1、127.2.3 相似三角形的应用举例一、学习目标：1运用三角形相似的知识计算不能直接测量物体的长度和高度；2灵活运用三角形相似的知识解决实际问题.二、学习重难点：重难点：运用三角形相似的知识解决实际问题.探究案三、教学 过程课堂导入埃及金字塔到底有多高？据史料记载：古希腊科学家泰勒斯利用相似三角形的原理，借助金字塔在太阳光线下形成的影子测出了金字塔的高度你知道他是怎样测量的吗？今天我们就利用这些知识测量一些不能直接测量的物体的高度吧.课堂探究知识点一：用相似三角形测量高度对于学校里旗杆的高度，我们是无法直接进行测量的但是我们可以根据相似三角形的知识，测出旗杆的高度结合右面的图形，大家思考如何求
2、出高度.归纳总结2例题解析例 1 据传说，古希腊数学家、天文学家泰勒斯曾利用相似三角形的原理，在金字塔影子的顶部立一根木杆，借助太阳光线构成两个相似三角形，来测量金字塔的高度. 如图，木杆 EF 长 2 m，它的影长 FD 为 3 m，测得 OA 为 201 m， 求金字塔的高度 BO.归纳总结小试牛刀1.如图，某一时刻一根 2m 长的竹竿 EF 的影长 GE 为 1.2m，此时，小红测得一棵被风吹斜的柏树与地面成 30角，树顶端 B 在地面上的影子点 D 与 B 到垂直地面的落点 C 的距离是 3.6m，求树 AB 的长32.小红用下面的方法来测量学校教学大楼 AB 的高度如图，在水平 地面
3、点 E 处放一面平面镜，镜子与教学大楼的距离 AE20m.当她与镜子的距离 CE2.5m 时，她刚好能从镜子中看到教学大楼的顶端 B.已知她的眼睛距地面高度 DC1.6m，请你帮助小红测量出大楼 AB 的高度(注：入射角反射角)课堂探究问题 小明想利用树影测量树高，他在某一时刻测得长为 1 m 的竹竿影长 0.9 m，但当他马上测量树影时，因树靠近一栋建筑物，影子不全落在地面上，有一部分影子在墙上，如图，他先测得留在墙上的影高 l.2 m，又测得地面部分的影长 2.7 m，他求得的树高是多少?归纳总结例题解析例 2 如图，左、右并排的两棵大树的高分别为 AB = 8 m 和 CD = 12 m
4、，两树底部的4距离 BD = 5 m，一个人估计自己眼睛距地面 1. 6 m. 她沿着正对这两棵树的一条水平直路l 从左向右前进，当她与左边较低的树的距离小 于多少时，就看不到右边较高的树的顶端C 了？归纳总结小试牛刀1.如图，某一时刻，旗杆 AB 影子的一部分在地面上，另一部分在建筑物的墙面上小明测得旗杆 AB 在地面上的影长 BC 为 9.6m，在墙面上的影长 CD 为 2m.同一时刻，小明又测得竖立于地面长 1m 的标杆的影长为 1.2m.请帮助小明求出旗杆的高度52.星期天，小丽和同学们在碧沙岗公园游玩，他们来到 1928 年冯玉祥将军为纪念北伐军阵亡将士所立的纪念碑前，小丽问：“这个
5、纪念碑有多高呢？”请你利用初中数学知识，设计一种方案测量纪念碑的高度(画出示意图)，并说明理由随堂检测1如图，小明用长为 3 m 的竹竿 CD 做测量工具，测量学校旗杆 AB 的高度，移动竹竿，使竹竿与旗杆的距离 DB12 m，则旗杆 AB 的高为_m.2在某一时刻，测得一根高为 1.8 m 的竹竿的影长为 3 m，同时测得一根旗杆的影长为 25 m，那么这根旗杆的高度为_m.3已知有两堵墙 AB，CD，AB 墙高 2 米，两墙之间的距离 BC 为 8 米，小明将一架木梯放在距 B 点 3 米的 E 处靠向墙 AB 时，木梯有很多露出墙外将木梯绕点 E 旋转 90靠向墙 CD 时，木梯刚好达到
6、墙的顶端，则墙 CD 的高为_4如图是一束平行的阳光从教室窗户射入的平面示意图，光线与地面所成角AMC30，在教室地面的影长 MN2 米若窗户的 下檐到教室地面的距离 BC1 米，3则窗户的上檐到教室地面的距离 AC 为_米65如图是小明设计用手电来测量都匀南沙洲古城墙高度的示意图，点 P 处放一水平的平面镜，光线从点 A 出发经过平面镜反射后刚好射到古城墙 CD 的顶端 C 处，已知ABBD，CDBD，且测得 AB1.2 米，BP1.8 米，PD12 米，那么该古城墙的高度是_米(平面镜的厚度忽略不计)6如图利用标杆 BE 测 量建筑物的高度已知标杆 BE 高 1.2m，测得AB=1.6m
7、BC=12.4m则建筑物 CD 的高是多少？课堂小结1利用相似三角形测量物体的高度；2利用相似三角形测量河的宽度；3设计方案测量物体高度我的收获_7参考答案课堂探究利用阳光下的影子测高：(1)构造相似三角形，如图.(2)测量数据： AB(身高)， BC(人影长)， BE (旗杆影长)；待求数据： DE(旗杆 高)(3)计算理由：因为 AC DB(平行光)，所以 ACB DBE.因为 ABC DEB90(直立即为垂直)，所以 ABC DEB，有ABDE=BCBE，则 DE=ABBEBC.例题解析例 1 解：太阳光是平行光线，因 此 B AO= EDF.又 AOB= DFE=90， ABO DEF
8、. BOEF=OAFD, BO=OAEFFD=20123 =134(m).因此金字塔的高度为 134 m.小试牛刀1.解析：先利用BDCF GE 得到 ，可计算出 BC6m，然后在 RtABC 中BC3.6 21.2利用含 30 度的直角三角形三边的关系即可得到 AB 的长解：如图，CD3.6m，BDCFGE， ，即 ，BC6m.在 RtBCCD EFGE BC3.6 21.2ABC 中，A30，AB2BC12m，即树长 AB 是 12m.方法总结：解答此类问题时，首先要把实际问题转化为数学问题利用相似三角形对应边成比例建立相等关系求解2.解析：根据物理知识得到BEADEC，所以可得BAEDC
9、E，再根据相似三角形的性质解答解：如图，根据光的反射定律知BEADEC，BAEDCE90，8BAEDCE， .CE2.5m，DC1.6m， ，AB12.8，大楼 AB 的ABDC AEEC AB1.6 202.5高度为 12.8m.课堂探究解：如图，过点 C 作 CEAB 于点 E，因此 BE=CD=1.2 m，CE=BD=2.7 m，AE2.7= 10.9,可得 AE=3 m，所以 AB=AE+BE=1.2+3=4.2 (m).答：这棵树的高为 4.2 m 例题解析例 2 解：如图，假设观察者从左向右走到点 E 时，她的眼睛的位置点 E 与两棵树的顶端 A， C 恰在一条直线上. AB l，
10、 CD l， AB CD. AEH CEK. EHEK=AHCK,即EHEH+5=8-1.612-1.6=6.410.4.解得 EH=8(m).由此可知，如果观察者继续前进，当她与左边的树的距离小于 8 m 时，由于这棵树的遮挡，她看不到右边树的顶端 C.小试牛刀1.解析：根据在同一时刻物高与影长成正比例，利用相似三角形的对应边成比例解答即可解：如图，过点 D 作 DEBC，交 AB 于 E，DECB9.6m，BEC D2m，在同一时刻物高与影长成正比例，EAED11.2，AE8m，ABAEEB8210m，学校旗杆的高度为 10m.9方法总结：利用杆或直尺测量物体的高度就是利用杆(或直尺)的高
11、(长)作为三角形的边构建相似三角形，用相似三角形对应边的比相等的性质求物体的高度2.解析：设计相似三角形，利用相似三角形的性质求解即可在距离纪念碑 AB 的地面上平放一面镜子 E，人退后到 D 处，在镜子里恰好看见纪念碑顶 A.若人眼距地面距离为CD，测量出 CD、DE、BE 的长， 就可算出纪念碑 AB 的高解：设计方案例子：如图，在距离纪念碑 AB 的地面上平放一面镜子 E，人退后到 D 处，在镜子里恰好看见纪念碑顶 A.若人眼距地面距离为 CD，测量出 CD、D E、BE 的长，就可算出纪念碑 AB 的高理由：测量出 CD、DE、BE 的长，因为CEDAEB，DB90，易得ABECDE.根据 ，即可算出 AB 的高CDAB DEBE方法总结：解题的关键是根据相似三角形的性质设计出具体图形，将 实际问题抽象出数学问题求解随堂检测192.153.7.5 米4.35.86解： EB CD， ABE ACD， ，ABAC=BECD即A1.61.6+12.4=1.2CD CD=10.5（米）
