1、1 专题限时集训(八) 空间几何体的三视图、表面积和体积 (对应学生用书第93页) (限时：40分钟) 题型1 几何体的三视图、表面积和体 积 2,3,4,5,6,11,14,15,16,17,19 题型2 球与几何体的切接问题 1,7,8,9,10,12,13,18,20 一、选择题 1一个四面体的顶点都在球面上，它们的正视图、侧视图、俯视图都是如图812所示， 图中圆内有一个以圆心为中心边长为1的正方形，则这个四面体的外接球的表面积是( ) 图812 A B3 C4 D6 B 由三视图可知：该四面体是正方体的一个内接正四面体， 此四面体的外接球的直径为正方体的对角线长为 ， 3 此四面体的
2、外接球的表面积为4 3，故选B. ( 3 2 ) 22(2017惠州三调)某四棱锥的三视图如图813所示，该四棱锥最 长棱的棱长为( ) 【导学号：07804060】 图813 A1 B 2 C. D2 3 C 四棱锥的直观图如图所示，PC平面ABCD，PC1，底2 面四边形ABCD为正方形且边长为1，故最长棱PA . 121212 3 3(2017沈阳一模)已知S，A，B，C是球O表面上的不同点，SA平面 ABC，ABBC，AB1，BC ，若球O的表面积为4，则SA( ) 2 A. B1 2 2 C. D 2 3 2 B 根据已知把SABC补成如图所示的长方体因为球O的表面 积为4，所以球O
3、的半径R1,2R 2，解得 SA212 SA1，故选B. 4(2017广州一模)如图814，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的 正视图(等腰直角三角形)和侧视图，且该几何体的体积为 ，则该几何体的俯视图可以 8 3 是( ) 图814ABCD D 由题意可得该几何体可能为四棱锥 ，如图所示，其高为2，其 底面为正方形，面积为224，因为该几何体的体积为 42 1 3 ，满足条件，所以俯视图可以为一个直角三角形 .选D. 8 3 5(2017江西五校联考)如图815是一个正三棱柱挖去一个圆柱后得到的几何体的三视 图，则该几何体的体积与挖去的圆柱的体积的比值为( )3 图815 A
4、. 1 B 3 3 3 3 1 3 C. D 1 3 3 3 3 A 由三视图知圆柱与正三棱柱的各侧面相切，设圆柱的底面半径为r，高为h，则 V 圆柱 r 2 h.正三棱柱底面三角形的高为3r，边长为2 r，则V 正三棱柱 3 2 r3rh3 r 2 h，所以该几何体的体积V(3 )r 2 h，则该几何体的体 1 2 3 3 3 积与挖去的圆柱的体积的比值为 1. 3 3r2h r2h 3 3 6(2017郑州第一次质量检测)某几何体的三视图如图816所示，则该几何体的体积为( ) 图816 A80 B160 C240 D480 B 如图所示，题中的几何体是从直三棱柱ABCABC中截 去一个三
5、棱锥AABC后所剩余的部分，其中底面ABC是 直角三角形，ACAB，AC6，AB8，BB10，因此题中的 几何体的体积为 10 ( 1 2 6 8 ) 1 3 ( 1 2 6 8 ) 10 2 3 10160，选B. ( 1 2 6 8 )4 7(2017南昌十校二模联考)三棱锥PABC的四个顶点都在体积为 的球的表面上， 500 3 底面ABC所在的小圆面积为16，则该三棱锥的高的最大值为( ) A4 B6 C8 D10 C 依题意，设题中球的球心为O、半径R，ABC的外接圆半径为r，则 4R3 3 ，解得R5，由r 2 16，解得r4，又球心O到平面ABC的距离为 500 3 3，因此三棱
6、锥PABC的高的最大值为538，选C. R2r2 8(2017兰州实战模拟)某几何体的三视图如图817所示，则下列说法正确的是( ) 【导学号：07804061】 图817 该几何体的体积为 ； 1 6 该几何体为正三棱锥； 该几何体的表面积为 ； 3 2 3 该几何体外接球的表面积为3. A B C D B 根据该几何体的三视图，可知该几何体是一个三棱锥，如 图所示，其底面为一个直角边长为1的等腰直角三角形，高为 1，它的另外三条棱长均为 ，显然其是一个正三棱锥，正确； 2 该几何体的体积V 111 ，正确；该几何体的表 1 3 1 2 1 6 面积S3 11 ，错误；该几何体外接球的直径为
7、 1 2 1 2 2 2 3 2 3 2 3 2 2R ，所以其外接球的表面积为4R 2 3，正确故选B. 121212 3 9(2017广州高中毕业班综合测试)如图818，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出 的是某三棱锥的三视图，则该三棱锥的外接球的表面积是( )5 图818 A25 B 25 4 C29 D 29 4 D 由俯视图，可得该三棱锥底面外接圆的半径r ， 5 4 三棱锥的外接球的半径R ，三棱锥的外接球的表面积 29 4 S4R 2 . 29 4 10(2017石家庄、唐山联考)已知三棱锥PABC的顶点都在同一个球面上(球O)，且 PA2，PBPC ，当三棱锥 PABC的三个
8、侧面的面积之和最大时，该三棱锥的体积 6 与球O的体积的比值是( ) A. B 3 16 3 8 C. D 1 16 1 8 A 三棱锥PABC的三个侧面的面积之和为 2 sinAPB 2 sinAPC sinBPC，由于 1 2 6 1 2 6 1 2 6 6 APB，APC，BPC相互之间没有影响，所以只有当上述三个角均为直角时，三 棱锥PABC的三个侧面的面积之和最大，此时PA，PB，PC两两垂直，以其为长方体 的三条棱长得出一个长方体，则三棱锥PABC与该长方体有共同的外接球，故球O 的半径r 2，所以三棱锥PABC的体积与球O的体积的 1 2 22 62 62 比值是 . 1 3 1
9、 2 2 6 6 4 3 23 3 16 11从点P出发的三条射线PA，PB，PC两两成60角，且分别与球O相切于A，B，C三 点，若OP ，则球的体积为( ) 3 A. B 3 2 36 C. D 4 3 8 3 C 设OP交平面ABC于O， 由题得ABC和PAB为正三角形， 所以OA AB AP. 3 3 3 3 因为AOPO，OAPA， 所以 ， ， ， OP OA AP AO AO AB 3 3 AO AP 3 3 所以OA 1， OPOA AP 3 3 3 即球的半径为1， 所以其体积为 1 3 .选C. 4 3 4 3 12(2017开封模拟)已知直三棱柱ABCA 1 B 1 C
10、1 的6个顶点都在球O的球面上，若 AB3，AC1，BAC60，AA 1 2，则该三棱柱的外接球的体积为( ) A. B 40 3 40 30 27 C. D20 320 30 27 B 如图，设A 1 B 1 C 1 的外心为O 1 ，ABC的外心为 O 2 ，连接O 1 O 2 ，OB，O 2 B. 由题意可得，球心O为O 1 O 2 的中点 在ABC中，由余弦定理可得 BC 2 AB 2 AC 2 2ABACcosBAC3 2 1 2 231c os 607，所以BC . 7 由正弦定理可得，ABC外接圆的直径2r2O 2 B ，所以r BC sin 60 2 7 3 7 3 . 21
11、3 而球心O到截面ABC的距离dOO 2 BB 1 1， 1 2 设直三棱柱ABCA 1 B 1 C 1 外接球的半径为R，由球的截面的性质可得R 2 r 2 d 2 1 2 ， ( 21 3 ) 210 3 所以球的体积为V R 3 .故选B. 4 3 40 30 277 13(2017惠州模拟)已知一个平放的棱长为4的三棱锥内有一小球O(重量忽略不计)， 现从该三棱锥顶端向内注水，小球慢慢上浮，若注入的水的体积是该三棱锥体积的 时， 7 8 小球与该三棱锥各侧面均相切(与水面也相切)，则球的表面积等于( ) 【导学号：07804062】 A. B 7 6 4 3 C. D 2 3 1 2
12、C 由题意，没有水的部分的体积是正四面体体积的 ， 1 8 正四面体的各棱长均为4， 正四面体体积为 4 2 ， 1 3 3 4 16 16 3 16 2 3 没有水的部分的体积是 ， 2 2 3 设其棱长为a， 则 a 2 a ， 1 3 3 4 6 3 2 2 3 a2， 设小球的半径为r， 则4 2 2 r ， 1 3 3 4 2 2 3 r ， 6 6 球的表面积S4 . 1 6 2 3 故选C. 14(2017宁德三模)已知正ABC 三个顶点都在半径为2的球面上，球心O到平面ABC 的距离为1，点E是线段AB的中点，过点E作球O的截面，则截面面积的最小值是( ) 图819 A. B2
13、 7 48 C. D3 9 4 C 设正ABC的中心为O 1 ，连接O 1 A，O 1 O，O 1 E，OE(图略)， O 1 是正ABC的中心，A，B，C三点都在球面上， O 1 O平面ABC，球的半径R2，球心O到平面ABC的距离为1，得O 1 O1， RtO 1 OA中，O 1 A ， OA2OO2 1 3 又E为AB的中点，ABC是等边三角形，AEAO 1 cos 30 . 3 2 过E作球O的截面，当截面与OE垂直时，截面圆的半径最小， 当截面与OE垂直时，截面圆的面积有最小值 此时截面圆的半径r ， 3 2 可得截面面积为Sr 2 .故选C. 9 4 二、填空题 15(2017郑州
14、二模)正方体的八个顶点中，有四个恰好为一个正四面体的顶点，则正方 体的表面积与正四面体的表面积之比为_如图，四面体ABCD的所有棱均为正方体的面对角线，设 3 正方体的棱长为a，则正方体的表面积为6a 2 ，正四面体的棱长 均为 a，其表面积为4 a a2 a 2 ，则 2 1 2 2 3 2 2 3 . 6a2 2 3a2 3 16(2017南昌一模)如图820，直角梯形ABCD中， ADDC，ADBC，BC2CD2AD2，若将该直角梯形绕BC边旋转一周，则所得的几何 体的表面积为_ 图820 ( 3) 根据题意可知，此旋转体的上半部分为圆锥(底面 2 半径为1，高为1)，下半部分为圆柱(底
15、面半径为1，高为1)， 如图所示 则所得几何体的表面积为圆锥侧面积、圆柱的侧面积以及圆柱9 的下底面积之和，即表面积为1 21 2 1 2 ( 3). 1212 2 17(2017武汉4月模拟)在四面体PABC中，PAPBPCBC1，则该四面体体积的最 大值为_由题意知，PBC的面积为定值，如图，当PA垂直于平 3 12 面PBC时，该四面体的体积最大，V max 1 . 1 3 3 4 3 12 18(2017山东日照一模)现有一半球形原料，若通过切削将该原料 加工成一正方体工件，则所得工件体积与原料体积之比的最大值为_. 【导学号：07804063】设球的半径为R，正方体的棱长为a.由题意
16、得当正方体体积最大时，a 2 6 3 R 2 ，R a，所得工件体积与原料体积之比的最大值为 ( 2 2 a ) 26 2 a3 1 2 4 3 R3 . 6 3 19(2016宁夏银川一中月考)已知E、F分别是棱长为a的正方体ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 的棱 AA 1 ，CC 1 的中点，则四棱锥C 1 B 1 EDF的体积为_. 【导学号：07804064】 a 3法一：(直接法)如图所示，连接A 1 C 1 ，B 1 D 1 交于点 1 6 O 1 ，连接B 1 D，EF，过O 1 作O 1 HB 1 D于H. 因为EFA 1 C 1 ，且A 1 C 1 平面 B 1 EDF
17、，EF平面B 1 EDF， 所以A 1 C 1 平面B 1 EDF.所以C 1 到平面B 1 EDF的距离就是 A 1 C 1 到平面B 1 EDF的距离 易知平面B 1 D 1 D平面B 1 EDF，又平面B 1 D 1 D平面B 1 EDFB 1 D，所以O 1 H平面 B 1 EDF，所以O 1 H等于四棱锥C 1 B 1 EDF的高 因为B 1 O 1 HB 1 DD 1 ， 所以O 1 H a. B1O1DD1 B1D 6 6 所以VC 1 B 1 EDF S四边形 1 3 B 1 EDFO 1 H EFB 1 DO 1 H a a a a 3 . 1 3 1 2 1 3 1 2 2
18、 3 6 6 1 6 法二：(体积分割法)连接EF，B 1 D. 设B 1 到平面C 1 EF的距离为h 1 ，D到平面C 1 EF的距离为h 2 ，则h 1 h 2 B 1 D 1 a. 210 由题意得，VC 1 B 1 EDFVB 1 C 1 EFVDC 1 EF SC 1 EF(h 1 h 2 ) a 3 . 1 3 1 6 20(2017江西五校联考)已知在三棱锥SABC中，SASBSC ，BC6，若点A在 21 侧面SBC内的射影恰是SBC的垂心，则三棱锥SABC的内切球的体积为_ 因为点A在侧面SBC内的射影恰是SBC的垂心，记为O，连接AO，SO(图略)， 4 3 则AO平面S
19、BC，SOBC，所以AOBC，又SOAOO，所以BC平面SAO，所以 SABC，同理得SBAC，SCAB.记点S在平面ABC内的射影为O，连接 SO，AO，BO，CO(图略)，则SO平面ABC，所以SOAC，又 SBAC，SOSBS，所以AC平面SBO，BOAC，同理得 AOBC，COAB，则点S在平面ABC内的射影为ABC的垂心又 SASBSC ，则点S在平面ABC内的射影为ABC的外心，从而 21 ABBCCA6，SO 3，故V SABC 9 ，在SBC中，BC边上的高为 3 2 ，三棱锥的表面积S SABC 27 .设三棱锥SABC的内切球半径为r， 3 3 则V SABC rS SABC ， 1 3 得r1， 因此所求内切球的体积为 . 4 3
