1、1章末综合测评(二) 平面向量(时间 120 分钟， 满分 150 分 )一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.已知点 A(0,1)，B(3,2)，向量 (4，3)，则向量 ( )AC BC A.( 7，4) B.(7,4)C.(1,4) D.(1,4)【解析】 法一：设 C(x，y)，则 ( x，y 1)(4，3)，AC 所以Error!从而 ( 4，2) (3,2)(7，4).故选 A.BC 法二： (3,2)(0,1)(3,1)，AB ( 4，3)(3,1)( 7， 4).BC AC AB 故选 A.【答案
2、】 A2.设 a(1,2) ，b(1,1) ， cakb.若 bc，则实数 k 的值等于( ) 【导学号：82152126】A. B.32 53C. D.53 32【解析】 c ak b(1k,2k)，又 bc，所以 1(1k)1(2k )0，解得 k .32【答案】 A3.已知菱形 ABCD 的边长为 a，ABC60，则 ( )BD CD 2A. a2 B. a232 34C. a2 D. a234 32【解析】 由已知条件得 aacos 30 a2，故选 D.BD CD BD BA 3 32【答案】 D4.对任意向量 a，b，下列关系式中不恒成立的是( )A.|ab|a| b|B.|ab|
3、a|b|C.(ab) 2|a b| 2D.(a b)(ab)a 2b 2【解析】 根据 ab|a|b|cos ，又 cos 1，知 |ab|a|b|，A 恒成立.当向量 a 和 b 方向不相同时，|ab|a|b| ，B 不恒成立.根据|ab| 2a 22abb 2(ab) 2，C 恒成立.根据向量的运算性 质得(ab)( ab)a 2b 2，D 恒成立 .【答案】 B5.已知非零向量 a，b 满足|b|4|a|，且 a (2ab) ，则 a 与 b 的夹角为( )A. B.3 2C. D.23 56【解析】 a(2ab) ，a(2ab)0，2|a| 2ab0，即 2|a|2|a|b|cosa，
4、 b 0.|b|4|a| ， 2|a|24|a| 2cosa，b0，cos a，b ，a，b .12 23【答案】 C6.ABC 是边长为 2 的等边三角形，已知向量 a，b 满足32a， 2ab，则下列结论正确的是( ) AB AC 【导学号：82152127】A.|b|1 B.abC.ab1 D.(4ab) BC 【解析】 在ABC 中，由 2ab2ab，得|b|2.又BC AC AB |a| 1，所以 ab|a|b|cos 1201，所以(4ab ) (4ab)b4ab|b| 24(1)4 0，所以 (4ab) ，故选 D.BC BC 【答案】 D7.已知向量 a(2,1) ，ab10，
5、|a b| ，则|b|( )50A.0 B.2C.5 D.25【解析】 因为 a(2,1) ，则有|a| ，又 ab10，5又由|a b| ，50 |a|22ab|b| 250，即 52 10|b| 250，所以|b|5.【答案】 C8.已知 AD，BE 分别为ABC 的边 BC，AC 上的中线，设 a， b，AD BE 则 等于( )BC 图 1A. a b43 23B. a b23 434C. a b23 43D. a b23 43【解析】 2 2BC BD (23BE 13AD ) 43BE 23AD a b.23 43【答案】 B9.设非零向量 a，b，c 满足 |a|b|c| ，ab
6、c ，则向量 a，b 的夹角为( )A.150 B.120C.60 D.30【解析】 设向量 a，b 夹角为 ，|c|2|a b| 2|a| 2|b| 22 |a|b|cos ，则 cos ，12又 0 ，180， 120.故选 B.【答案】 B10.在矩形 ABCD 中，AB ，BC1，E 是 CD 上一点，且 1，则3 AE AB 的值为 ( )AE AC A.3 B.2C. D.32 33【解析】 设 与 的夹 角为 ，则 与 的夹角为 ，AE AB AE AD 25又 ，故有 与 夹角为 ，如 图：AD BC AE BC 2 | | |cos | |cos 1，AE AB AE AB
7、3AE |A |cos ，E 33 | |cos | |sin 1，AE BC AE (2 ) AE ( ) 112.AE AC AE AB BC AE AB AE BC 【答案】 B11.已知向量 (2,2) ， (4,1)，在 x 轴上有一点 P，使 有最小值，OA OB AP BP 则 P 点坐标为( )A.( 3,0) B.(3,0)C.(2,0) D.(4,0)【解析】 设 P(x,0)，则有 (x2,02)(x 4,01)AP BP (x2)(x4)2x 26x10(x3) 21，当 x3 时， 取最小值 1，AP BP 此时 P 点坐标为(3,0).【答案】 B12.设 0 2，
8、已知两个向量 (cos ，sin )， (2sin OP1 OP2 ，2cos )，则向量 长度的最大值是( ) P1P2 【导学号：82152128】A. B.2 3C.3 D.22 36【解析】 P1P2 OP2 OP1 (2 sin cos ，2cos sin )，| |P1P2 2 sin cos 2 2 cos sin 2 3 .10 8cos 2【答案】 C二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.请把正确答案填在题中横线上)13.已知向量 a(2，1) ，b(1，m) ，c(1,2)，若(ab)c ，则m_. 【导学号：82152129】【解析】 a(2， 1
9、)，b(1， m)，ab(1 ，m1).(a b)c，c (1,2)，2(1)(m1)0.m1.【答案】 114.已知向量 a(2,1) ，b(1，2)，若 m an b(9，8)(m ，nR)，则mn 的值为_.【解析】 manb(2mn，m2n)(9，8)，Error!Error!mn253.【答案】 315.已知向量 O A ，|O |3，则 O O _.A B A A B 【解析】 因为 ，所以 ( ) 0，OA AB OA AB OA OB OA OA OB OA2 所以 | |29，即 9.OA OB OA2 OA OA OB 【答案】 916.在ABC 中，点 M，N 满足 2
10、， .若 x y ，则AM MC BN NC MN AB AC 7x_ ；y _.【解析】 2 ， .AM MC AM 23AC ， ( )，BN NC AN 12AB AC ( )MN AN AM 12AB AC 23AC .12AB 16AC 又 x y ，x ，y .MN AB AC 12 16【答案】 12 16三、解答题(本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17.(本小题满分 10 分) 不共线向量 a，b 的夹角为小于 120的角，且|a|1，|b|2，已知向量 ca2b，求|c| 的取值范围 . 【导学号：82152130】【解】 |c| 2
11、|a2b| 2|a| 24ab4|b| 2178cos (其中 为 a 与 b 的夹角).因为 00，k R).3(1)求 ab 关于 k 的解析式 f(k)；(2)若 a b，求实数 k 的值；10(3)求向量 a 与 b 夹角的最大值.【解】 (1)由已知 |kab| |akb| ，3有|kab| 2( |akb|) 2，3k2a22kabb 23a 26kab3k 2b2.由|a|b|1，得 8kab2 k22，所以 ab ，即 f(k) (k0).k2 14k k2 14k(2)因为 a b，k0，所以 ab 0，则 a 与 b 同向.k2 14k因为|a|b|1，所以 ab1，即 1，整理得 k24k10，k2 14k所以 k2 ，3所以当 k2 时，a b.3(3)设 a，b 的夹角为 ，则 cos abab|a|b| k2 14k 14(k 1k) .14( k 1k)2 2当 ，即 k1 时， cos 取最小值 ，又 0 ，k1k 12所以 ，即向量 a 与 b 夹角的最大值为 .3 3
