两时刻振动物体在同一位置，运动情况相同（2）若，12tnT则 两时刻，描述运动的物理量
13、 均大小相等，方向相反12t xFav （3）若 214tnT或，213t则当 时刻物体到达最大位移处时， 时刻物体到达平衡位置；当 时刻物体在平衡位置时，2t 1t时刻到达最大位移处；若 时刻，物体在其他位置， 时刻物体到达何处就要视具体情况而定2t 1t 2t【典型例题】类型一、简谐运动的基本概念例 1关于机械振动的位移和平衡位置，以下说法中正确的是（ ） A平衡位置就是物体振动范围的中心位置B机械振动的位移总是以平衡位置为起点的位移C机械振动的物体运动的路程越大，发生的位移也越大D机械振动的位移是指振动物体偏离平衡位置最远时的位移【思路点拨】平衡位置是物体所受回复力为零时所在的位置【答案
14、】B 【解析】平衡位置是物体可以静止时的位置，所以应与受力有关，与是否为振动范围的中心位置无关如乒乓球竖直落在台面上的运动是一个机械振动，显然其运动过程的中心位置应在台面上，所以 A 项不正确；振动位移是以平衡位置为初始点，到质点所在位置的有向线段，振动位移随时间而变，振子偏离平衡位置最远时，振动物体振动位移最大，所以只有选项 B 正确【总结升华】位移和平衡位置是机械振动问题中非常重要的概念位移的正负方向应该作出规定，平衡位置则是物体所受回复力为零时所在的位置举一反三:【高清课堂：简谐振动及其图像例 1】【变式 1】一质点做简谐运动，其振动图象如图所示，则（ ） A振幅是 2cmB振动频率为
15、4HzC 时，质点速度为正且最大3stD 时，质点速度为正且最大4【答案】A C【变式 2】一质点作简谐运动，图象如图所示，在 到 这段时间内，质点的运动情况是0.2s.3（ ） A沿负方向运动，且速度不断增大B沿负方向运动的位移不断增大C沿正方向运动，且速度不断增大D沿正方向的加速度不断减小【答案】C D类型二、振动图像的理解例 2如图是用频闪照相的方法获得的弹簧振子的位移一时间图像，下列有关该图像的说法正确的是（ ） A该图像的坐标原点建立在弹簧振子小球的平衡位置B从图像可以看出小球在振动过程中是沿 轴方向移动的tC为了显示小球在不同时刻偏离平衡位置的位移，让底片沿垂直 轴方向匀速运动xD
16、图像中小球的疏密显示出相同时间内小球位置变化快慢不同【答案】A、C、D【解析】由图可直观地获得以下信息： 时刻振子的位置振子的振动方向底片的运0动方向（ 轴负方向） 振动速度的变化等由图像可见， 时刻振子位移为 ，故位于平衡位置，t 00A 项正确；小球只在 轴上振动，横轴虽是由底片匀速运动得到的位移，但 ，已转化成了时间x xvt轴，B 项错误，C 项正确；图像中两相邻小球之间的时间间隔相同，疏处说明其位置变化快，密处说明其位置变化慢，故 D 项正确类型三、根据质点振动判断振动图像例 3一弹簧振子沿 轴振动，振幅为 ，振子的平衡位置位于 轴上的 点如图甲中的x4 cmx0为四个不同的振动状态
17、：黑点表示振子的位置，黑点上的箭头表示运动的方向如图乙abcd 给出的四条振动曲线，可用于表示振子的振动图像的是（ ） A若规定状态 时 ，则图像为 B若规定状态 时 ，则图像为a0tb0tC若规定状态 时 ，则图像为 D若规定状态 时 ，则图像为c d【思路点拨】把振动图像和振动的情景结合起来，由图像获取信息形成物理情景，或由实际运动情景转化为振动图像并注意规定正方向和零时刻不同。【答案】A、D【解析】振子在状态 时 ，此时的位移为 ，且向规定的正方向运动，故选项 A 正a0t3 cm确振子在状态 时 ，此时的位移为 ，且向规定的负方向运动。相应的图中初始位移不bt2 对振子在状态 时 ，此
18、时的位移为 ，且向规定的负方向运动，相应的图中运动方向及c 初始位移均不对振子在状态 时 ，此时的位移为 ，速度为零，故选项 D 正确dt 4 【总结升华】解决振动问题技巧之一是把振动图像和振动的情景结合起来，由图像获取信息形成物理情景，或由实际运动情景转化为振动图像并注意规定正方向和零时刻不同。振动图像的形状一般不同举一反三:【变式 1】一个弹簧振子在 间做简谐运动， 为平衡位置，如图甲所示，从某时刻起开始AB O计时 ，经过 周期，振子具有正向最大速度，则如图乙所示的图象中，哪一个能正确反映振0t/4子的振动情况？【答案】C【变式 2】 （1）做简谐振动的物体，振动周期为 ，从振子经过平衡
19、位置时开始计时，那么当2s时，物体（ ） .stA正在做加速运动，且加速度逐渐增大B 正在做加速运动，且加速度逐渐减小C 正在做减速运动，且加速度逐渐增大 D正在做减速运动，且加速度逐渐减小（2）如上图是竖直放置的弹簧振子不计空气阻力时的振动情况。由图可知：弹簧振子相对平衡位置的位移 和时间 的函数关系为_；若从如图位置开始计时，则位移 和时间 的xt xt函数关系为_，请在原图上画出该图象。【答案】 （1）C （2） ，0.5sin(-)m2xt=0.5sin()mxt【解析】 （1） 秒等于 个周期，从振子经过平衡位置时开始计时，向上还是向下振动，没.6有说，可以分别设开始时向上、向下振动
20、，都在远离平衡位置，即做减速运动，加速度逐渐增大。（2）分析右图，由振幅、周期，算出角速度 ，初相位为 ，从而写出振动方程。-2由左图可知，从振子经过平衡位置向上时开始计时，振幅、周期与右图均相同，初相位为零，从而写出振动方程。类型四、简谐运动的位移、振幅、路程的关系及简谐振动周期性的多解问题例 4一个质点做简谐运动，振幅是 ，频率为 ，该质点从平衡位置起向正方向运动，4 cm2.5 Hz经 ，质点的位移和路程分别是（ ） 2.5sA B C Dcm2 10 01cm 4 c10 m 【答案】D【解析】 由1fT得，0.4sf12.56tT每个周期质点通过的路程为，4 cm 故质点的总路程，1
21、60cs质点 时刻从平衡位置向正向位移运动，经过 周期运动到正向最大位移处，即位移014，4 cx故 D 项正确【总结升华】求路程时，首先应明确振动过程经过几个整数周期，最后再分析最后不到一个周期的时间内的路程，两部分之和即为总的路程，振子在 周期内的路程可能等于一个振幅，也可能大14于一个振幅，还可能小于一个振幅，只有从平衡位置或最大位移处开始运动， 周期内的路程才等14于一个振幅例 5一质点在平衡位置 附近做简谐运动，从它经过平衡位置起开始计时，经 质点第一O0.3 s次通过 点，再经 第二次通过 点，则质点振动周期是多少？M0.1 sM【思路点拨】由于振动的往复性，质点经过某一位置时，因
22、速度方向不一致会导致多解【答案】 .72 .4 【解析】将物理过程模型化，画出具体化的图景，如图甲所示，设质点从平衡位置 向右运动O到 点，那么质点从 到 运动时间为 。再由 经最右端 返回 ,经历时间 ，如图O0.13 sAM0.1 s乙所示另一种可能就是 点在 点左方。如图丙所示，质点由 经右端最大位移 处向左经过O点到达 历时 ，再由 向左经左端最大位移 处返回 点历时 ，根据以上分析，OM0.13 s . s质点振动周期共存在两种可能性一种可能如图乙所示，可以看出 历时 0.18 秒根据对称性可得到周期性：1=4.8 s.72 T另一种可能如图丙所示，由 历时 由 历时 ，则OAM10
23、.3 stMA20.5 st，2124()0.4s3Tt所以质点的振动周期的可能值为 和 .72 s.4 【总结升华】由于简谐运动的周期性，结合初始条件的不确定性。往往引起此类问题的多解，解决此类问题时要对题目分析透彻、弄清各种可能性，切勿丢解类型五、由简谐振动的表达式求物理量例 6物体 做简谐运动的振动位移 ，物体 做简谐运动的振动位移A3sin(10)m2AxtB，比较 的运动（ ） 5sin(10)mBxtB A振幅是矢量， 的振幅是 ， 的振幅是6 B周期是标量， 的周期都是A 10 sC 振动的频率 等于 振动的频率fBfD 的相位始终超前 的相位B3【答案】C、D【解析】振幅是标量
24、， 的振动范围分别是 。但振幅分别为 ，A 项错误；A 6 m10 3 m5 的振动周期 ，B 项错误；因 ，故 ，C 项正确；AB 226.810sTABTABf为定值， D 项正确3类型六、由图像比较速度、加速度大小和方向问题例 7如图为某一质点的振动图像，由图可知，在 和 两时刻 ，质点速度 与加1t212x 12v 速度 的关系正确的是（ ） 12a A ，方向相同12v B ，方向相反12v C ，方向相同aD ，方向相反12 【思路点拨】图像不是振动物体的运动轨迹【答案】A、D【解析】在 时刻，质点向平衡位置运动，在 时刻，质点向远离平衡位置运动，故速度 与1t 2t 1v方向相同
25、，由于 ，所以 ，A 对；在 和 时刻，质点离开平衡位置的位移方向2v2x 12v 12t相反。因而回复力方向相反，加速度方向相反，但 ， 时刻的回复力大于 时刻的回复力，x 2t故 ，D 对12a 【总结升华】处理振动图像问题一定要把图像还原成质点的实际振动过程来分析。图像不是振动物体的运动轨迹例 8有一个在光滑水平面内的弹簧振子，第一次用力把弹簧压缩 后释放让它振动，第二次把x弹簧压缩 后释放让它振动，则先后两次振动的周期之比和振幅之比分别为（ ） 2xA B C D1 12 14 12 【答案】B【解析】弹簧的压缩量即为振子振动过程中偏离平衡位置的最大距离，即振幅，故振幅之比为而对同一振
26、动系统。其周期与振幅无关，故周期之比为 2 【总结升华】振动周期由振动系统自身的性质决定，与振幅无关类型七、由图像获得物理量信息的问题例 9 如图所示，是一个质点的振动图像，根据图像回答下列问题：（1）振动的振幅；（2）振动的频率；（3）在 时质点的振动方向；0. s.3 0.5 s.7 t （4）质点速度首次具有负方向最大值的时刻和位置；（5）质点运动的加速度首次具有负方向最大值的时刻和位置；（6）在 至 这段时间内质点的运动情况0. s.8 【答案】见解析【解析】 （1）振幅为最大位移的绝对值，从图像可知振幅 5 cmA（2）从图像可知周期 ，则振动的频率：0. sT。Hz125.8f（3
27、）由各时刻的位移变化过程可判断：时，质点的振动方向向上；0 s7 t 时，质点的振动方向向下（4）质点在 通过平衡位置时，首次具有负方向的速度最大值4 （5）质点在 时处于正向最大位移处时，首次加速度具有负方向的最大值.2（6）在 至 这段时间内，从图像上可以看出，质点沿负方向的位移不断减小，说明质s8点正沿着正方向由负向最大位移处向着平衡位置运动，所以质点做加速运动【总结升华】判断质点速度和位移要结合质点振动的物理情境类型八、振子对称性及周期性的应用例 10一弹簧振子做简谐运动，周期为 （ ） TA若 时刻和（ ）时刻振子运动速度的大小相等、方向相反，则 一定等于 的整数tt t/2T倍B若
28、 时刻和（ ）时刻振子运动位移的大小相等、方向相同，则 一定等于 的整数倍C若 ，则在 时刻和（ ）时刻弹簧的长度一定相等/2tTttD若 ，则在 时刻和（ ）时刻振子运动的加速度一定相等【思路点拨】位移和速度均大小相等、方向相反的两个时刻之间的时间为半个周期的奇数倍位移和速度均相同的两个时刻之间的时间为周期的整数倍【答案】D【解析】若 或 （ ） ，则在 和（ ）两时刻振/2tT/2tnT 1, 3 tt子必在关于平衡位置对称的两位置（包括平衡位置） ，这两时刻，振子的位移、加速度、速度等均大小相等、方向相反，但在这两时刻弹簧的长度并不一定相等 只有当振子在 和（ ）两时刻均tt在平衡位置时
29、，弹簧长度才相等反过来，若在 和（ ）两时刻振子的位移、加速度和速度均tt大小相等、方向相反，则 一定等于 的奇数倍，即 （ ） 如t/2(21)Tn, 23 果仅仅是振子的速度在 和（ ）两时刻大小相等、方向相反，那么不能得出 ， (1)Ttn更不能得出 （ ） 根据以上分析，A、C 选项均错2Ttn1, 3 若在 和（ ）两时刻，振予的位移、加速度、速度等均相同，则 （t） ，但仅仅根据两时刻振子的位移相同，不能得出 ，所以 B 选项错若1,3n nT，在 和（ ）两时刻，振子的位移、加速度、速度等均大小相等、方向相同，D 选项正tTtt确【总结升华】不能仅根据两时刻位移或速度是否大小相等、方向相反来判断这一段时间是不是半个周期的奇数倍，必须是位移和速度均大小相等、方向相反的两个时刻之间的时间才为半个周期的奇数倍同样，也不能仅根据两时刻位移或速度是否相同来判断这一段时间是不是周期的整数倍，必须是位移和速度均相同的两个时刻之间的时间才为周期的整数倍
