1、1突破点 9 空间中的平行与垂直关系(对应学生用书第 32 页)核心知识提炼提炼 1 异面直线的性质(1)异面直线不具有传递性注意不能把异面直线误解为分别在两个不同平面内的两条直线或平面内的一条直线与平面外的一条直线(2)异面直线所成角的范围是 ，所以空间中两条直线垂直可能为异面垂直或相交(0， 2垂直(3)求异面直线所成角的一般步骤为：找出(或作出)适合题设的角 用平移法；求 转化为在三角形中求解；结论 由所求得的角或其补角即为所求.提炼 2 平面与平面平行的常用性质(1)夹在两个平行平面之间的平行线段长度相等(2)经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行(3)如果两个平面分别平行于第三
2、个平面，那么这两个平面互相平行(4)两个平面平行，则其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面.提炼 3 证明线面位置关系的方法(1)证明线线平行的方法：三角形的中位线等平面几何中的性质；线面平行的性质定理；面面平行的性质定理；线面垂直的性质定理(2)证明线面平行的方法：寻找线线平行，利用线面平行的判定定理；寻找面面平行，利用面面平行的性质(3)证明线面垂直的方法：线面垂直的定义，需要说明直线与平面内的所有直线都垂直；线面垂直的判定定理；面面垂直的性质定理(4)证明面面垂直的方法：定义法，即证明两个平面所成的二面角为直二面角；面面垂直的判定定理，即证明一个平面经过另一个平面的一条垂线高考真题
3、回访回访 1 空间点、线、面的位置关系1(2016浙江高考)已知互相垂直的平面 ， 交于直线 l，若直线 m， n 满足m ， n ，则( )A m l B m n2C n l D m nC l， l . n ， n l，故选 C.2(2013浙江高考)在空间中，过点 A 作平面 的垂线，垂足为 B，记 B f (A)设 ， 是两个不同的平面，对空间任意一点 P， Q1 f f (P)， Q2 f f (P)，恒有 PQ1 PQ2，则( ) 【导学号：68334106】A平面 与平面 垂直B平面 与平面 所成的(锐)二面角为 45C平面 与平面 平行D平面 与平面 所成的(锐)二面角为 60A
4、 设 P1 f (P)， P2 f (P)，则 PP1 ， P1Q1 ， PP2 ， P2Q2 .若 ，则 P1与 Q2重合、 P2与 Q1重合，所以 PQ1 PQ2，所以 与 相交设 l，由 PP1 P2Q2，所以 P， P1， P2， Q2四点共面同理 P， P1， P2， Q1四点共面所以 P， P1， P2， Q1， Q2五点共面，且 与 的交线 l 垂直于此平面又因为PQ1 PQ2，所以 Q1， Q2重合且在 l 上，四边形 PP1Q1P2为矩形那么 P1Q1P2 为二面 2角 l 的平面角，所以 .3(2013浙江高考)设 m， n 是两条不同的直线， ， 是两个不同的平面( )A
5、若 m ， n ，则 m nB若 m ， m ，则 C若 m n， m ，则 n D若 m ， ，则 m C A 项，当 m ， n 时， m， n 可能平行，可能相交，也可能异面，故错误；B项，当 m ， m 时， ， 可能平行也可能相交，故错误；C 项，当m n， m 时， n ，故正确；D 项，当 m ， 时， m 可能与 平行，可能在 内，也可能与 相交，故错误故选 C.4(2015浙江高考)如图 91，在三棱锥 ABCD 中， AB AC BD CD3， AD BC2，点M， N 分别为 AD， BC 的中点，则异面直线 AN， CM 所成的角的余弦值是_图 91如图所示，连接 DN
6、，取线段 DN 的中点 K，连接 MK， CK.783 M 为 AD 的中点， MK AN， KMC 为异面直线 AN， CM 所成的角 AB AC BD CD3， AD BC2， N 为 BC 的中点，由勾股定理易求得 AN DN CM2 ， MK .2 2在 Rt CKN 中， CK . 2 2 12 3在 CKM 中，由余弦定理，得cos KMC . 2 2 22 2 3 22222 78回访 2 直线、平面平行的判定与性质5(2015浙江高考)设 ， 是两个不同的平面， l， m 是两条不同的直线，且l ， m .( )A若 l ，则 B若 ，则 l mC若 l ，则 D若 ，则 l
7、mA l ， l ， (面面垂直的判定定理)，故 A 正确6(2017浙江高考)如图 92，已知四棱锥 PABCD， PAD 是以 AD 为斜边的等腰直角三角形， BC AD， CD AD， PC AD2 DC2 CB， E 为 PD 的中点图 92(1)证明： CE平面 PAB；(2)求直线 CE 与平面 PBC 所成角的正弦值解 (1)证明：如图，设 PA 的中点为 F，连接 EF， FB.因为 E， F 分别为 PD， PA 的中点，所以 EF AD 且 EF AD. 3 分124又因为 BC AD， BC AD，12所以 EF BC 且 EF BC，所以四边形 BCEF 为平行四边形，
8、所以 CE BF.因为 BF平面 PAB， CE平面 PAB，所以 CE平面 PAB. 7 分(2)分别取 BC， AD 的中点 M， N.连接 PN 交 EF 于点 Q，连接 MQ.因为 E， F， N 分别是 PD， PA， AD 的中点，所以 Q 为 EF 的中点. 9 分在平行四边形 BCEF 中， MQ CE.由 PAD 为等腰直角三角形得 PN AD.由 DC AD， BC AD， BC AD， N 是 AD 的中点得 BN AD.12所以 AD平面 PBN. 11 分由 BC AD 得 BC平面 PBN，那么平面 PBC平面 PBN.过点 Q 作 PB 的垂线，垂足为 H，连接
9、MH，MH 是 MQ 在平面 PBC 上的射影，所以 QMH 是直线 CE 与平面 PBC 所成的角. 13 分设 CD1.在 PCD 中，由 PC2， CD1， PD 得 CE ，2 2在 PBN 中，由 PN BN1， PB 得 QH ，314在 Rt MQH 中， QH ， MQ ，14 2所以 sin QMH .28所以，直线 CE 与平面 PBC 所成角的正弦值是 . 15 分287(2013浙江高考)如图 93，在四面体 ABCD 中， AD平面BCD， BC CD， AD2， BD2 ， M 是 AD 的中点， P 是 BM 的中点，点 Q 在线段 AC 上，2且 AQ3 QC.
10、5图 93(1)证明： PQ平面 BCD；(2)若二面角 CBMD 的大小为 60，求 BDC 的大小解 法一 (1)证明：如图(1)，取 BD 的中点 O，在线段 CD 上取点 F，使得DF3 FC，连接 OP， OF， FQ.因为 AQ3 QC，所以 QF AD，且 QF AD.142 分(1)因为 O， P 分别为 BD， BM 的中点，所以 OP 是 BDM 的中位线，所以 OP DM，且 OP DM. 4 分12又点 M 为 AD 的中点，所以 OP AD，且 OP AD.14从而 OP FQ，且 OP FQ， 5 分所以四边形 OPQF 为平行四边形，故 PQ OF.又 PQ平面
11、BCD， OF平面 BCD，所以 PQ平面 BCD. 6 分(2)如图，作 CG BD 于点 G，作 GH BM 于点 H，连接 CH.因为 AD平面 BCD， CG平面 BCD，所以 AD CG. 8 分又 CG BD， AD BD D，故 CG平面 ABD.又 BM平面 ABD，所以 CG BM.又 GH BM， CG GH G，故 BM平面 CGH，所以 GH BM， CH BM.6所以 CHG 为二面角 CBMD 的平面角，即 CHG60. 10 分设 BDC ，在 Rt BCD 中，CD BDcos 2 cos ， CG CDsin 22 cos sin ，2BC BDsin 2 s
12、in ， BG BCsin 2 sin2 . 12 分2 2在 BGM 中，HG .BGDMBM 22sin23因为 CG平面 ABD， GH平面 ABD，所以 CG GH. 13 分在 Rt CHG 中，tan CHG .CGHG 3cos sin 3所以 tan .从而 60.即 BDC60. 15 分3法二 (1)证明：如图(2)，取 BD 的中点 O，以 O 为原点， OD， OP 所在射线为 y， z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系 Oxyz. 2 分(2)由题意知 A(0， ，2)， B(0， ，0)， D(0， ，0)2 2 2设点 C 的坐标为( x0， y0,0)，因为 3
13、，AQ QC 所以 Q . 4 分(34x0， 24 34y0， 12)因为点 M 为 AD 的中点，故 M(0， ，1)2又点 P 为 BM 的中点，故 P ，(0， 0，12)所以 . 5 分PQ (34x0， 24 34y0， 0)又平面 BCD 的一个法向量为 a(0,0,1)，故 a0.PQ 又 PQ平面 BCD，所以 PQ平面 BCD. 6 分(2)设 m( x， y， z)为平面 BMC 的一个法向量7由 ( x0， y0,1)， (0,2 ，1)，CM 2 BM 2知Error! 8 分取 y1，得 m . 10 分(y0 2x0 ， 1， 22)又平面 BDM 的一个法向量为
14、 n(1,0,0)，于是|cos m， n| ，|mn|m|n|y0 2x0 |9 (y0 2x0 )2 12即 23.(y0 2x0 )又 BC CD，所以 0， 12 分CB CD 故( x0， y0,0)( x0， y0,0)0，2 2即 x y 2.20 20联立，解得Error!(舍去)或Error! 13 分所以 tan BDC .|x02 y0| 3又 BDC 是锐角，所以 BDC60. 15 分回访 3 直线、平面垂直的判定与性质8(2017浙江高考 9)如图 94，已知正四面体 DABC(所有棱长均相等的三棱锥)，P， Q， R 分别为 AB， BC， CA 上的点， AP
15、PB， 2，分别记二面角BQQC CRRADPRQ， DPQR， DQRP 的平面角为 ， ， ，则( )图 94A ORsin ORP a， OFOGOE， ，ODtan ODtan ODtan .故选 B.9(2015浙江高考)如图 95，已知 ABC， D 是 AB 的中点，沿直线 CD 将 ACD 翻折成A CD，所成二面角 A CDB 的平面角为 ，则( ) 【导学号：68334107】图 95A A DB B A DB C A CB D A CB B A C 和 BC 都不与 CD 垂直， A CB ，故 C，D 错误当 CA CB 时，容易证明 A DB .不妨取一个特殊的三角形
16、，如 Rt ABC，令斜边AB4， AC2， BC2 ，如图所示，则 CD AD BD2， BDH120，设沿直线 CD3将 ACD 折成 A CD，使平面 A CD平面 BCD，则 90.取 CD 中点 H，连接A H， BH，则 A H CD， A H平面 BCD，且 A H ， DH1.在 BDH 中，由余弦3定理可得 BH .在 Rt A HB 中，由勾股定理可得 A B .在 A DB 中，7 10 A D2 BD2 A B220，可知 cos A DB0， A DB 为钝角，故排除 A.综上可知答案为 B.910(2014浙江高考)设 m， n 是两条不同的直线， ， 是两个不同的
17、平面( )A若 m n， n ，则 m B若 m ， ，则 m C若 m ， n ， n ，则 m D若 m n， n ， ，则 m C A 中，由 m n， n 可得 m 或 m 与 相交或 m ，错误；B 中，由 m ， 可得 m 或 m 与 相交或 m ，错误；C 中，由 m ， n 可得 m n，又 n ，所以 m ，正确；D 中，由 m n， n ， 可得 m 或 m 与 相交或 m ，错误11(2014浙江高考)如图 96，在四棱锥 ABCDE 中，平面 ABC平面BCDE， CDE BED90， AB CD2， DE BE1， AC .2图 96(1)证明： AC平面 BCDE；
18、(2)求直线 AE 与平面 ABC 所成的角的正切值解 (1)证明：如图，连接 BD，在直角梯形 BCDE 中，由DE BE1， CD2，得 BD BC . 2 分2由 AC ， AB2，得 AB2 AC2 BC2，即 AC BC.2又平面 ABC平面 BCDE，从而 AC平面 BCDE. 5 分(2)在直角梯形 BCDE 中，由 BD BC ， DC2，得 BD BC. 6 分2又平面 ABC平面 BCDE，所以 BD平面 ABC.如图，作 EF BD，与 CB 的延长线交于 F，连接 AF，则 EF平面 ABC.所以 EAF 是直线AE 与平面 ABC 所成的角. 8 分在 Rt BEF
19、中，由 EB1， EBF ，得 EF ， BF ；在 Rt ACF 中， 4 22 22由 AC ， CF ，232210得 AF . 11 分262在 Rt AEF 中，由 EF ， AF ，22 262得 tan EAF .1313所以，直线 AE 与平面 ABC 所成的角的正切值是 . 15 分1313(对应学生用书第 35 页)热点题型 1 空间位置关系的判断与证明题型分析：空间中平行与垂直关系的判断与证明是高考常规的命题形式，此类题目综合体现了相关判定定理和性质定理的考查，同时也考查了学生的空间想象能力及转化与化归的思想.【例 1】 (1) ， 是两平面， AB， CD 是两条线段，
20、已知 EF， AB 于点B， CD 于点 D，若增加一个条件，就能得出 BD EF.现有下列条件： AC ； AC 与 ， 所成的角相等； AC 与 CD 在 内的射影在同一条直线上； AC EF.其中能成为增加条件的序号是_【导学号：68334108】 若 AC ，且 EF ，则 AC EF，又 AB ，且 EF ，则 AB EF， AB 和 AC是平面 ACDB 上的两条相交直线，则 EF平面 ACDB，则 EF BD，可以成为增加的条件； AC 与 ， 所成的角相等， AC 和 EF 不一定垂直，可以相交、平行，所以 EF 与平面 ACDB 不一定垂直，所以推不出 EF 与 BD 垂直，不能成为增加的条件；由CD ， EF ，得 EF CD，所以 EF 与 CD 在 内的射影垂直，又 AC 与 CD 在 内的射影在同一直线上，所以 EF AC， CD 和 AC 是平面 ACDB 上的两条相交直线，则 EF平面 ACDB，则 EF BD，可以成为增加的条件；若 AC EF，则 AC ，则 BD AC，所以 BD EF，不能成为增加的条件，故能成为增加条件的序号是.(2)如图 97，已知正三棱锥 PABC 的侧面是直角三角形， PA6，顶点 P 在平面 ABC 内的正投影为点 D， D 在平面 PAB 内的正投影为点 E，连接 PE 并延长交 AB 于点 G.图 97
