1、直线、平面平行的判定及其性质,走进高考第一关 基础关,教 材 回 归,1.直线与直线 (1)空间两条直线的位置关系有_、_、_三种 (2)过直线外一点_一条直线和这条直线平行 (3)公理4：平行于同一条直线的两条直线互相_，又叫做空间平行线的传递性,平行,相交,异面,有且仅有,平行,(4)定理：如果一个角的两边与另一个角的两边分别对应平行，并且方向相同，那么这两个角_ (5)空间四边形：顺次连结不共面的四点A、B、C、D所构成的图形，叫做_，这四个点中的各个点叫做空间四边形的顶点；所连结的相邻顶点间的线段叫做_；连结不相邻的顶点的线段叫做_空间四边形用表示顶点的四个字母表示,空间四边形的对角线
2、,相等,空间四边形,四边形的边,2直线与平面平行 (1)直线与平面的位置关系有： 1)平行：_ 2)_：直线和平面有且只有1个公共点 3)直线在平面内：_，其中1)、 2)也叫_,直线和平面没有公共点,相交,直线和平面有无数个公共点,直线在平面外,(2)直线与平面平行 1)判定定理：平面外的一条直线与_，则该直线就与此平面平行 2)性质定理：一条直线和一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的_也与该直线平行,平面内的一条直线平行,交线,3平面与平面平行 (1)平面与平面的位置关系 1)平行_ 2)_有一条公共直线 (2)平面与平面的平行 1)判定定理：_. 2)性质定理：如果两个平面平行
3、同时和第三个平面相交，那么它们的交线_,平行,两平面无公共点,两平面相交,一个平面内的两条相交直线与另一平面平行， 则这两个平面平行,考 点 陪 练,1.设AA是长方体的一条棱，这个长方体中与AA平行的棱共有( ) A1条 B2条 C3条 D4条,解析：AABBCCDD.,答案：C,2b是平面外一条直线，下列条件中可得出b的是( ) Ab与内一条直线不相交 Bb与内两条直线不相交 Cb与内无数条直线不相交 Db与内任意一条直线不相交,解析：只有在b与内所有直线都不相交，即b与无公共点时，b.,答案：D,3在空间，下列命题正确的是( ) A若a，ba，则b B若a，b，a，b，则 C若，b，则b
4、 D若，a，则a,解析：若a，ba，则b或b，故A错误；由面面平行的判定定理知，B错误；若，b，则b或b，故C错误,答案：D,4.已知两个不同的平面和两条不重合的直线mn,有下列四个命题:若mn,n ,则m;若m,n ,则mn;若,m ,则m. 其中正确命题的个数是( ) A.1 B.2 C.3 D.0,答案:A,解析:有可能m ;mn还可能是异面直线;正确,故正确答案是A.,5a，b，c为三条不重合的直线，、为三个不重合的平面，现给出四个命题： 其中正确的命题是_,答案：,解读高考第二关 热点关,类型一：直线与直线平行,解题准备：平行于同一直线的两条直线互相平行,典例1如图，若a，b，c，且
5、ab，求证：abc.,分析 利用线面平行的判定定理及性质定理及公理4即可证得,证明 ba，a，b， b(线线平行，则线面平行) b，c， bc(线面平行，则线线平行)，abc.,评析 (1)判定定理应用时要注意条件是平面外的一条直线，应用性质定理时注意确保这条直线是经过这条直线的平面与已知平面的交线，条件必须充分满足了才得结论(2)本题证明是：线线线面线线,类型二：线面平行,解题准备：1.证明线面平行的方法 (1)依定义采用反证法 (2)判定定理法(线线平行线面平行) (3)面面平行的性质定理(面面平行线面平行),2应用线面平行判定定理的思路 在应用线面平行的判定定理证明线面平行时，要在平面内
6、找(或作)一条直线与已知直线平行，在找(或作)这一条直线时，由线面平行的性质定理知，在平面内和已知直线共面的直线才和已知直线平行，所以要通过平面来找(或作)这一条直线在应用其他判定定理和性质定理时，要注意充分利用条件构造定理的题设，在分析思路时也要以定理作为指导,典例2如图，正方体ABCDA1B1C1D1中，侧面对角线AB1，BC1上分别有两点E，F且B1EC1F. 求证：EF平面ABCD.,分析 要证EF平面ABCD，方法有两种：一是利用线面平行的判定定理，即在平面ABCD内确定EF的平行线；二是利用面面平行的性质定理，即过EF作与平面ABCD平行的平面,证明 方法一：过E作EMAB于M，过
7、F作FNBC于N，连结MN(如图)则EMBB1，FNBB1， EMFN.,AB1BC1，B1EC1F， AEBF， EMFN， 四边形EMNF是平行四边形，EFMN. 又EF平面ABCD，MN平面ABCD， EF平面ABCD.,方法二：连结B1F，并延长交BC的延长线于点P，连结AP(如图) BPB1C1， B1FC1PFB， 又EF平面ABCD，AP平面ABCD， EF平面ABCD.,方法三：过点E作EHBB1于点H，连结FH(如图) B1C1BC，FHBC. EHFHH， 平面EFH平面ABCD. EF平面EFH， EF平面ABCD.,评析 判断或证明线面平行的常用方法有： (1)利用线面
8、平行的定义(无公共点)； (2)利用线面平行的判定定理(a，b，aba)； (3)利用面面平行的性质定理(，aa)； (4)利用面面平行的性质(，a，a，aa),探究1 如图，已知：P是ABCD所在平面外一点，M为PB的中点 求证：PD平面MAC.,分析 根据线面平行判定定理知要证线面平行关键是寻找线线平行,证明 连结AC、BD相交于O点，连结MO. O为BD的中点，M为PB的中点，MOPD. 又MO平面ACM，PD平面ACM， PD平面MAC.,评析 证明线面平行，关键是在平面内找一条直线b，使ab，如果没有现成的平行线，应根据条件作出平行线，有中点的常作中位线，简称中位线法,类型三：面面平
9、行的证明方法,解题准备：1.证明面面平行的方法除了面面平行的判定定理外，还有： (1)如果两个平面垂直于同一条直线，那么这两个平面平行 (2)如果两个平面和同一个平面平行，那么这两个平面平行,2平行问题的转化方向如图所示：,注意：(1)在平面和平面平行的判定定理中，“两条相交直线”中的“相交”两个字不能忽略，否则结论不一定成立 (2)若由两个平面平行来推证两条直线平行，则这两条直线必须是这两个平行平面与第三个平面的交线，有时第三个平面需要作出来,典例3如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，其棱长为1. 求证：平面AB1C平面A1C1D,分析 要证明面AB1C面A1C1D，根据面面平行的判定
10、定理或推论，只要证明AC面A1C1D，AB1面A1C1D，且ACAB1A，即可,评析 证明平面与平面相互平行，一般利用面面平行的判定定理或其推论，将面面平行转化为线面平行或线线平行来证明具体方法有： (1)面面平行的定义； (2)面面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行； (3)利用垂直于同一条直线的两个平面平行； (4)两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行； (5)利用“线线平行”、“线面平行”、“面面平行”的相互转化,探究2 如图所示，三棱柱ABCA1B1C1，D是BC上一点，且A1B平面AC1D，D1是B1C1的中点，求证：平面A
11、1BD1平面AC1D.,解 连结A1C交AC1于点E， 四边形A1ACC1是平行四边形， E是A1C的中点，连结ED， A1B平面AC1D， 平面A1BC平面AC1DED， A1BED， E是A1C的中点，D是BC的中点 又D1是B1C1的中点， 在三棱柱ABCA1B1C1中，BD1C1D，A1D1AD， 又A1D1BD1D1，ADC1DD 平面A1BD1平面AC1D.,笑对高考第三关 成熟关,名 师 纠 错,误区：以特殊代替一般、以偏概全致误,典例已知，AB，CD是夹在与间的两条线段，点E，F分别在AB，CD上，且AE:EBCF:FDm:n， 求证：EF，EF.,剖析 容易利用下图(1)或图
12、(2)中的特殊图形代替一般证明，对AB与CD异面这种更一般的情形缺乏分析，由此产生特殊代替一般的证明错误,正解 当AB，CD共面时，如图(1)、(2)所示，根据平行线分线段成比例定理，知EFAC，EFBD，立即推出EF，EF；当AB，CD异面时，如图(3)所示，过点A作AGCD交平面于点G，连接DG，过点F作FHAC交AG于点H，连接HE.由，知ACGD，则HFGD，所以HF；由于ACHFGD，故CF:FDAH:HGm:nAE:EB，则EHBG，所以EH.综上，可知平面EFH平面，又，故平面EFH 平面.由于EF平面EFH，故EF，EF.,评析 在立体几何中当已知两条直线时，要充分考虑到这两条
13、直线的各种位置关系，不要只考虑两条直线共面的情况，还要把它们异面的情况考虑进去由于空间图形位置关系的多样性，就导致了部分考生仅仅凭借这种多样位置关系的一种解决问题的情况，导致解答不全,变式：如图所示，平面四边形ABCD的四个顶点A，B，C，D均在平行四边形ABCD所确定的平面外，且AA，BB，CC，DD互相平行 求证：四边形ABCD是平行四边形,证明：四边形ABCD 是平行四边形，ADBC. AABB，且AA，AD是平面AADD内的两条相交直线，BB，BC是平面BBCC内的两条相交直线，平面AADD平面BBCC. 又AD，BC分别是平面ABCD与AADD，平面BBCC的交线，故ADBC.同理可
14、证ABCD. 四边形ABCD是平行四边形.,解 题 策 略,1.线线平行、线面平行、面面平行的转换 2解答或证明线面、面面平行的有关问题，常常要作辅助线或辅助面,注意：(1)所作的辅助线或面需要有理论依据； (2)辅助线或面具有什么性质，一定要以某一性质定理作为依据，不能随意添加,3证“线面平行”的方法 (1)依定义采用反证法； (2)判定定理(线线线面)； (3)面面平行的性质定理(面面线面)； (4)向量法(平面外的直线的方向向量a与平面的法向量n垂直，即an0),4证明“面面平行”的方法 (1)依定义采用反证法； (2)用判定定理或推论； (3)用“同垂直于一条直线的两个平面平行”来判定
15、； (4)依据平行于同一个平面的两个平面平行来判定； (5)向量法(两个平面的法向量平行),快 速 解 题,典例 如图所示，已知E，F分别是正方体ABCDA1B1C1D1棱AA1，CC1上的点且AEC1F. 求证：四边形EBFD1是平行四边形,错解 在正方体ABCDA1B1C1D1中，平面A1ADD1平面B1BCC1， 由两平行平面与第三平面相交，得交线平行， 故D1EFB，同理可证D1FEB， 故四边形EBFD1为平行四边形,错解分析 错解主要错在盲目地在立体几何证明中套用平面几何定理立体几何问题只有在化归为平面几何问题后才能直接使用平面几何知识解题正确的思路应分为两步，第一步将立体几何问题
16、化归为平面几何问题，即先证明四边形EBFD1为平面四边形(四点共面)，第二步再证四边形EBFD1为平行四边形，或者用平行四边形的充要条件证明,教 师 备 选,典例(一题多法)一条直线分别与两个相交平面平行，那么这条直线必与它们的交线平行 已知：平面平面l，直线a平面，直线a平面. 求证：直线a直线l.,证明 证法1：作辅助平面如图， a，过a作平面交平面于c， ac(线面平行的性质定理) 同理过a作平面交平面于d， ad. 由公理4，ac，ad，得cd， 又c，d，cd， c(线面平行的判定定理) c，c，l， cl(线面平行的判定定理) 又ac，由公理4，al.,证法2：同一法 如图，在平面
17、和平面的交线l上取一点A，过A作直线la.a， l在内(一条直线与一个平面平行，那么过平面内的一点而与这条直线平行的直线都在这个平面内) 同理a，l也在内 l既在平面内，又在平面内 由公理3知l就是平面与平面的交线， 即l与l重合 又la，la.,证法3：利用平行线关系 如图，a，过a作平面交平面于不同于直线l的直线c，则ca. 又a，c.而平面是过c的平面且与平面相交于直线l. 由线面平行的性质定理，得cl. 又ac，由公理4知，al.,证法4：错助辅助平面 如图，过平面与平面的交线l上一点A和直线a作平面. 与、有公共点A，则分别与、有过A的一条交线，设为l与l，但过A点有且只有一条直线平
18、行于a， l与l重合，且这条直线既在平面内，又在平面内，故一定是平面与平面的交线l. l、l、l三条直线重合，则al.,证法5：反证法 若直线a不平行于直线l，则a与l相交或异面 当a与l相交时，则a就与l所在的平面和平面相交，这与已知a，相矛盾，所以这是不可能的 当a与l异面时，过l平行于a的平面只有一个，但已知平面和平面是两个不同的平面都过l且均与直线a平行，因此a与l异面也是不可能的 因此直线a与直线l既不相交也不异面，故al.,证法6：过a作平行平面研究交线关系 如图，过直线a作平面与平面平行 平面与平面相交， 平面也必与平面相交 设平面与平面的交线为b. a，ab. 又lb(如果两个
19、平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行) 由公理4，知al.,证法7：借助辅助平面，将平行关系转化为垂直关系来证明 如图，作平面，使直线a. a， (一条直线如果平行于一个平面， 那么平行于这条直线的平面也垂直于这个平面) 同理可证，. l(两个相交平面同时垂直于第三个平面，那么它们的交线也垂直于第三个平面) l，a，al(垂直于同一平面的两条直线平行),评析 (1)证法1、证法3、证法4是利用平行关系(线面平行的判定与性质定理)证明，是直接法；证法2与证法4是同一法，证法5是反证法，同一法与反证法属于间接证明，证法7利用垂直关系证明的 (2)上述方法主要是掌握证法1、证法3、证法4
20、，这三种证法思路简捷、明快，是直接应用线面平行的判定定理或性质定理来证明的其他方法仅作了解，以拓宽知识面 (3)证明过程中用到了一些常用的结论(括号内结论)，对这些结论要在理解的基础上牢记它们，这样做有助于我们解决其他问题,课时作业五十 直线、平面平行的判定及其性质,一、选择题 1(基础题，易)下列命题中，是假命题的是( ) A三角形的两条边平行于一个平面，则第三边也平行于这个平面 B平面平面，a，过内的一点B有唯一的一条直线b，使ba C，、分别与、的交线为a、b、c、d，则abcd D一条直线与两个平面成等角是这两个平面平行的充要条件,答案：D,解析：D错误当两平面平行时，则该直线与两个平
21、面成等角；反之，如果一条直线与两个平面成等角，这两个平面可能是相交平面如图，直线AB与、都成45角，但l.,2(基础题，易)已知，a，B，则在内过点B的所有直线中( ) A不一定存在与a平行的直线 B只有两条与a平行的直线 C存在无数条与a平行的直线 D存在唯一一条与a平行的直线,解析：B点与a确定一平面与相交，设交线为b，则ab.,答案：D,3(基础题，易)对于直线m、n和平面，下列命题中的真命题是( ) A如果m，n，m、n是异面直线，那么n B如果m，n，m、n是异面直线，那么n与相交 C如果m，n，m、n共面，那么mn D如果m，n，m、n共面，那么mn,答案：C,解析：A中当nA，A
22、m，则有m、n是异面直线，故A是错误的B中n与可能相交，也可能平行，故B是错误的C中由线面平行的性质定理可知C是正确的D中m、n可能相交，也可能平行，故D是错误的,评析：(1)该题主要考查直线和平面的位置关系和空间想象能力(2)n包括两种情况n及n与相交，这是学生常出错的地方，应引起重视,4(基础题，易)如果在两个平面内分别有一条直线，这两条直线互相平行，那么这两个平面的位置关系一定是( ) A平行 B相交 C平行或相交 D垂直相交,答案：C,解析：可根据题意作图，判断之,如图中的(1)、(2)分别为两个平面平行、相交的情形,5(基础题，易)平面平面的一个充分条件是( ) A存在一条直线a，a
23、，a B存在一条直线a，a，a C存在两条平行直线a，b，a，b，a，b D存在两条异面直线a，b，a，b，a，b,答案：D,解析：对于选项A，当、两平面相交，直线a平行于交线时，满足要求，故A不对；对于B，两平面、相交，当a在平面内且a平行于交线时，满足要求，但与不平行；对于C，同样在与相交，且a，b分别在、内且与交线都平行时满足要求；故只有D正确，因为a、b异面，故在内一定有一条直线a与a平行且与b相交，同样，在内也一定有一条直线b与b平行且与a相交，由面面平行判定的推论可知其正确,评析：本题主要考查了面面平行的判定与基本线面知识,6(基础题，易)过平行六面体ABCDA1B1C1D1任意两
24、条棱的中点作直线，其中与平面DBB1D1平行的直线共有( ) A4条 B6条 C8条 D12条,答案：D,解析：如图，在平平六面体ABCDA1B1C1D1中E，F，G，H，M，N，P，Q分别为相应棱的中点，容易证明平面EFGH、平面MNPQ均与平面DBB1D1平行 而平面EFGH和平面MNPQ中分别有6条直线(四条边和两条对角线)满足条件；共有12条直线符合要求,二、填空题 7(能力题，中)下图中四个正方体图形，A、B为正方体的两个顶点，M、N、P分别为其所在棱的中点，能得出AB面MNP的图形的序号是_(写出所有符合要求的图形序号),答案：(1)(3),解析：(1)面AB面MNP，AB面MNP
25、.(2)观察图知AB与面MNP相交(3)易知ABMP，AB面MNP.(4)如图所示，过M作MCAB，MC面MNP，AB与面MNP不平行,评析：要有线面平行，先有线线平行，故在面MNP内找出或作出与AB平行的直线，是解决此题的关键另外有些同学对(4)这样的稍微复杂的图感到无从下手，也可借助向量法解决,8(基础题，易)给出下列关于互不相同的直线l，m，n和平面，的三个命题： 若l与m为异面直线，l，m，则； 若，l，m，则lm； 若l，m，n，l，则mn. 其中真命题的序号为_(写出所有真命题的序号),答案：,解析：由线面关系知，也可能相交，故错；由线面关系知l，m还可能异面；三个平面两两相交，由
26、线面平行关系知，mn正确,9(2010郑州)(开放题，易)考察下列三个命题，在“_”处都缺少一个条件，补上这个条件使其构成真命题(其中l，m为直线，、为平面)，则此条件为_,答案：l,解析：体现的是线面平行的判定定理，缺的条件是“l为平面外的直线”即“l”它同样也适合，故填l.,三、解答题 10(基础题，易)如图，P为平行四边形ABCD所在平面外一点，M、N分别为AB、PC的中点，平面PAD平面PBCl. (1)判断BC与l的位置关系，并证明你的结论； (2)判断MN与平面PAD的位置关系并证明你的结论,解：(1)BCl. 证明：四边形ABCD为平行四边形，BCAD. 又BC平面PAD，AD平
27、面PAD，BC平面PAD. 又BC平面PBC，平面PBC平面PADl.BCl.,(2)MN平面PAD. 证明：取CD的中点E，连结ME、NE， M、N分别为AB、PC的中点，MEAD，NEPD. 又ME平面PAD，NE平面PAD， ME平面PAD，NE平面PAD， 又MENEE，平面MNE平面PAD. 而MN平面MNE，MN平面PAD.,评析：联想线面平行、面面平行的判定与性质定理 (1)要证线线平行，往往要转化为证明一条直线平行于另一条直线所在的平面 (2)如果在一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，那么这两个平面平行,11(能力题，中)如图所示，矩形ABCD和矩形A
28、BEF中，AFAD，AMDN，矩形ABEF可沿AB任意翻折,(1)求证：当F，A，D不共线时，线段MN总平行于平面FAD； (2)“不管怎样翻折矩形ABEF，线段MN总和线段FD平行”这个结论对吗？如果对，请证明；如果不对，请说明能否改变个别已知条件使上述结论成立,证明：(1)如果，连BM交FA于G，连DG， 可得MNDG，从而MN平面FAD. (2)结论错若M，N各是AE，DB的中点， 则结论对类似(1)可证,12(能力题，中)如图，在五面体ABCDEF中，ABCD是矩形，EF BC，平面CDE为等边三角形，O是平面ABCD上的动点，问点O在什么位置运动时FO平面CDE?,解：取BC、AD中点M、N，连结MN，FM，FN则MNCD. MN面ECD.取MN中点P，CD中点G，连PG、PF、EG. 在矩形ABCD中， PG BC，又EF BC. 则PG EF，于是四边形EFPG为平行四边形 FPEG，又FP面ECD，EG面ECD. FP平面ECD，又MN面ECD，MNFPP. 面FMN面ECD. 只要点O在面FMN内，均有FO平面ECD， 又O在矩形ABCD内， O在MN上运动时，有FO平面ECD.,
