1、章末综合测评 (二)平面向量(时间： 120 分钟满分： 150 分)一、选择题 (本大题共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1下列等式中正确的是 ()A. OA OB ABB.ABBA0C 0AB0D.AB BCCDADD 起点相同的向量相减， 则取终点，并指向被减向量， OA OB BA；AB，BA是一对相反向量，它们的和应该为零向量， ABBA0,0 AB0 才对，故选 D.，分别对应 的长度是 ()2数轴上点 A B1,2，则向量 ABA 1B2C 1D3D 易知 |AB|2( 1)3，故选 D.已知点A(0,1)，B(3,
2、2)，向量 AC(4， 3)，则向量 BC ()3【导学号： 79402107】A (7， 4)B(7,4)C (1,4)D(1,4)A 法一设 C(x， y)，则 AC(x， y 1)( 4， 3)，x 4，所以y 2，从而 BC( 4， 2)(3,2)(7， 4)故选 A.法二AB(3,2)(0,1) (3,1)，BCACAB(4， 3) (3,1)(7， 4)故选 A.4若三点 A(2,3)，B(3，a)， C(4，b)共线，则有 ()第 1页A a3，b 5Bab10C 2ab3D 2b0 AC? b32a6,2ab3.C AB (1，a3)， AC (2，b3)，AB5在重 600
3、N 的物体上系两根绳子，与铅垂线的夹角分别为 30， 60，重物平衡时，两根绳子拉力的大小分别为 ()A 3003N,300 3 NB150 N,150 NC 3003N,300 ND300 N,300 NC 如图，作矩形 OACB，使 AOC30， BOC 60. 在 OAC 中，ACO BOC 60， OAC 90，所以 |OA| |OC|cos 30 3003 N，|AC| |OC|sin 30 300 N， |OB|AC| 300 N 6若 a，b 是非零向量且满足 (a2b) a，(b 2a)b，则 a 与 b 的夹角是 ()A. 6B.325C. 3D. 6B 由题意知， a22a
4、b0，b22ab0， a2b2，即 |a|b|，设 a 与 b 的夹角为 ，1 2ab2a1则 cos |a|b| |a|22，又 0，3.四边形 a 2b，BC 4ab，BD 5a3b，其中 a，b 不7ABCD 中， AB共线，则四边形 ABCD 是()A梯形B平行四边形C菱形D矩形B 因为 ABa2b，又 DC BCBD 4ab(5a3b) a 2bAB.又因在四边形 ABCD 中，有 |AB| |DC|且 ABDC，所以四边形 ABCD 为平行四边形 已知 1 0， R， a e1e2， b 2e1，若 ab，则 ()8e第 2页A 020Be1e2D 1 e2 或 0C eeD ab
5、， 存在实数 k，使得 akb，即 (2k 1)e1 e2. e1 0，若 2k10，则 0 或 e2 ；0若 ，则12，此时 1e2，又0与任何一个向量平行， 有 1 e22k 1 0e2k1eee或 0.9已知向量 a (2,1)， ab 10，|a b| 50，则 |b|()A 0B2C 5D25C 因为 a(2,1)，则有 |a|5，又 ab10，|a b|50， |a|22ab |b|2 50，即 5210|b|2 50，所以 |b| 5.如图，已知的边10.1AD，BE 分别为 ABCBC，AC 上的中线，设AD 等于 ()b，则 BC4224A. 3a3bB.3a3b2424C.
6、3a3bD 3a3b图 12 1 B BC2BD 2 3BE3AD42 24 3BE3AD3a3b.设 ，已知两个向量1(cos ，sin )，OP2(2sin ，2cos )，1102OP则向量 P12长度的最大值是 ()PA. 2B. 3C 32D23C P1P2OP2 OP1 (2sin cos ，2 cos sin )，第 3页2 sin cos 2 2 cos sin 2 |P1P2| 10 8cos 3 2.12已知向量 a，b 的夹角为 120， |a| |b|1，c 与 ab 同向，则 |ac|的最小值为 ()1A 1B.233C.4D. 2D |a| |b|1，c 与 a b
7、 同向， a 与 c 的夹角为 60.又 |ac|a2 2acc21|c|c|22 3 |c|2 4，故 |a c|的最小值取 2 .31二、填空题 (本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分将答案填在题中的横线上 ) 13已知向量 a(2，1)，b( 1，m)，c(1,2)，若(ab)c，则 m_.解析 a(2， 1)，b(1，m)， ab(1，m 1) (ab)c，c(1,2)， 2 (1) (m 1)0. m 1.答案 114已知向量 a， b 满足 (a 2b)(ab) 6，且 |a| 1， |b|2，则 a 与 b 的夹角为 _解析 由(a 2b)(ab) 6，得 a22b2
8、ab 6，又 |a|1，|b|2，所以ab1ab1.设 a 与 b 的夹角为 ，则 cos |a|b|2，而 0，所以 3.答案 315已知向量 a(2,1)，b(1， 2)，若 m an b(9，8)(m，nR)，则 mn 的值为 _解析 manb (2mn，m2n)(9， 8)，第 4页2mn9，m2，m2n 8，n 5， mn 2 5 3. 答案 316如图 2，在平面四边形 ABCD 中，若 AC3，BD2，则(ABDC) (ACBD) _.【导学号： 79402108】图 2解析 记 AC 与 BD 相交于点 O，则ABOBOA，DCOC OD，所以 (ABDC) (ACBD)(OB
9、OAOC OD) (AC BD)(OCOA) (ODOB) (AC 2 2 BD)(AC BD) (AC BD) |AC| |BD| 5.答案 5三、解答题 (本大题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 )17(本小题满分 10 分)不共线向量 a， b 的夹角为小于120的角，且 |a|1，|b| 2，已知向量 ca2b，求 |c|的取值范围解 |c|2|a2b|2|a|22 其中 为a与b的夹角4a b4|b|17 8cos()1因为 0120，所以2cos 1，所以 13|c|0，kR)(1)求 ab关于 k 的解析式 f(k)；(2)若 ab，求实数 k 的
10、值；(3)求向量 a 与 b 夹角的最大值 .【导学号： 79402109】解(1)由已知 |kab|3|akb|，有 |kab|2( 3|a kb|)2 ，k2a2 2kabb23a26kab 3k2b2.由 |a|b|1，得 8kab 2k2 2，k2 1k2 1所以 ab4k ，即 f(k) 4k (k0)k21(2)因为 a b， k0，所以 ab4k 0，则 a 与 b 同向因为 |a|b|1，所以ab1，k2 12即4k 1，整理得 k 4k10，所以 k2 3，所以当 k 2 3时， ab.第 8页(3)设 a，b 的夹角为 ，则 cos ab ab|a|b|k2 1 11 112 4k 4 kk 4k 2 .k11当kk，即 k1 时， cos 取最小值 2，又 0，所以 3，即向量 a 与 b 夹角的最大值为 3.第 9页
