第7章平面向量总结.doc

1、第 7 章 平面向量一、教学目标：1.理解平面向量的概念、共线向量；2.理解平面向量的线性运算；3.理解并能运用坐标表示平面向量；能运用坐标对平面向量进行加法、减法、数乘等运算；理解共线向量的坐标表示；4.理解平面向量的内积；会求两个平面向量的内积、夹角；理解两个向量垂直的充要条件；2、教学重点1.平面向量的概念、共线向量；2.平面向量的线性运算；3.平面向量的坐标表示；4.平面向量的内积；三、教学难点1.平面向量的线性运算；2.平面向量的内积；3.平面向量共线的充要条件；四、考点剖析1.平面向量的概念及表示（1）平面向量是既有大小又有方向的量，数量只有大小。常见平面向量有速度、位移、力等。如

2、果两个向量大小和方向都相同，则两个向量相等。向量的大小叫做向量的模，a、AB。的模记作|a|、| AB|。（2）平面向量可以在平面内任意平移。（3）向量用有向线段来表示。可以用一个小写英文字母表示，也可以用两个大写英文字母来表示,如 a， AB。（4）模为零的向量叫做零向量，记作 0，零向量的方向不确定。模为 1 的向量叫做单位向量。与非零向量 a 相等，方向相反的向量叫做向量 a 的负向量。例 1 给出下列命题：向量 的长度与向量 的长度相等；AB BA 向量 a 与 b 平行，则 a 与 b 的方向相同或相反；两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同；A BCEDFO两个有公共终点的向量

3、，一定是共线向量；向量 与向量 是共线向量，则点 A、B、C、D 必在同一条直线上AB CD 其中不正确的个数为_。例 2 如图所示，ABC 中， ，DEBC 交 AC 于 E，AM 是 BC 边上的中线，交 DEAD 23AB 于 N.设 a， b，用 a，b 分别表示向量 ， ， ， ， ， 。 AB AC AE BC DE DN AM AN 作业：一、填空题：1在（1）平行向量一定相等；（2）不相等的向量一定不平行；（3）共线向量一定相等；（4）相等向量一定共线；（5）长度相等的向量是相等向量；（6）平行于同一个向量的两个向量是共线向量中，说法错误的是 2如图， 是正方形 的对角线的交点

4、，四边形 、OABCDOA是正方形，在图中所示的向量中，（1）与 相等的向量有 ；A（2）与 共线的向量有 ；（3）与 模相等的向量有 ；O（4）向量 与 是否相等？答： AC3 是正六边形 的中心，且 ， ， ，在以 、 、 、 、 、BDEFAOaBbAcABCDE、 为端点的向量中：F（1）与 相等的向量有 ；a（2）与 相等的向量有 ；b（3）与 相等的向量有 c4下列说法中正确是 （写序号）（1）若 与 是平行向量，则 与 方向相同或相反；abab（2）若 与 共线，则点 、 、 、 共线；ABCDABCD（3）四边形 为平行四边形，则 = ；（4）若 ， ，则 ；abca OA B

5、 CDEFabcde（5）四边形 中， 且 ，则四边形 为正方形；ABCDC|ABDABCD（6） 与 方向相同且 与 是一致的；ab|ab二、解答题：1如图，以 13 方格纸中两个不同的格点为起点和终点的所有向量中，有多少种大小不同的模？有多少种不同的方向？2在如图所示的向量 、 、 、 、 中（小正方形边长为 1）是否存在共线向量？相等向abcde量？模相等的向量？若存在，请一一举出3某人从 点出发向西走了 200m 达到 点，然后改变方向向西偏北 走了 450m 到达AB60点，最后又改变方向向东走了 200m 到达 点CD（1）作出向量 、 、 （1cm 表示 200m） ；BC（2）

6、求 的模DA2.向量的线性运算（1）向量的加法三角形法则（首尾相接） 、平行四边形法则（起点重合） 。其中三角形法则适用于所有向量的加法，而平行四边形法则要求两个向量不共线。（2）向量的减法减去一个向量等于加上这个向量的负向量。（3）向量的数乘运算a=b，当 0 时，a 与 b 同向，当 0 时，a 与 b 反向。向量数乘运算的运算律：1a=a；-1a=-a；（）a=（a） =（a ） ；（+） a=a+ a；（a +b）=a+aFE DCBA例 1 对下图中各组向量 a 与 b，求作 a+b，2a-ba a ab b b例 2 计算（1）3（-a+ b）+ （5a-3b）（2）a-1/2(a

7、+ b)-1/2(c+a-b)作业：1.如图所示向量 a、b、c，求作向量 l，使得 l=3a-b+2c 并将向量 c 用向量 a、b 线性表示。ba c2如图，在任意四边形 中， 、 分别为 、 的中点，求证：ABCDEFADBCABDCEF3点 、 、 分别是 三边 、 、 上的中点，DEFABCBCA求证：（1） ；E（2） 0AB4如图所示，在 ABC 中， D、 F 分别是 BC、 AC 的中点， ， a， b.AE23 DBAC5(1)用 a，b 表示向量 、 、 、 、 ；AEBF(2)求证： B、 E、 F 三点共线3.向量的坐标表示（1）点 ，则 = 。12(,)(,)Axy

8、1212(,)xy（2）线性运算的坐标表示a= ，b= ，则 a+b= ； a-b=1(,)2(,)1212(,)CA BF ED；a= ；1212(,)xy1(,)xy例 1 已知 =(5，3)，C( 1，3)， =2 ，则点 D 坐标 AB CAB A(11 ，9) B(4，0) C(9，3) D(9，-3)例 2 平行四边形 ABCD 的三个顶点为 A（-2，1） 、 B（-1，3） 、C（3，4） ，则点 D 的坐标是A （2， 1） B （2 ，2） C （1 ，2） D （2，3）作业：一、填空题1.已知： 4,2M、 3,N，那么 MN ； NM 2.已知点 51A和向量 ,2a

9、，若 aAB3，则点 的坐标是 3.已知向量 a=(3，-2)， b=(-2，1) ， c=(7，-4)，且 c= a+ b， 则 = ，= 4.已知 =(2，4)， =(1，3)， =(3，2) 则|3 +2 |=_ 5.设点 A(-1， 2)、B(2，3)、C(3，-1)，且 AD=2 B-3 C，则点 D 的坐标为 6.已知 AB=(5，-3)，C(-1，3)， C=2 ，则点 D 坐标是 7.已知 ， ，线段 AB 中点为 C，则 的坐标为 ),(1yxO),(2yxO二、解答题1.已知向量 a=（1， ） ， b=（ ，1） ， 1e=a+2b， 2e=2a- 且 1e=2 2，求

10、x、 y的值2.已知平行四边形 ABCD的顶点 2,、 ,3B、 6,5，求顶点 D的坐标3.已知 A、B、C 三点坐标分别为 (1，0)，(3，1)，(1，2)， AE= 3C， BF= 31（1）求点 E、 F及向量 的坐标；（2）求证： 4.平面向量的内积（1）向量 a 与 b 的夹角记作，并且 0 ，=；（2）a b=|a|b|Cos，两个向量的内积是数量；（3）几个重要结果：Cos=a b/|a|b|；当=0 时，a b=|a|b|，当 = 时， a b=-|a|b|；当 a=b 时，=0，所以 a a=|a|a|=|a|2，所以|a|= ；（3）运算律a b=b a；（a） b=（

11、a b）=a （b） ；(a+b) c=a c+b c；（5）向量内积的坐标表示a= ，b= ，则 a b=（ ） ；1(,)xy2(,)xy2121yx|a|= = ；1Cos= ；221yx例 1 已知 , ,37ab求向量 与向量 的夹角.b已知 , 夹角为 ,则 .(1,2)(4)ab与 (cos例 2. 已知向量 满足 ,且 的夹角为 ,求 .a6,与 063ab和作业：一、填空1.已知向量 a 和 b 满足|a|=1，|b|= ，a（ab） 则 a 与 b 的夹角为 。22.设 a、b 为两个非零向量，且 ab=0，那么下列四个等式|a|=|b|；|ab|=|ab|；a （ba）=

12、 0；（ab） 2=a2b 2其中正确等式个数为 。3.若 是夹角为 的单位向量，且 , ，则 12,e312e123e4. 设 ),(a, )4,(b, )2,3(c则 cba) 5. 在 中, ,则 的值为 ABC6085CAB6. 已知下列命题中：（1）若 ，且 ，则 或 ，kRbkb（2）若 ，则 或0ab0b（3）若不平行的两个非零向量 ，满足 ，则a,|b0)(ba（4）若 与 平行，则 其中真命题的个数是 7.已知 ，则向量 与向量 的夹角是 2)(,6,1ba8.平面向量 中，若 ， =1，且 ，则向量 =_ 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 4,3a5abb二

13、、解答题1、已知向量 的夹角为 ， ,求向量 的模 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 与 b60|,(2).37ba2.已知向量 a=（ ， ） ，b= （ ，1）那么（ab）（ab）的值是？2 2 33.若 ，且 ，求向量 与 的夹角。|,|,cc4.若 , ， 与 的夹角为 ，若 ，求 的值1b06(5)()mab5.已知： (3sin,co),(s,co)axbx， 12xf（ Rx,）.() 求 )f关于 的表达式，并求 f的最小正周期；() 若 2,0x时， ()fx的最小值为 5，求 m的值.5.平面向量共线与垂直的充要条件（1）ab a=b；（2）对于非零向量 a

14、、b，设 a= ，b= ，a b ；1(,)xy2(,)xy0121yx（3）ab |a b|=|a|b|；（4）当= /2 时，a b，则 a b=|a|b| /2=0，因此对于非零向量 a、b，a b a b=0；a b =0；21yx例 1 下列说法正确的是（ ）A、向量 是共线向量，则点 A，B，C，D 必共线。CDB,B、两个相等向量的起点和终点均须一致；C、共线向量只须起点一致，终点可以不一致；D、两个平行向量就是共线向量。例 2 已知 ; (2) ;(3) 的夹角为 ,分别求 .,5(1)|abab若 ab与 03abA例 3 已知 a (1,2)，b(3,2)，当 k 为何值时

15、，kab 与 a3b 平行？平行时它们是同向还是反向？例 4 已知向量 a=（1，2） ，b=（x，1） ，e 1=a+2b，e 2=2a-b 且 e1e 2，求 x。例 5 若三点 共线，则有 （ ）(,3),(4,)ABCA 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j B 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j C 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j D 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j ,b03ab0ab作业：一、填空1.已知平面向量 ， ，且 ，则 (3,1)a(,3)bxabx2.若 是非零向量且满足 ， ，则 与 的夹角是 ,b2(2)ab3若向量 =（2， x）与 =（x, 8）共线且方向相反，则 x= .a4已知 ， ，若 平行，则 = .),3()1,(bba与5已知向量 ，向量 ，则 的最大值是 cosin(3,1)26若向量 则 |,|2,|,aa|二、解答题1i、j 是两个不共线的向量,已知 =3i+2j， =i+j, =-2i+j,若 A、B 、D 三点共线,试ABCD求实数 的值.2.已知 a(1,2)，b(3,2)，当 k 为何值时，kab 与 a3b 平行？平行时它们是同向还是反向？