1、第二课时 直线与椭圆的位置关系【选题明细表】 知识点、方法 题号直线与椭圆的位置关系 1,5,8,9与弦有关的问题 2,3,7,10最值问题 4,6综合问题 11,12,13【基础巩固】1.直线 y=k(x-2)+1与椭圆 + =1的位置关系是 ( B )21629(A)相离 (B)相交(C)相切 (D)无法判断解析:直线 y=k(x-2)+1过定点 P(2,1),将 P(2,1)代入椭圆方程,得 + b0)2222相交于 A,B两点,若椭圆的离心率为 ,焦距为 2,则线段 AB的长是( B )22(A) (B) (C) (D)2223 423 2解析:因为 e= ,2c=2,c=1,22所以
2、 a= ,则 b= =1,2 22所以椭圆的方程为 +y2=1,联立22 22+2=1,=+1,化简得 3x2-4x=0,x=0,或 x= .43代入直线得出 y=1,或 y=- ,则 A(0,1),B（ ,- ）,所以|AB|= ,故13 43 13 423选 B.3.(2018龙岩市连城一中高二期中)曲线 x2+y2=1与直线 x+y-1=0交于2P,Q两点,M 为 PQ的中点,则 kOM等于( D )(A)- (B)- (C) (D)222 22 2解析:联立 得( +1)x2-2x=0,22+2=1,+1=0 2设 P(x1,y1),Q(x2,y2),则 x1+x2= =2( -1),
3、y1+y2=2-(x1+x2)=2-2 +2=4-2 ,22+1 2 2 2所以 M坐标为( -1,2- ),2 2则 kOM= = .故选 D.2 221 24.椭圆 + =1上有两个动点 P,Q.已知 E(3,0),EPEQ, 则 的最小23629 值为( A )(A)6 (B)3- (C)9 (D)12-63 3解析:设 P(m,n),则 + =1,所以|PE|= = =23629 (3)2+2 3426+18,因为-6m6,所以|PE|的最小值为 . = 34(4)2+6 6 ( - )= - =| |2.故最小值为 6,故选 A. 2 5.(2018大庆市中学高二期末)已知直线 y=
4、-2x+1与椭圆 + =12222(ab0)相交于 A,B两点,且线段 AB的中点在直线 x-4y=0上,则此椭圆的离心率为( D )(A) (B) (C) (D)33 13 12 22解:设 A(x1,y1),B(x2,y2),由题意可知 解得=2+1,4=0, =49,=19.则线段 AB的中点（ , ）,则 x1+x2= ,y1+y2= ,4919 89 29由 A,B在椭圆上, + =1, + =1,212212222222两式相减,得 + =0,(12)(1+2)2(1+2)(12)2=- =- ,12121+21+2 22 422所以 =2,即 a2=2b2,椭圆的离心率 e= =
5、 = ,故选 D.422 122 226.(2017河北武邑中学月考)椭圆 + =1上的点到直线 x-2y-12=0的216212距离的最大值为 . 解析:设椭圆上的点 P(4cos ,2 sin ),3点 P到直线的距离d= =|44312|12+(2)2|8(+3)12|5当 cos（+ ）=-1 时,距离取得最大值,3dmax= =4 .205 5答案:4 57.如果椭圆 + =1的弦被点(4,2)平分,则这条弦所在的直线方程是 .23629解析:设弦的端点为 M(x1,y1),N(x2,y2),代入椭圆方程 + =1,得236299 +36 =369, 21 219 +36 =369,
6、 22 22-,得 9(x1+x2)(x1-x2)+36(y1+y2)(y1-y2)=0;由中点坐标 =4, =2,代入上式,得1+22 1+2236(x1-x2)+72(y1-y2)=0,所以直线斜率为 k= =- ,2121 12所求弦的直线方程为 y-2=- (x-4),即 x+2y-8=0.12答案:x+2y-8=08.(2018兰州五十八中高二期末)设直线 y=x+b与椭圆 +y2=1相交于 A,B22两个不同的点.(1)求实数 b的取值范围;(2)当 b=1时,求| |.解:(1)将 y=x+b代入 +y2=1,消去 y,整理得 3x2+4bx+2b2-2=0. 22因为直线 y=
7、x+b与椭圆 +y2=1相交于 A,B两个不同的点,22所以 =16b 2-12(2b2-2)=24-8b20,所以- 2,所以 b0),则 a2-b2=50, 2222再设直线 3x-y-2=0与椭圆交点为 A(x1,y1),B(x2,y2),弦 AB的中点(x 0,y0),因为 x0= ,所以代入直线方程得 y0=- .12 12由 得 =- =3,212+212=1,222+222=11212 2200即 a2=3b2,由,可得 a2=75,b2=25.所以椭圆方程为 + =1.225275答案: + =122527511.(2017江苏如东高中期中)若圆 x2+(y-2)2=1与椭圆
8、+ =1的三个22交点构成等边三角形,则该椭圆的离心率的值为 . 解析:如图,圆 x2+(y-2)2=1的圆心为(0,2),半径为 1,则 A(0,3),则椭圆 + =1焦点在 y轴上,即 =3,则 n=9,22 等边三角形 ABC为圆 x2+(y-2)2=1的内接正三角形,则 AC=BC=AB= ,3所以 DC= ,AD= ,32 32所以 OD=OA-AD= ,32所以 C点坐标为（ , ）,32 32代入椭圆方程 + =1,解得 m=1,229所以椭圆方程 x2+ =1,29即 a=3,b=1,c=2 ,2所以椭圆的离心率 e= = .223答案:22312.(2018铜陵一中高二下学期
9、期中)已知椭圆 C: + =1(ab0)的离心2222率为 ,连接椭圆的四个顶点得到的菱形面积为 4.32(1)求椭圆的方程;(2)设直线 l与椭圆相交于不同的两点 A,B,已知点 A的坐标为(-a,0),|AB|= ,求直线 l的倾斜角.425解:(1)由椭圆的离心率 e= = = ,则 a2=4b2,a=2b, 122 32由 2a2b=4,即 ab=2, 12由解得 a=2,b=1,所以椭圆的方程为 +y2=1.24(2)由题知,A(-2,0),直线 l斜率存在,故设 l:y=k(x+2),则 整理得(1+4k 2)x2+16k2x+(16k2-4)=0,0,=(+2),24+2=1设
10、B(x1,y1),由-2x 1= ,得 x1= ,y1= ,16241+42 2821+42 41+42所以|AB|= = ,(21)2+(01)241+21+42所以 = ,所以 k=1.41+21+42 425故直线的倾斜角为 或 .4 34【探究创新】13.在平面直角坐标系 xOy中,点 P到两点(0,- ),(0, )的距离之和等3 3于 4,设点 P的轨迹为 C.(1)求 C的方程;(2)设直线 y=kx+1与 C交于 A,B两点,k 为何值时 ?此时|AB|的值 是多少.解:(1)设 P(x,y),由椭圆的定义知,点 P的轨迹 C是以(0,- ),(0, )为3 3焦点,长半轴长为
11、 2的椭圆,它的短半轴长 b= =1.故曲线 C的方22( 3)2程为 +x2=1.24(2)设 A(x1,y1),B(x2,y2),其坐标满足 =+1,2+42=4.消去 y,并整理,得(k 2+4)x2+2kx-3=0,由根与系数的关系得x1+x2=- ,x1x2=- .22+4 32+4若 ,则 x1x2+y1y2=0. 因为 y1y2=(kx1+1)(kx2+1)=k2x1x2+k(x1+x2)+1,所以 x1x2+y1y2=- - - +1=- =0,所以 k= .当 k= 时,32+4 322+4 222+4 4212+4 12 12x1+x2= ,x1x2=- .417 1217所以|AB|= (12)2+(12)2= .(1+2)(12)2而(x 1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2= +4 = ,42172 12174313172所以|AB|= = .544313172 46517
