1、1 专题限时集训(九) 空间中的平行与垂直关系 (对应学生用书第95页) (限时：40分钟) 题型1 空间位置关系的判断与证明 1,3,6,7,8,9,10,12,14 题型2 平面图形的翻折问题 2,4,5,11,13 一、选择题 1(2017河北邢台二模)设m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面给出下 列四个命题： 若mn，m，则n；若mn，m，则n； 若m，m，则；若n，n，则. 其中真命题的个数为( ) A1 B2 C3 D4 A 是常用结论；还有可能n；还有可能，相交，此时m与它们的 交线平行；垂直于同一直线的两个平面平行故选A. 2(2017贵阳二模)如图96，在正方形ABCD中
2、，E，F分别是BC，CD的中点，沿 AE，AF，EF把正方形折成一个四面体，使B，C，D三点重合，重合后的点记为P，P点 在AEF内的射影为O，则下列说法正确的是( ) 图96 AO是AEF的垂心 BO是AEF的内心 CO是AEF的外心 DO是AEF的重心 A 由题意可知PA，PE，PF两两垂直，PA平面 PEF，从而PAEF，而PO平面AEF， 则POEF. POPAP，EF平面PAO，EFAO，同理可知 AEFO，AFEO，O为AEF的垂心故选A. 3(2016长沙模拟)如图97，正方体ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 的棱长为1，2 E，F是线段B 1 D 1 上的两个动点，且EF
3、 ，则下列结论中错误的是( ) 2 2 图97 AACBF B三棱锥ABEF的体积为定值 CEF平面ABCD D异面直线AE，BF所成的角为定值 D 对于选项A，连接BD(图略)，易知AC平面BDD 1 B 1 . BF平面 BDD 1 B 1 ，ACBF，故A正确；对于选项B，AC平面BDD 1 B 1 ，A到 平面BEF的距离不变 EF ，B到EF的距离为1，BEF的面积不变， 2 2 三棱锥ABEF的体积为定值，故B正确；对于选项C，EFBD，BD平面 ABCD，EF平面 ABCD，EF平面ABCD，故C正确；对于选项D，异面直线AE，BF 所成的角不为定值，当F与B 1 重合时，令上底
4、面中心为O，则此时两异面直线所成 的角是A 1 AO，当E与D 1 重合时，点F与O重合，则两异面直线所成的角是 OBC 1 ，这两个角不相等，故异面直线AE，BF所成的角不为定值，故D错误 4(2017广东惠州三调)如图98 是一个几何体的平面展开图，其中四边形ABCD为正方 形，E，F分别为PA，PD的中点，在此几何体中，给出下面4个结论： 图98 直线BE与直线CF异面；直线BE与直线AF异面；直线EF平面PBC；平 面BCE平面PAD.其中正确的有( ) 【导学号：07804069】 A1个 B2个 C3个 D4个3 B 将展开图还原为几何体(如图)，因为四边形ABCD为正 方形，E，
5、F分别为PA，PD的中点，所以EFADBC，则直 线BE与CF共面，错；因为AF平面 PAD，B平面 PAD，E平面PAD，EAF，所以BE与AF是异面直线，正 确；因为EFADBC，EF平面 PBC，BC平面PBC，所以 EF平面PBC，正确；平面PAD与平面BCE不一定垂直，错故选B. 5(2017江西景德镇二模)将图99(1)中的等腰直角三角形ABC沿斜边BC上的中线折起 得到空间四面体ABCD(如图99(2)，则在空间四面体ABCD中，AD与BC的位置关系是 ( ) 图99(1) 图99(2) A相交且垂直 B相交但不垂直 C异面且垂直 D异面但不垂直 C 在题图(1)中，ADBC，故
6、在题图(2)中，ADBD，ADDC，又因为 BDDCD，所以AD平面BCD，又BC平面 BCD，D不在BC上，所以ADBC，且 AD与BC异面，故选C. 6(2017合肥二模)若平面截三棱锥所得截面为平行四边形，则该三棱锥中与平面 平行的棱有( ) A0条 B1条 C2条 D0条或2条 C 因为平行于三棱锥的两条相对棱的平面截三棱锥所得的截面是平行四边形，所 以该三棱锥中与平面平行的棱有2条，故选C. 7(2017河北唐山3月模拟)已知 P是ABC所在平面外一点，M，N分别是AB，PC的中 点，若MNBC4，PA4 ，则异面直线PA与MN所成角的大小是( ) 3 A30 B45 C60 D90
7、 A 取AC的中点O，连接OM，ON(图略)，则 ONAP，ON AP，OMBC，OM BC，所以异面直线PA与MN所成的角为ONM(或 1 2 1 2 其补角)，在ONM中，OM2，ON2 ，MN4，由勾股定理的逆定理得OMON， 3 则ONM30.故选A. 8(2016福建漳州八校一模)下列命题中正确的个数是( )4 过异面直线a，b外一点P有且只有一个平面与a，b都平行； 直线a，b在平面内的射影相互垂直，则ab； 底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥； 直线a，b分别在平面，内，且ab，则. A0 B1 C2 D3 A 对于，当点P与两条异面直线中的一条直线确定的平面
8、与另一条直线平行时， 就无法找到过点P且与两条异面直线都平行的平面，故错误；对于，在如图1 所示的三棱锥PABC中，PB平面ABC，BABC，满足PA，PC在底面的射影相互垂 直，但PA与PC不垂直，故错误；对于，在如图2所示的三棱锥PABC中， ABBCACPA2，PBPC3，满足底面ABC是等边三角形，侧面都是等腰三角 形，但三棱锥PABC不是正三棱锥，故错误；对于，也可以平行，故 错误所以正确命题的个数为0.选A. 二、填空题 9(2017深圳模拟)在三棱锥PABC中，PB6，AC3，G为PAC的重心，过点G作三 棱锥的一个截面，使截面平行于 PB和AC，则截面的周长为_ 8 过点G作E
9、FAC，分别交PA、PC于点E、F，过E、F分别作 ENPB、FMPB，分别交AB、BC于点N、M，连接MN(图略)，则四边形EFMN是平行 四边形(平面EFMN为所求截面)，且EFMN AC2，FMEN PB2，所以截面 2 3 1 3 的周长为248. 10(2017安徽安庆二模)正四面体ABCD中，E、F分别为AB、BD的中点，则异面直线 AF、CE所成角的余弦值为_取BF的中点G，连接CG，EG，(图略)易知EGAF，所以异面直线AF、CE所成 1 6 的角即为GEC(或其补角) 不妨设正四面体棱长为2，易求得CE ，EG ，CG ，由余弦定理得 3 3 2 13 2 cosGEC ，
10、异面直线AF、CE所成角的余弦 EG2CE2CG2 2EGCE 3 4 3 13 4 2 3 2 3 1 65 值为 . 1 6 11已知在直角梯形ABCD中，ABAD，CDAD，AB2AD2CD2，将直角梯形ABCD沿 AC折叠成三棱锥DABC，当三棱锥DABC的体积取最大值时，其外接球的体积为 _. 【导学号：07804070】 当平面DAC平面ABC时，三棱锥DABC的体积取最大值此时易知BC平 4 3 面DAC，BCAD.又ADDC，AD平面BCD，ADBD，取AB的中点O，易得 OAOBOCOD1，故O为所求外接球的球心，故半径r1，体积V r 3 . 4 3 4 3 12(2017
11、武昌区调研)若四面体ABCD的三组对棱分别相等，即 ABCD，ACBD，ADBC，给出下列结论： 四面体ABCD每组对棱相互垂直； 四面体ABCD每个面的面积相等； 从四面体ABCD每个顶点出发的三条棱两两夹角之和大于90而小于180； 连接四面体ABCD每组对棱中点的线段相互垂直平分； 从四面体ABCD每个顶点出发的三条棱的长可作为一个三角形的三边长 其中正确结论的序号是_(写出所有正确结论的序号) ，如图1，AE，CF分别为BD边上的高，由三角形全等可知DEBF，当 且仅当ADAB，CDBC时，E，F重合，此时ACBD，所以当四面体ABCD为正四面 体时，每组对棱相互垂直，故错误；，因为A
12、BCD，ACBD，ADBC，所以四 面体四个面全等，所以四面体ABCD每个面的面积相等，故正确；，当四面体为 正四面体时，同一个顶点出发的任意两条棱的夹角均为60，此时四面体ABCD每 个顶点出发的三条棱两两夹角之和等于180，故错误；，如图 2，G，H，I，J为各边中点，因为ACBD，所以四边形GHIJ为菱形，GI，HJ相互 垂直平分，其他同理可得，所以连接四面体ABCD每组对棱中点的线段相互垂直平分， 故正确；，从A点出发的三条棱为AB，AC，AD，因为ACBD，所以 AB，AC，AD可以构成三角形，同理可得其他，所以从四面体ABCD每个顶点出发的 三条棱的长可作为一个三角形的三边长，故正
13、确综上所述，正确的结论为 .6 三、解答题 13在平面四边形ABCD(图910(1)中，ABC与ABD均为直角三角形且有公共斜边 AB，设AB2，BAD30，BAC45，将ABC沿AB折起，构成如图910(2)所 示的三棱锥CABD. 图910(1) 图910(2) (1)当CD 时，求证：平面CAB平面DAB； 2 (2)当ACBD时，求三棱锥CABD的高 解 (1)证明：当CD 时，取AB的中点O，连接 2 CO，DO， 在RtABC，RtADB中，AB2，则CODO1， CD ，CO 2 DO 2 CD 2 ，即COOD， 2 由BAC45得ABC为等腰直角三角形， COAB， 又ABO
14、DO，AB，OD平面 ABD， CO平面ABD， CO平面 ABC， 平面CAB平面DAB. (2)由已知可求得AD ，ACBC ，BD1， 3 2 当ACBD时，由已知ACBC，得AC平面BDC， CD平面 BDC， ACCD， 由勾股定理，得CD 1， AD2AC2 32 而BDC中，BD1，BC ， 2 CD 2 BD 2 BC 2 ， CDBD.7 S BDC 11 . 1 2 1 2 三棱锥CABD的体积V S BDC AC . 1 3 1 3 1 2 2 2 6 S ABD 1 ， 1 2 3 3 2 设三棱锥CABD的高为h，则由 h ，解得h . 1 3 3 2 2 6 6 3
15、 14如图911，一个侧棱长为l的直三棱柱ABCA 1 B 1 C 1 容器中盛有液体(不计容器厚度) 若液面恰好分别过棱AC，BC，B 1 C 1 ，A 1 C 1 的中点D，E，F，G. 图911 (1)求证：平面DEFG平面ABB 1 A 1 ； (2)当底面ABC水平放置时，求液面的高. 【导学号：07804071】 解 (1)证明：因为D，E分别为棱AC，BC的中点，所以DE是ABC的中位线， 所以DEAB.又DE平面 ABB 1 A 1 ，AB平面ABB 1 A 1 ，所以DE平面ABB 1 A 1 .同理DG 平面ABB 1 A 1 ，又DEDGD，所以平面DEFG平面ABB 1 A 1 . (2)当直三棱柱ABCA 1 B 1 C 1 容器的侧面AA 1 B 1 B水平放置时，由(1)可知，液体部分是 直四棱柱，其高即为原直三棱柱ABCA 1 B 1 C 1 容器的高，即侧棱长l，当底面ABC水 平放置时，设液面的高为h，ABC的面积为S，则由已知条件可知，CDE CAB，且S CDE S，所以S 四边形ABED S. 1 4 3 4 由于两种状态下液体体积相等，所以V 液体 ShS 四边形ABED l Sl，即h l. 3 4 3 4 因此，当底面ABC水平放置时，液面的高为 l. 3 4
