1、2.4.2 功 率学习目标 核心凝炼1.知道功率的物理意义、定义式、单位。2.理解功率的导出式 PFv 的物理意义，并会利用功率的两个公式来解释现象和进行计算。3.理解输入功率和输出功率的关系，了解平均功率、瞬时功率、额定功率、实际功率的区别与联系。6 个概念功率、输入功率、输出功率、额定功率、平均功率、瞬时功率2 个公式P P FvWt2 种机车启动方式恒定功率启动，恒定牵引力启动一、功率的含义观图助学同学们爬山时遇到过挑山工和索道，假设挑山工和缆车将相同的货物运到山顶，两者对货物做的功相同吗？做功用的时间相同吗？做功的功率相同吗？1.定义：力对物体所做的功 W 与做功所用时间 t 的比值。
2、2.定义式：P 。Wt3.单位：在国际单位制中，功率的单位是瓦特，简称瓦，用 W 表示。1 W1 J/s。4.标矢性：功率是标量。5.物理意义：表示物体做功快慢的物理量。6.输入功率与输出功率(1)输入功率：机器工作时，外界对机器做功的功率。(2)输出功率：机器对外界做功的功率。(3)机械效率： 。P输 出P输 入7.额定功率与实际功率(1)额定功率：机器长时间工作允许的功率。(2)实际功率：机器实际工作时的输出功率。(3)关系：实际功率往往小于额定功率，但也可以在很短时间内大于额定功率。理解概念判断下列说法是否正确。(1)由公式 P 知，做功越多，功率越大。()Wt(2)做相同的功，用时短的
3、做功较快。()(3)发动机不能在实际功率等于额定功率情况下长时间工作。()(4)功率大，做功一定多。()二、功率、力和速度之间的关系观图助学为什么汽车在水平路面上行驶时速度可以很大？而汽车爬坡时，常常换用低速挡，汽车要减速，这又是为什么？1.功率、力和速度之间的关系(1)当 F 与 v 方向相同时， PFv(2)当 F 与 v 夹角为 时，PFvcos _2.应用：由功率与速度关系式知，汽车、火车等交通工具和各种起重机械，当发动机的功率 P 一定时，牵引力 F 与速度 v 成反比，要增大牵引力，就要减小速度。3.平均功率和瞬时功率(1)平均功率：时间 t 内功率的平均值，计算公式：P 和 PF
4、 v。Wt(2)瞬时功率：某一时刻功率的瞬时值，能精确地描述做功的快慢，计算公式：PFv，其中 v 为瞬时速度；当 F 与 v 夹角为 时，PF vcos 。理解概念判断下列说法是否正确。(1)一个力对物体做功的功率，不一定等于这个力与受力物体运动速度的乘积。()(2)汽车的功率一定，汽车的速度越大，牵引力就越大。()(3)汽车在高速公路上行驶，功率的大小与速度的大小无关。()(4)汽车的速度越大，牵引力的功率也越大。()公式 P 和 PF v 的理解Wt观察探究如图 1 所示某部队正用吊车将一台坦克车从码头上吊起装上舰船。图 1(1)将质量为 m 的坦克车以速度 v 匀速吊起，坦克车在 t
5、时间内匀速上升 h 高度。怎样计算吊车的功率？其瞬时功率是多少？(2)若坦克车在相同的时间 t 内，从静止开始以加速度 a 匀加速上升高度 h 时，该过程中吊车的平均功率是多少？其瞬时功率是多少？答案 (1)吊车对坦克车做的功 Wmgh。功率 P ；P 瞬 Fvmgv。Wt mght(2)该过程中吊车的平均功率为 P 。Wt Fht m（a g）ht其瞬时功率为 P 瞬 Fv(mgma) at。探究归纳 1.公式 P 和 PFv 的比较WtPWtPFv 适用条件(1)功率的定义式，适用于任何情况下功率的计算，一般用来求平均功率(2)当时间 t0 时，可由定义式确定瞬时功率(1)功率的计算式，仅
6、适用于 F与 v 同向的情况，一般用来求瞬时功率(2)当 v 为平均速度时，所求功率为平均功率联系 (1)公式 PFv 是 P 的推论Wt(2)功率 P 的大小与 W、t 无关2.公式 PF v 中三个量的制约关系定值 各量间的关系 应用P 一定 F 与 v 成反比 汽车上坡时，要增大牵引力，应换低速挡减小速度v 一定 F 与 P 成正比汽车上坡时，要使速度不变，应加大油门，增大输出功率，获得较大牵引力F 一定 v 与 P 成正比汽车在高速路上，加大油门增大输出功率，可以提高速度试题案例例 1 关于功率公式 P 和 PFv 的说法中正确的是( )WtA.由 P 知，只要知道 W 和 t 就可求
7、出任意时刻的功率WtB.由 PFv 只能求某一时刻的瞬时功率C.由 PFv 知，随着汽车速度的增大，它的功率也可以无限制增大D.由 PF v 知，当汽车发动机功率一定时，牵引力与速度成反比解析 利用公式 P ，知道 W 和 t 只能计算平均功率，选项 A 错误；当公式WtPFv 中的 v 为瞬时速度时，求的是瞬时功率，当 v 为平均速度时，求的是平均功率，选项 B 错误；因为汽车的速度 v 不能无限制增大，汽车的功率也不能无限制增大，选项 C 错误；由 PFv 知，当汽车发动机功率一定时，牵引力与速度成反比，选项 D 正确。答案 D例 2 一台起重机将静止在地面上、质量为 m1.010 3 k
8、g 的货物匀加速竖直吊起，在 2 s 末货物的速度 v4 m/s。(取 g10 m/s 2，不计额外功)求：(1)起重机在这 2 s 内的平均功率；(2)起重机在 2 s 末的瞬时功率。解析 设货物所受的拉力为 F，加速度为 a，则(1)由 a 得， a2 m/s 2vtFmg ma1.010 310 N1.010 32 N1.210 4 N2 s 内货物上升的高度h at24 m12起重机在这 2 s 内对货物所做的功WFh1.2 1044 J4.810 4 J起重机在这 2 s 内的平均功率P 2.410 4 WWt 4.8104 J2 s(2)起重机在 2 s 末的瞬时功率PFv1.21
9、0 44.0 W4.810 4 W答案 (1)2.4 104 W (2)4.810 4 W计算功率应该注意的问题(1)首先应该明确所求的功率是平均功率还是瞬时功率，计算平均功率与瞬时功率选择的公式不同。(2)求平均功率时，应明确是哪一段时间内的平均功率；求瞬时功率时，应明确是哪一时刻的瞬时功率。(3)应该明确是哪一个力对物体做功的功率，是动力还是阻力，是恒力还是变力等。不同情况应选择不同的公式。针对训练 1 一个质量为 m 的小球做自由落体运动，那么，在前 t 时间内重力对它做功的平均功率 及在 t 时刻重力做功的瞬时功率 P 分别为( )PA. mg 2t2，P mg2t212B. mg2t
10、2，Pmg 2t2C. mg2t，Pmg 2t12D. mg2t，P2mg 2t12解析 前 t 时间内重力做功的平均功率 mg2tPWt mg12gt2t 12t 时刻重力做功的瞬时功率 PFvmggtmg 2t，故 C 正确。答案 C机车的启动问题观察探究汽车的启动方式有两种：1.以恒定的功率启动；2.以恒定的加速度启动。图 2(1)用公式 PFv 研究汽车启动问题时，力 F 是什么力？(2)以恒定功率启动时，汽车的加速度变化吗？做什么运动？(3)汽车匀加速启动的过程能否一直持续下去？答案 (1)F 是汽车的牵引力。(2)汽车以恒定功率启动，根据 PF v，v 增大，F 减小，加速度减小，
11、故加速度变化，汽车做变加速运动。(3)不能。汽车匀加速启动，F 不变，v 增大，P 增大。当 PP 额 时，匀加速运动结束。探究归纳 1.两种启动方式的过程分析(条件：水平路面、阻力 f 恒定)两种方式 以恒定功率启动 以恒定加速度启动Pt 图和 vt 图过程分析vF aP（不 变 ）v F fma 不变F fmOA 段运动性质加速度减小的加速直线运动匀加速直线运动，维持时间t0v1a过程分析 Ff a0 fPvmv F a P额v F fmAB 段运动性质以 vm 做匀速直线运动 加速度减小的加速直线运动BC 段 Ff a0f ，以 vm 做P额vm匀速直线运动2.机车启动问题中几个物理量的
12、求法(1)机车的最大速度 vm 的求法：机车以额定功率匀速运动时速度最大，此时牵引力 F 等于阻力 f，故 vm 。PF Pf(2)匀加速启动持续时间的求法：牵引力 Fmaf ，匀加速的最后速度 v1，时间 t 。P额ma f v1a(3)瞬时加速度的求法：据 F 求出牵引力，则加速度 a 。Pv F fm试题案例例 3 (2018温州高一检测)在平直路面上运动的汽车的额定功率为 60 kW，若其总质量为 5 t，在水平路面上所受的阻力为 5103 N。(1)求汽车所能达到的最大速度；(2)若汽车以 0.5 m/s2 的加速度由静止开始做匀加速运动，则这一过程能维持多长时间？(3)若汽车以额定
13、功率启动，则汽车车速 v2 m/s 时其加速度为多大？【思路点拨】 (1)汽车速度达到最大的条件：a0，即 Ff。(2)汽车以恒定加速度 a 匀加速运动的“收尾”条件：PP 额 ，此时的速度为匀加速运动的最大速度。(3)汽车速度为 v时牵引力 F 。Pv解析 (1)当汽车速度达到最大时，牵引力 Ff，则由 PF v 得汽车所能达到的最大速度vmax m/s 12 m/s。Pf 601035103(2)汽车以恒定的加速度 a 做匀加速运动，能够达到的最大速度为 v，则有fmaPv得 v m/s8 m/s Pf ma 601035103 51030.5由 vat 得这一过程维持的时间t s16 s
14、 。va 80.5(3)当汽车以额定功率启动达到 2 m/s 的速度时，牵引力F N310 4 N，Pv 601032由牛顿第二定律得汽车的加速度a m/s25 m/s 2。F fm 3104 51035103答案 (1)12 m/s (2)16 s (3)5 m/s2(1)公式 PFv 中的 F 指的是机车的牵引力，而不是合外力。(2)只有机车在水平路面上匀速运动时，牵引力 F 才等于它受到的阻力 f 大小。(3)机车以恒定加速度启动时，匀加速结束时的速度并没有达到最终匀速运动的速度 vm。针对训练 2 质量为 m 的汽车行驶在平直公路上，在运动中所受阻力不变，当汽车的加速度为 a，速度为
15、v 时，发动机功率为 P1；当功率为 P2 时，汽车行驶的最大速度为( )A. B.P2vP1 P2vP1 mavC. D.P1vP2 P1vP2 mav解析 由题意知 Ffma，P 1Fv，由以上两式得 f 。当功率为 P2P1 mavv时，汽车行驶的最大速度 vm ，B 正确。P2f P2vP1 mav答案 B功率问题的实际应用在解决实际问题时，首先要读懂题目中所给出的信息，进而把实际问题转化为熟知的物理模型，然后根据题意结合相应的物理规律求解。例如以人们熟知的跳绳设置问题，分析求解时首先应该清楚运动员跳起到 h 高度克服重力做的功为 mgh，并细致分析运动员的一次跳绳过程，求出运动员在空
16、中运动的时间t1，而求出 h 是解决问题的关键。求平均功率的时间必须用跳跃周期 T，即要注意求的是哪段时间内的平均功率。对这一些实际问题的求解，构建出物理模型是关键所在。【针对练习】 跳绳是一种健身运动，如图 3 所示，设某运动员在质量是 50 kg，她一分钟跳绳 180 次，假定在每次跳跃中，脚与地面的接触时间占跳跃一次所需时间的 ，则该运动员跳绳时克服重力做功的平均功率是多少？(g10 25m/s2)图 3【思维导图】 解析 由于跳绳是周期性运动，因此只需分析一个周期内的情况，找出在一个周期内运动员克服重力做了多少功，即可求解。跳跃的周期 T s s60180 13每个周期内运动员在空中运
17、动的时间 t1 T0.2 s35运动员在空中可视为做竖直上抛运动，则起跳的初速度v0g 1 m/st12每次跳跃时运动员上升的最大高度 h m120所以每次跳跃时，运动员克服重力做的功为Wmgh 25 J故克服重力做功的平均功率为 P W75 W。WT 2513答案 75 W1.(功率的理解) 关于功率，下列说法中正确的是( )A.根据 P 可知，机械做功越多，其功率就越大WtB.根据 PFv 可知，汽车的牵引力一定与其速度成反比C.根据 P 可知，只要知道时间 t 内所做的功，就可知任意时刻的功率WtD.根据 PFv 可知，发动机的功率一定时，交通工具的牵引力与运动速度成反比解析 由 P 可
18、知，在时间 t 一定的情况下，机械做功越多，其功率就越大，Wt选项 A 错误；根据 PFv 可知，在发动机的输出功率 P 一定的情况下，汽车的牵引力与其速度成反比，选项 B 错误，D 正确；功 W 与一段运动过程相对应，故利用 P 计算出的是时间 t 内力对物体做功的平均功率，选项 C 错误。Wt答案 D2.(瞬时功率的计算) 从空中以 40 m/s 的初速度平抛一重为 10 N 的物体，物体在空中运动 3 s 落地，不计空气阻力，取 g10 m/s2，则物体落地前瞬间，重力的瞬时功率为( )图 4A.300 W B.400 WC.500 W D.700 W解析 物体落地瞬间 vygt30 m
19、/s ，所以 PGGv y300 W，故 A 正确。答案 A3.(平均功率的计算) 同一恒力按同样的方式施于物体上，使它分别沿着粗糙水平地面和光滑水平地面移动相同一段距离时，恒力做的功和平均功率分别为W1、P 1 和 W2、P 2，则二者的关系是 ( )A.W1 W2、P 1P 2 B.W1W 2、P 1P 2C.W1W 2、P 1P 2 D.W1W 2、P 1P 2解析 恒力做的功仅由力、位移及二者夹角决定，由题意，很显然 W1W 2；沿粗糙水平地面运动时，加速度小，通过相同位移所用时间长，即 t1t 2，根据P ，则有 P1P 2，故选项 B 正确。Wt答案 B4.(机车启动问题) 机车以
20、下列两种方式启动，且沿直线运动(设阻力不变)。方式：机车以不变的额定功率启动；方式：机车的启动功率先随速度均匀增加，后保持额定功率不变。如图 5 给出的四个图像中，能够正确反映机车的速度 v随时间 t 变化的是( )图 5A.甲对应方式，乙对应方式B.乙对应方式，丙对应方式C.甲对应方式，丙对应方式D.丙对应方式，丁对应方式解析 对于方式：机车以不变的额定功率启动，据 PF v 可知，随着 v 的增大，F 减小，又由 a 可知加速度减小，在 v t 图像上斜率减小，故对F fm应乙图；对于方式：机车以速度均匀增加启动，即先保持牵引力不变，可知加速度不变，当达到额定功率后，牵引力减小，直至牵引力
21、和阻力相等，最后匀速，故方式对应丙图。故选项 B 正确。答案 B合格性检测1.(多选 )设匀速行驶的汽车，发动机的功率保持不变，则( )A.路面越粗糙，汽车行驶得越慢B.路面越粗糙，汽车行驶得越快C.在同一路面上，汽车不载货比载货时行驶得快D.在同一路面上，汽车不载货比载货时行驶得慢解析 汽车匀速行驶时，牵引力等于汽车受到的阻力，故速度 v ，而汽车在Pf越粗糙的路面上，重力越大时所受阻力越大，功率不变，速度越小，所以A、C 正确，B 、D 错误。答案 AC2.(多选 )质量为 3 kg 的物体，从高 45 m 处自由落下(g 取 10 m/s2)，那么在下落的过程中( )A.前 2 s 内重
22、力做功的功率为 300 WB.前 2 s 内重力做功的功率为 675 WC.第 2 s 末重力做功的功率为 600 WD.第 2 s 末重力做功的功率为 900 W解析 前 2 s 物体下落 h gt220 m，重力做功的功率 P1 12 mght 30202W300 W，A 正确，B 错误；2 s 末物体的速度 vgt 20 m/s，此时重力的功率 P2mg v600 W ，C 正确， D 错误。答案 AC3.一辆汽车在水平公路上行驶，设汽车在行驶过程中所受阻力不变，汽车的发动机始终以额定功率输出。关于牵引力和汽车速度，下列说法中正确的是( )A.汽车加速行驶时，牵引力不变，速度增大B.汽车
23、加速行驶时，牵引力增大，速度增大C.汽车加速行驶时，牵引力减小，速度增大D.当牵引力等于零时，速度达到最大值解析 汽车的发动机输出功率恒定，即 P 一定，则由公式 PFv 可得出 v 增大，此时 F 减小，但由于合外力方向与汽车运动方向一致，因此汽车速度仍在增大；当汽车受到的牵引力和阻力相等时，汽车速度达到最大值，而后做匀速直线运动，故 C 正确。答案 C4.(2018德州高一检测) 质量为 m 的汽车启动后沿平直路面行驶，如果发动机的功率恒为 P，且行驶过程中受到的摩擦阻力大小一定，汽车速度能够达到的最大值为 v，那么当汽车的车速为 时，汽车的瞬时加速度的大小为( )v4A. B. C. D
24、.Pmv 2Pmv 3Pmv 4Pmv解析 在匀速运动时，fF ，当速度为 时，F 1 ，由 F1f ma 得 aPv v4 4Pv ，故 C 正确。F1 fm 4Pv Pvm 3Pmv答案 C5.(2018台州高一检测) 2015 年 10 月，我国自主研发的第一艘平流层飞艇 “圆梦”号试飞成功。若飞艇在平流层水平匀速飞行时，所受空气阻力与飞行速度成正比。当匀速飞行速度为 v 时，动力系统的输出功率为 P；当匀速飞行速度为 2v 时，动力系统的输出功率为( )图 1A. B. C.2P D.4PP4 P2解析 设当飞艇以速度 v 匀速飞行时，所受空气阻力为 f，则 Pf v。由题意，当匀速飞
25、行速度为 2v 时，所受空气阻力为 2f，所以此时动力系统输出的功率P12f2 v4P ，D 正确。答案 D6.汽车在平直公路上以速度 v0 匀速行驶，发动机功率为 P。快进入闹市区时，司机减小了油门，使汽车的功率立即减小一半并保持该功率继续行驶。下面四个图像中，哪个图像正确表示了从司机减小油门开始，汽车的速度与时间的关系( )解析 功率减小一半后，汽车做加速度越来越小的减速运动，最终匀速运动。选项 C 正确。答案 C7.在光滑的水平面上，用一水平拉力 F 使物体从静止开始移动 x，平均功率为P，如果将水平拉力增加为 4F，使同一物体从静止开始移动 x，平均功率为( )A.2P B.4P C.
26、6P D.8P解析 设第一次运动时间为 t，则其平均功率表达式为 P ；第二次加速度为Fxt第一次的 4 倍，由 x at2 可知时间为 ，其平均功率为 P 8P，选12 t2 4Fxt/2 8Fxt项 D 正确。答案 D8.钢球在足够深的槽中由静止开始下落，若槽中油对球的阻力正比于其速度，则球在下落的过程中阻力对球做功的功率大小随时间的变化关系最接近于下列图像中的( )解析 开始阶段，球速小，阻力也小，由 PFv 知，功率就小。由于 Fk v，则 Pk v2，可见，阻力的功率随时间非线性增大。当重力与阻力相等时，球速不变，阻力的功率达到最大。故选项 A 正确。答案 A9.如图 2 所示，质量
27、为 m2 kg 的木块在倾角 37 的斜面上由静止开始下滑，木块与斜面间的动摩擦因数为 0.5，已知：sin 370.6，cos 370.8，g取 10 m/s2，求：图 2(1)前 2 s 内重力做的功；(2)前 2 s 内重力的平均功率；(3)2 s 末重力的瞬时功率。解析 (1)木块所受的合外力 F 合 mgsin mg cos mg(sin cos )210(0.60.50.8) N4 N木块的加速度 a m/s22 m/s 2F合m 42前 2 s 内木块的位移 x at2 222 m4 m12 12所以，重力在前 2 s 内做的功为Wmgxsin 2100.64 J 48 J。(2
28、)重力在前 2 s 内的平均功率为P W24 W。Wt 482(3)木块在 2 s 末的速度vat22 m/s4 m/s2 s 末重力的瞬时功率Pmg sin v2100.6 4 W48 W。答案 (1)48 J (2)24 W (3)48 W等级性检测10.(多选 )如图 3 所示，是汽车牵引力 F 和车速倒数 的关系图像，若汽车质量为1v2103 kg，由静止开始沿平直公路行驶，阻力恒定，最大车速为 30 m/s，则以下说法正确的是( )图 3A.汽车的额定功率为 6104 WB.汽车运动过程中受到的阻力为 6103 NC.汽车先做匀加速运动，然后再做匀速直线运动D.汽车做匀加速运动的时间
29、是 5 s解析 由图像可知，汽车先做牵引力恒定的匀加速运动，再做额定功率恒定的变加速运动，P 额 F v210 330 W610 4 W，A 正确，C 错误；当汽车速度最大时牵引力 Ff210 3 N，B 错误；汽车匀加速运动的加速度a F fm2 m/s2，汽车刚达到额定功率时的速度 v 10 m/s，所以汽车做匀加速运动P额F的时间 t 5 s，D 正确。va答案 AD11.(2018潍坊高一检测) 如图 4 所示为修建高层建筑常用的塔式起重机。在起重机将质量 m510 3 kg 的重物竖直吊起的过程中，重物由静止开始向上作匀加速直线运动，加速度 a0.2 m/s2，当起重机输出功率达到其
30、允许的最大值时，保持该功率直到重物做 vm1.02 m/s 的匀速运动。g 取 10 m/s2，不计额外功。求： 图 4(1)起重机允许输出的最大功率；(2)重物做匀加速运动所经历的时间；(3)起重机在第 2 秒末的输出功率。解析 (1)设起重机允许输出的最大功率为 P0，重物达到最大速度时，拉力 F0等于重力。P0F 0vmP0mg vm代入数据，有：P 05.110 4 W。(2)匀加速运动结束时，起重机达到允许输出的最大功率，设此时重物受到的拉力为 F，速度为 v1，匀加速运动经历时间为 t1，有：P0Fv 1Fmg mav1at 1由，代入数据，得：t 15 s (3)t2 s 时，重物处于匀加速运动阶段，设此时速度为 v2，输出功率为 P，则v2atPFv 2由，代入数据，得：P2.0410 4 W。答案 (1)5.1 104 W (2)5 s (3)2.0410 4 W
