1、导数的综合应用【考纲要求】1.了解复合函数的求导法则会求某些简单函数的导数；2.理解可导函数的单调性与其导数的关系，能利用导数研究函数的单调性；3.了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件(导数在极值点两侧异号)，会求给定函数的极大值、极小值，会求给定函数在闭区间上的最大值、最小值；4提高应用知识解决实际问题的能力。【知识网络】【考点梳理】【高清课堂：导数的应用（理）394572 知识要点】考点一、求切线方程的一般方法（1）求出函数 ()yfx在 0处的导数 0()fx；（2）利用直线的点斜式得切线方程。要点诠释：求切线方程，首先要判断所给点是否在曲线上.若在曲线上，可用上法求解；若不在
2、曲线上，可设出切点，写出切线方程，结合已知条件求出切点坐标，从而得方程.考点二、判定函数的单调性（1）函数的单调性与其导数的关系设函数 y=f(x)在某个区间内可导，则当 ()0fx时，y=f(x)在相应区间上为增函数；当 ()0fx时，y=f(x) 在相应区间上为减函数；当恒有 ()0fx时，y=f(x) 在相应区间上为常数函数。要点诠释：在区间(a,b)内， ()f是 f(x)在(a，b) 内单调递增的充分不必要条件！例如： 32()()0,()ffxf， ， 而 f(x)在 R 上递增。学生易误认为只要有点使 ，则 f(x)在(a，b)上是常函数，要指出个别导数为零不影响函数的单调性，同
3、时要强调只有在这个区间内恒有 (0fx，这个函数 y=f(x)在这个区间上才为常数函数。要关注导函数图象与原函数图象间关系。（2）利用导数判断函数单调性的基本步骤确定函数 f(x)的定义域；求导数 ()fx；在定义域内解不等式 ()0()fxf得；切线斜率、方程导数的应用极值与最值问题函数的单调性问题确定 f(x)的单调区间。要点诠释：函数 f(x)在区间(a,b)内是单调递增或递减的判定可依据单调性定义也可利用导数，应根据问题的具体条件适当选用方法，有时须将区间(a,b)划分成若干小区间，在每个小区间上分别判定单调性。考点三、函数的极值（1）极值的概念一般地，设函数 y=f(x)在 x=x0
4、 及其附近有定义，如果对于 x0 附近的所有点，都有：f(x)f(x 0)，称 f(x0)为函数 f(x)的个极小值，记作 y 极小值 =f(x0)。极大值与极小值统称极值。在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数值。要点诠释：在函数的极值定义中，一定要明确函数 y=f(x)在 x=x0 及其附近有定义，否则无从比较。函数的极值是就函数在某一点附近的小区间而言的，是一个局部概念，在函数的整个定义域内可能有多个极值，也可能无极值。由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小，并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小。极大值与极小值之间无确定的大
5、小关系。即一个函数的极大值未必大于极小值。极小值不一定是整个定义区间上的最小值。函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点。而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点。连续函数的某一点是极值点的充要条件是该点两侧的导数异号。我们主要讨论可导函数的极值问题，但是函数的不可导点也可能是极值点。如某些间断点也可能是极值点，再如 y=|x|，x=0 。可导函数在某点取得极值，则该点的导数一定为零，反之不成立。在函数取得极值处，如果曲线有切线的话，则切线是水平的，从而有 ()0fx。但反过来不一定。如函数 y=x3，在 x=0 处，曲线的切线是水平的，但这点的函数
6、值既不比它附近的点的函数值大，也不比它附近的点的函数值小。（2）求极值的步骤确定函数的定义域；求导数；求方程 ()0fx的根；检查 在方程根左右的值的符号，如果左正右负，则 f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，则 f(x)在这个根处取得极小值。 (最好通过列表法)要点诠释：函数极值只反映函数在某点附近值的大小情况。在某区间上函数的极值可能有若干个，而且极小值未必小于极大值。f(x 0)=0 仅是函数 f(x)在点 x0处有极值的必要条件，点 x0是 f(x)的极值点，当且仅当在 x0的左右 f(x) 的符号产生变化。考点四、函数的最值函数的最值表示函数在定义域内值的整体情况。连续函数
7、f(x)在闭区间a,b上必有一个最大值和一个最小值，但是最值点可以不唯一；但在开区间(a，b) 内连续的函数不一定有最大值和最小值。（1）最值与极值的区别与联系：函数最大值和最小值是比较整个定义域上的函数值得出的，是整个定义区间上的一个概念，而函数的极值则是比较极值点附近两侧的函数值而得出的，是局部的概念；极值可以有多个，最大(小 )值若存在只有一个；极值只能在区间内取得，不能在区间端点取得；而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点。有极值的函数不一定有最值，有最值的函数未必有极值，极值可能成为最值。（2）在区间a，b上求函数 y=f(x)的最大与最小值的步骤求函数
8、y=f(x)在(a，b)内的导数求函数 y=f(x)在(a，b)内的极值将函数 y=f(x)在(a，b)内的极值与区间两端的函数值 f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值。要点诠释：函数的最值表示函数在定义域内值的整体情况。连续函数 f(x)在闭区间a,b上必有一个最大值和一个最小值，但是最值点可以不唯一。在实际问题中，要由实际问题的背景构造出相应的函数关系式 y=f(x),并注明其定义域，当 ()0fx在定义域内只有一个解时，并且最值一定存在，则此点即为函数 f(x)的最值点。【典型例题】类型一：函数的切线问题例 1.求曲线 32()fxx的分别满足下列条件的切线
9、：（1）在点 （ ， ） 的切线；（2）过点 1（ ， ） 的切线；【解析】 ()f（1） x时，在点 1（ ， ） 的切线的切线的斜率 ()7kf，在点 （ ， ） 的切线为 7(1)yx，即 60y.（2）当切点为点 （ ， ） 时，切线为当切点不是点 1（ ， ） 时，设切点为 0(,)Pxy，则32000031()yxkf x， 解得 015x或 0y（舍去）切点为 1,5P的切线为 3(5)y，即 4，故过点 （ ， ） 的切线为 760x或 10xy.举一反三：【变式 1】设函数 32()fab的图象与直线 2xy相切于点（1，11）,求 a，b 的值.【解析】 2()6fxx 的
10、图象与直线 10y相切于点（1，11）. (1)2f，即 3,62.ab解之得 a=1，b=3.类型二：函数单调性问题例 2已知 aR，求函数 2()axfe的单调区间.【解析】 2()2)ax axfe.（1）当 a=0 时，若 x0，则 ()0f；若 x0，则 ()0f.所以，当 a=0 时，函数 ()f在区间（，0）内为减函数，在区间（0，+）内为增函数.（2）当 a0 时，由 2x+ax20，解得 2xa或 x0；由 2x+ax20，解得 0xa.所以，当 a0 时，函数 ()f在区间 (,)内为增函数，在区间 2,内为减函数，在区间（0，+）内为增函数.（3）当 a0 时，由 2x+
11、ax20，解得 2xa；由 2x+ax20，解得 x0 或 2a.所以，当 a0 时，函数 ()fx在区间（，0）内为减函数，在区间 2,内为增函数，在区间 2(,)a内为减函数.举一反三：【变式 1】设 31()fxax恰有三个单调区间，试确定 a 的取值范围，并求其单调区间.【解析】 2()f（1）当 0a时，则 ()0fx恒成立，此时 f(x)在 R 上为单调函数，只有一个单调区间为 (,)，不合题意；（2）当 时， 1()0fxxa，1()0或fxxa当 a时，函数有三个单调区间，增区间为： 1(,)a；减区间为： ()， -， 1(,)a.【变式 2】已知 f(x)=x2+1, g(
12、x)=x4+2x2+2 且 F(x)=g(x)-f(x), 试问：是否存在实数，使 F(x)在(-,-1)上是减函数，且在(-1,0)上是增函数 .【解析】假设存在实数满足题设.F(x)=g(x)-f(x)=(x4+2x2+2)-(x2+1)=x4-(-2)x2+(2-),F(x)=4x3-2(-2)x,令 4x3-2(-2)x=0,（1）若2，则 x=0.当 x(-,0)时，F(x)0.F(x)在(-,0)上单调递减，在(0,+)上单调递增，显然不符合题设.（2）若2，则 x=0 或 2x，当 ),(x时，F(x)0；当 )2,0(时，F(x)0.F(x)的单调增区间是 )0,2(， ),2
13、(，单调减区间是 ),(， ),(. 要使 F(x)在(-,-1)上是减函数，且在(-1,0)上是增函数，则 12，即=4.故存在实数=4，使 F(x)在(-,-1)上是减函数，且在(-1,0)上是增函数.类型三：函数的极值问题例 3. 已知函数 xbaxf3)(23在 1处取得极值，求函数 ()fx以及()fx的极大值和极小值.【解析】 2()3,fx依题意， 1()0f，即 2-1,3abab， 解 得 ()fx， 2()3(1),fxx令 0，得 x=-1 或 x=1，当 x 变化时， )(xf与 f的变化情况如下表：1,)1,(1 (1，+)(xf+ 0 0 + 极大值 极小值 )(x
14、f在 1处取得极大值 (1)2f，在 1x处取得极小值 (1)2f.【总结升华】利用“ )(xf在 0处取得极值，则必有导数 0)(f”是本题的破题关键.举一反三：【变式 1】已知函数21()()axf R，其中 aR.（1）当 a=1 时，求曲线 yf在点 ,f处的切线方程；（2）当 a0 时，求函数 ()x的单调区间与极值.【解析】 （1）当 a=1 时， 21f， 4()5f，又222()()xxf， 62f.所以，曲线 ()yf在点 ,f处的切线方程为 4(2)5yx，即 6x+25y32=0.（2）22(1)(1)axaxf2()1xa.由于 a0，令 ()0f，得到 x1=a， 2
15、，以下分两种情况讨论.当 a0 时，当 x 变化时， ()f， f的变化情况如下表：x （，a） a 1,a1(,)a()f 0 0 x 极大值 极小值 所以 ()fx在区间（，a） ， 1(,)a内为增函数，在区间 1(,)a内为减函数.函数在 1处取得极小值 ()f且 2()f.函数 ()fx在 x=a 处取得极大值 a，且 1.当 a0 时，当 x 变化时， ()fx， f的变化情况如下表：x 1a（ ， ） ） 1a， (,)a()f 0 0 x 极小值 极大值 所以 ()fx在区间 1a（ ， ） ， (,)内为减函数，在区间 1()a， 内为增函数.函数在 处取得极小值 ()f且
16、21()fa.函数 ()fx在 x=a 处取得极大值 a，且 .类型四：函数的最值问题【高清课堂：导数的应用（理）394572 典型例题一】例 4.已知函数 23()1(0),(fxagxb（1）若曲线 y与曲线 y在它们的交点（1，c）处具有公共切线，求,ab的值；（2）当 24b时，求函数 ()fxg的单调区间，并求其在区间 (,1上的最大值。【解析】 （1） ()fxa， 2()3b由题意： ()12fgb（2）令 23()()Fxfgxaxb2218()6(0)44a令 12()0()0,6aFxaxx令 26或令 ()()2axxx,2a(,)6a(,)6a()Fx+ 0 - 0 +
17、 极大 极小 所以函数 ()fxg的单调增区间是 (-),(-)26a， ， ，单调减区间是结合函数单调性的草图知：当 12a即 0时，()Fx在 ,上单调增，2max()14aF当 126a即 2时，()x在 ,上单调增，在 (,12上单调减， max()12F当 16a即 时，由题意得 ()(01,()(122aFF，则 max()12F综上，当 a时，2max4当 2时， ax()1.举一反三：【变式 1】设函数 22()log()log()01),fxx求 (xf的最小值;【解析】函数 f（x）的定义域为（0，1）22()l)()l(1)2 22loglogl(1)lnxx令 ()02
18、f得当 1x时， ()fx, ()fx在区间 (0,)2是减函数；当 2时， , 在区间 1是增函数. ()fx在 时取得最小值且最小值为 ()f【变式 2】求函数 21ln()4x在0，2上的最大值和最小值.【解析】 1()2fx，令 0，化简为 x2+x2=0.解得 x=2（舍去）或 x=1.1()ln4f，又因为 ()0f， ()ln310f，(0)f，所以 ()f为函数 x在0，2上的最小值，1ln24为函数 ()f在0，2上的最大值.例 5.设函数 f(x)=ax3+bx+c(a0)为奇函数，其图象在点(1，f(1)处的切线与直线x-6y-7=0 垂直，导函数 ()fx的最小值为-1
19、2()求 a,b,c 的值；()求函数 f(x)的单调递增区间，并求函数 f(x)在-1,3上的最大值和最小值.【解析】()f(x)为奇函数，f(-x)=-f(x)即-ax 3-bx+c=-ax3-bx-c，c=0 2()3fxab的最小值为-12，b=-12 且 0a又直线 x-6y-7=0 的斜率为 1.6因此 (1)f，a=2,a=2,b=-12,c=0()f(x)=2x 3-12x， 2()6-1(2)-fxx，列表如下：x (-2)， -(-)， (2+)，)f+ 0 - 0 +(x 极大 极小所以函数 f(x)的单调增区间是 (-2)(+)， 和 ，f(-1)=10， (2)8f，
20、 f(3)=18f(x)在-1,3上的最大值是 f(3)=18，最小值是 f(2)=-8举一反三：【变式 1】已知 ()fx是二次函数，不等式 ()0fx的解集是 (,5)且 (fx在区间1,4上的最大值是 12。（I）求 ()fx的解析式；（II）是否存在实数 ,m使得方程 37()0fx在区间 (,1)m内有且只有两个不等的实数根？若存在，求出 的取值范围；若不存在，说明理由。【解析】 （I） ()fx是二次函数，且 ()f的解集是 (,5)可设 50).fa()x在区间 1,4上的最大值是 (1)6.fa由已知，得 612,a,()5)0()fxxR（II）方程 37(f等价于方程 32
21、107.x设 2()1,hxx则 2()6(10)hx当 0,3时， ()0x是减函数；当 (x时， ,()是增函数。1),()450,27hh方程 0x在区间 13,(,)内分别有惟一实数根，而在区间 (,)4内没有实数根，所以存在惟一的自然数 ,m使得方程 37()0fx在区间 (,1)m内有且只有两个不同的实数根。例 6设函数 f(x)(x1)ln(x1)，若对所有的 x0，都有 f(x)ax 成立，求实数 a 的取值范围【解一】令 g(x)(x1)ln(x1)ax，对函数 g(x)求导数：g(x)ln(x1)1a 令 g(x)0，解得 xe a1 1， (i)当 a1 时，对所有 x0
22、，g(x)0，所以 g(x)在0，)上是增函数，又 g(0)0，所以对 x0，都有 g(x)g(0)，即当 a1 时，对于所有 x0，都有 f(x)ax (ii)当 a1 时，对于 0xe a1 1，g(x)0，所以 g(x)在(0，e a1 1)是减函数，又 g(0)0，所以对 0xe a1 1，都有 g(x)g(0)，即当 a1 时，对所有的 x0，都有 f(x)ax 成立综上，a 的取值范围是（，1 【解二】令 g(x)(x1)ln(x1)ax，于是不等式 f(x)ax 成立即为 g(x)g(0)成立 对函数 g(x)求导数：g(x)ln(x1)1a令 g(x)0，解得 xe a1 1，
23、 当 x e a1 1 时，g(x)0，g(x)为增函数，当1xe a1 1，g(x)0，g(x)为减函数， 所以要对所有 x0 都有 g(x)g(0)充要条件为 ea1 10由此得 a1，即 a 的取值范围是（，1 举一反三：【变式 1】已知函数 f(x)=x3-ax2-3x（1）若 f(x)在 x1，+)上是增函数，求实数 a 的取值范围；（2）若 x=3 是 f(x)的极值点，求 f(x)在 x1，a上的最小值和最大值.【解析】 （1）f(x)=3x 2-2ax-3.f(x)在 x1，+)上是增函数，x1，+)时，f(x)=3x 2-2ax-30 恒成立，即 31()2ax对 x1，+)
24、恒成立，当 x1 时， (1)03是 增 函 数 ,其 最 小 值 为 2. 0为所求。（2）f(3)=0，即 27-6a-3=0，a=4.f(x)=x 3-4x2-3x，f(x)=3x 2-8x-3.令 f(x) 0 得 1x（舍去）或 x=3.f(3)=-18，f(1)=-6，f(4)=-12f(x)在 x1，a上的最小值是 f(3)=-18，最大值是 f(1)=-6。【变式 2】已知函数 f（x）x 3ax 2bxc 在 x 23与 x1 时都取得极值（1）求 a、b 的值与函数 f（x）的单调区间（2）若对 x1，2 ，不等式 f（x）c 2恒成立，求 c 的取值范围。【解析】 （1）f（x）x 3ax 2bxc，f（x）3x 22axb由 f（ 3 ） 4ab09 ，f （1）32ab0 得 a 12 ，b2f（x）3x 2x2（3x2） （x1） ，函数 f（x）的单调区间如下表：x（，3） 3（ 2，1）1 （1，）f（x） 0 0 f（x 极大 极小 ） 值 值所以函数 f（x）的递增区间是（， 23）与（1， ） ，递减区间是（ 23，1）（2）f（x）x 3 12x22xc，x1，2 ，当 x 时，f（x） 7c 为极大值，而 f（2）2c，则 f（2）2c 为最大值。要使 f（x）c 2（x1，2 ）恒成立，只需 c2f（2）2c，解得 c1 或 c2。
