1、1南京清江花苑严老师江苏省 2015 年高考一轮复习备考试题数列一、填空题1、（2014 年江苏高考）在各项均为正数的等比数列 中，若 ， ，则 的值na12268a6是 2、（2013 年江苏高考）在正项等比数列 中， ， ，则满足n5376的最大正整数 的值为 。nnaa 2113、（2012 年江苏高考）现有 10 个数，它们能构成一个以 1 为首项， 3为公比的等 比 数 列 ， 若 从这 10 个 数 中 随 机 抽 取 一 个 数 ， 则 它 小 于 8 的概率是 4、（2015 届江苏南京高三 9 月调研）记数列a n的前 n 项和为 Sn若 a11，S n2(a 1a n)(n
2、2，nN*)，则 Sn 5、（2015 届江苏南通市直中学高三 9 月调研）已知等比数列 的前 项和为 ，且nn，则数列 的公比 为 1324aa， naq6、（2015 届江苏苏州高三 9 月调研）已知等比数列 的各项均为正数 则na,3614,2a 457、（南京市 2014 届高三第三次模拟）已知数列a n满足 ana n1 a n2 (n3，nN*)，它的前 n项和为 Sn若 S96，S 105，则 a1 的值为 8、（南通市 2014 届高三第三次调研）设数列a n为等差数列，数列 bn为等比数列若 12a，12b，且 2(1,3)ii，则数列b n的公比为 9、（苏锡常镇四市 20
3、14 届高三 5 月调研（二）已知 Sn 为等差数列a n的前 n 项和，a 1 = 1，S 3 = 6，则 S6 = 10、（徐州市 2014 届高三第三次模拟）在等比数列 中，已知 ， 设 为该数列n1483n的前 项和， 为数列 的前 项和若 ，则实数 的值为 3nnT3na3StTt11、（南京、盐城市 2014 届高三第二次模拟（淮安三模）已知等差数列a n的公差 d 不为 0，且a1，a 3，a 7 成等比数列，则 的值为 a1d二、解答题1、 （2014 年江苏高考）设数列 的前 n 项和为 .若对任意的正整数 n,总存在正整数 m,使得2南京清江花苑严老师，则称 是“H 数列。
4、 ”（1）若数列 的前 n 项和 = （n ） ，证明： 是“H 数列” ；（2）设数列 是等差数列，其首项 =1.公差 d 0.若 是“H 数列” ，求 d 的值；（3）证明：对任意的等差数列 ，总存在两个“H 数列” 和 ，使得 = （n ）成立。2、（2013 年江苏高考）设 是首项为 ，公差为 的等差数列 ， 是其前 项和。记nad)0(dnS， ，其中 为实数。cnSb*Nc（1）若 ，且 成等比数列，证明： （ ）；0421b， knkS2*,N（2）若 是等差数列，证明： 。n 0c3、（2012 年江苏高考）已知各项均为正数的两个数列 na和 b满足： 21nnba，*Nn，（
5、1）设 nnab1， *N，求证：数列2nba是等差数列；（2）设 nn21， ，且 n是等比数列，求 1和 b的值4、（2015 届江苏南京高三 9 月调研）已知a n是等差数列，其前 n 项的和为 Sn， bn是等比数列，且 a1b 12，a 4b 421，S4b 430（1）求数列a n和b n的通项公式；（2）记 cna nbn，nN* ，求数列 cn的前 n 项和3南京清江花苑严老师5、（2015 届江苏南通市直中学高三 9 月调研）已知无穷数列 满足： ， ，且na1213a对于任意 ，都有 ， *nN0na2124nna（1）求 的值；234,（2）求数列 的通项公式na6、（南
6、京市 2014 届高三第三次模拟）已知 a，b 是不相等的正数，在 a，b 之间分别插入 m 个正数 a1，a 2，a m 和正数 b1，b 2，bm，使 a，a 1，a 2，a m，b 是等差数列，a，b 1，b 2，b m，b 是等比数列（1）若 m5， ，求 的值；a3b3 54 ba（2）若 ba (N *，2)，如果存在 n (nN*，6n m)使得 an5 b n，求 的最小值及此时m 的值；（3）求证：a nb n(nN*，nm) 7、（南通市 2014 届高三第三次调研）各项均为正数的数列a n中，设 12nnSaa ，121nnTa，且 ()2ST， *N（1）设 nnb，证
7、明数列b n是等比数列；（2）设 12ca，求集合 *,|2,mrkkcrmkN8、（苏锡常镇四市 2014 届高三 5 月调研（二）已知常数 0，设各项均为正数的数列a n的前n 项和为 Sn，满足：a 1 = 1，（ ）13nna*N（1）若 = 0，求数列a n的通项公式；（2）若 对一切 恒成立，求实数 的取值范围12n*9、（徐州市 2014 届高三第三次模拟）已知数列 ， 满足 ， ，nab13a2nb4南京清江花苑严老师， 12()nnnba*N（1）求证：数列 是等差数列，并求数列 的通项公式；1bnb（2）设数列 满足 ，对于任意给定的正整数 ，是否存在正整数 ， (nc25
8、napqr)，使得 ， ， 成等差数列？若存在，试用 表示 ， ；若不存在，pqrpqc1r说明理由10、（南京、盐城市 2014 届高三第二次模拟（淮安三模）已知数列a n的各项都为正数，且对任意 nN*，a 2n1 ，a 2n，a 2n1 成等差数列，a2n，a 2n1 ，a 2n2 成等比数列（1）若 a21，a 53，求 a1 的值；（2）设 a1a 2，求证：对任意 nN *，且 n2，都有 an 1an a2a1参考答案一、填空题1、42、12 3、 54、22 n1 5、 36、3 7、1 8、 9、39 10、7 11、2二、解答题1、 （1）证明： = ， = = （n ）
9、，又 = =2= ， （n ） 。存在 m=n+1 使得（2） =1+（n-1 ）d ，若 是“H 数列”则对任意的正整数 n,总存在正整数 m,使得。 =1+（m-1）d 成立。化简得 m= +1+ ，且 d 0 又 m ， ， d ，且 为整数。5南京清江花苑严老师（3）证明：假设成立且设 都为等差数列，则n + = +（ -1） ， = + +1， = （ ）同理 = （ ） 取 = =k由题 = = +（ -1） + +（ -1）=（ ）+（n-1） （ ）=（n+k-1） ）可得 为等差数列。即可构造出两个等差数列 和 同时也是“H 数列”满足条件。2、证明： 是首项为 ，公差为 的
10、等差数列 ， 是其前 项和nad)0(dnS dSn2)1(（1） 0cdnaSbn21 成等比数列 421b， 41b)23()2(daa 0da0)2(1da1a nnnS 22)(左边= 右边=kk2 akS左边=右边原式成立（2） 是等差数列设公差为 ， 带入 得：nb1d11)(dnbncnSb2 对 恒11)(dcSn2 )()2( 11131 bda Nn成立6南京清江花苑严老师 由式得： 0)(21011bdcadd2101d由式得：法二：证：（1）若 ，则 ， ， cdnan)1(2)1(adnS2)1(adnb当 成等比数列， ，421b， 42b即： ，得： ，又 ，故
11、3dadad20ad由此： ， ， nS2knnk22)( knS2故： （ ）kk*,N（2） ， cnadcnSb22)1( adnad22)1()()1( ()cnadn2)1(2)(若 是等差数列，则 型nbBAb观察()式后一项，分子幂低于分母幂，故有： ，即 ，而 0，02)1(cnad02)1(adnc2)1(adn故 0c经检验，当 时 是等差数列nb3、解：（1） nna1， 1122=nnaba。21nnba。 22111*nnnnbbNa。7南京清江花苑严老师数列2nba是以 1 为公差的等差数列。（2） 0nn， ， 222nnnab知 q，下面用反证法证明 =1q若
12、1,q则 2=a，与（）矛盾。若 01,q则 2=1a，当 1logqna时， 1naqa，于是 23b。又由 21nn即 12na，得211=nab。 23b，中至少有两项相同，与 13矛盾。 1。 22=1n。 12ab。4、解：（1）设等差数列a n的公差为 d，等比数列b n的公比为 q由 a1b 12，得 a423d，b 42q 3，S 486d 3 分由条件 a4b 421，S 4b 430，得方程组 解得 2 3d 2q3 21，8 6d 2q3 30， ) d 1，q 2 )8南京清江花苑严老师所以 ann1，b n2 n，nN* 7 分（2）由题意知，c n( n1) 2n记
13、 Tnc 1c 2c 3c n则 Tnc 1c 2c 3c n2232 242 3n2 n1 (n1) 2n，2 Tn 22232 3( n1)2 n1 n2 n (n1)2 n1 ，所以T n22(2 22 32 n )(n1) 2n1 ， 11 分即 Tnn2 n1 ，nN* 14 分5、解：（1）由条件， ，*212,4nnaN令 ，得 2 分1n23=又 ，且 ， 易求得 4 分21a1a23,5a再令 ，得 ，求得 6 分n23447（2） (1)212nna (2)2134nn由(1)-(2)得， 2122134)(4)nnnaaa8 分213nn 22132nnnaa 1322(
14、)()nnnn ，数列 为常数数列 12 分 21312nnaa21na 21n3.2.nn数列 为等差数列 14 分a又公差 ， 16 分21d21na6、解：（1）设等差数列的公差为 d，等比数列的公比为 q，则 d ，q b a69南京清江花苑严老师a3a3d ，b 3aq 3 2 分a b2 ab因为 ，所以 2a5 2b0，解得 4 或 4 分a3b3 54 ab ba 14（2）因为 aa(m 1)d，所以 d a，从而得 ana an 1m 1 1m 1因为 aaq m1 ，所以 q ，从而得 bna 因为 an5 b n，所以 a aa ( 1)(n 5)m 1因为 a0，所以
15、 1 （*） 6 分( 1)(n 5)m 1因为 ，m，nN *，所以 1 为有理数( 1)(n 5)m 1要使（*）成立，则 必须为有理数因为 nm，所以 nm1若 2，则 为无理数，不满足条件同理，3 不满足条件 8 分当 4 时， 4 2 要使 2 为有理数，则 必须为整数2nm 1又因为 nm，所以仅有 2nm 1 满足条件所以 1 2，从而解得 n15，m 293(n 5)m 1综上， 最小值为 4，此时 m 为 29 10 分(3)证法一：设 cn0，S n 为数列c n的前 n 项的和先证：若c n为递增数列，则 为递增数列Snn证明：当 nN*时， b n1 Snn nbn 1
16、n因为 Sn1 S nb n1 S n Sn，所以 ，即数列 为递增数列 Snn n 1n Snn Sn 1n 1 Snn同理可证，若c n为递减数列，则 为递减数列 12 分Snn当 ba 时，q1当 nN *，nm 时， Sm 1m 1 Snn即 ，即 aqm 1 am 1 aqn an10南京清江花苑严老师因为 baq m1 ，b naq n，d ，b am 1所以 d ，即 andb n，即 anb n bn an当 ba 时，0q1，当 nN *，nm 时， Sm 1m 1 Snn即 因为 0q1，所以 以下同aqm 1 am 1 aqn an综上， anb n(nN*，nm) 16
17、 分证法二：设等差数列 a，a 1，a 2，a m，b 的公差为 d，等比数列 a，b 1，b 2，b m，b 的公比为 q，ba(0，1)由题意，得 d a，qa ， 1m 1所以 ananda an，b na 1m 1要证 anb n(nN*，nm)，只要证 1 n 0( 0，1，nN*，nm) 12 分 1m 1构造函数 f(x)1 x (0，1，0xm1)， 1m 1则 f(x) ln令 f(x)0，解得 x0(m 1)log 1m 1 1m 1 1ln以下证明 0log 1 1ln不妨设 1，即证明 1 ，即证明 ln10， ln 10 1ln设 g()ln1，h()ln1(1)，则
18、 g() 10，h() ln 0，1所以函数 g()ln 1(1)为减函数，函数 h() ln1( 1)为增函数所以 g()g(1)0，h( )h(1)0所以 1 ，从而 0log 1，所以 0x 0m114 分 1ln 1ln因为在(0，x 0)上 f(x)0，函数 f(x)在(0，x 0)上是增函数；因为在(x 0，m 1)上 f(x)0，函数 f(x)在( x0，m 1)上是减函数所以 f(x)minf(0) ，f( m1)0所以 anb n(nN*，nm)同理，当 01 时，a nb n(nN *，nm) 17、【解】（1）当 时， 1(2)2ST，11南京清江花苑严老师即 1(2)2
19、a，解得 1a 2 分由 nST，所以 2nnTS 当 2 时， 112nS -，得 12()nn aaS（ 2 ），4 分即 211(2)2()nnS，即 1(nnbb，所以 15nb，因为数列a n的各项均为正数，所以数列 2nS单调递减，所以 1nb所以 12nb（ ）因为 a，所以 10b，所以数列b n是等比数列 6 分（2）由（1）知 12()nS，所以 12na，即 2nc由 mrkc，得 2mrkc（*）又 2n 时， 1n，所以数列 nc从第 2 项开始依次递减 8 分（）当 时，若 2km ，则 2242mmkc ，（*）式不成立，所以 1=，即 1 10 分令 *1()r
20、miN，则 11222irkmmi mmcc ，所以 2i，即存在满足题设的数组 1,iii（ *iN） 13 分（）当 1时，若 2k，则 r不存在；若 3k，则 4r；若 4k 时， 4kc ，（*）式不成立综上所述，所求集合为 11(,3)2,2)iii（ *iN） 16 分（注：列举出一组给 2 分，多于一组给 3 分）8、12南京清江花苑严老师13南京清江花苑严老师9、（1）因为 ，所以 ，2nab2nab则 ， 2 分14221nnnn nbb所以 ，12nb14南京清江花苑严老师又 ，所以 ，故 是首项为 ，公差为 的等差数列， 4 分13a123bn321即 ，所以 6 分()
21、nnb（2）由（1）知 ，所以 ，2na51ca当 时， ， ， ，p1pc1q2r若 ， ， 成等差数列，则 （ ），pcqr 因为 ，所以 ， ， ， ，2 3r 1q12r所以（ ）不成立 9 分当 时，若 ， ， 成等差数列，2p 1pcqr则 ，所以 ，qr121421()pqq即 ，所以 ， 12 分(1)242rpq4pr欲满足题设条件，只需 ，此时 ， 14 分125p因为 ，所以 ， ， 2734(1)0qp即 15 分r综上所述，当 时，不存在 ， 满足题设条件；1pr当 时，存在 ， ，满足题设条件16 分2 21p25p10、解：（1）解法一：因为 a3，a 4，a 5
22、 成等差数列，设公差为 d，则 a332d，a 43d因为 a2，a 3，a 4 成等比数列，所以 a2 3 分(3 2d)23 d因为 a21，所以 1，解得 d2，或 d 因为 an0，所以 d (3 2d)23 d 34 34因为 a1，a 2，a 3 成等差数列，所以 a12a 2a 32(32d) 5 分12解法二：因为 a1，a 2，a 3 成等差数列，a 2，a 3，a 4 成等比数列，a 3，a 4，a 5 成等差数列，则 234，3 分则 a，解得 23或 13a（舍），所以 2131a。5 分解法三：因为 a1，a 2，a 3 成等差数列，则 2，因为 a2，a 3，a 4
23、 成等比数列，则 14)(3 分因为 a3，a 4，a 5 成等差数列，则 53，则 )(121解得： 1或 21；当 1时， a（与 0n矛盾，故舍去），所以 21a5 分（注：没有舍去一解，扣1 分）15南京清江花苑严老师（2）证法一：因为 a2n1 ，a 2n，a 2n1 成等差数列，a 2n，a 2n1 ，a 2n2 成等比数列，所以 2a2na 2n1 a 2n1 ， a a 2na2n2 ；所以 a a 2n2 a2n，n22 2n 1 2 2n 1所以 2a 2na2n 2a2n a2na2n 2因为 an0，所以 2 7 分a2n 2 a2n 2 a2n即数列 是等差数列a2n
24、所以 (n1)( )a2n a2 a4 a2由 a1，a 2 及 a2n1 ，a 2n，a 2n1 是等差数列，a 2n，a 2n1 ，a 2n2 是等比数列，可得 a4 8 分(2a2 a1)2a2所以 (n1)( ) a2n a2 a4 a2所以 a2n 10 分(a2 a1)n a12a2所以 a2n2 (a2 a1)(n 1) a12a2从而 a2n1 a2na2n 2(a2 a1)n a1(a2 a1)(n 1) a1a2所以 a2n1 12 分(a2 a1)(n 1) a1(a2 a1)n a1a2当 n2m，m N*时， an 1an a2a1 a2a1 (a2 a1)(m 1)
25、 a1(a2 a1)m a1 a2a1 0 14 分m(a1 a2)2a1(a2 a1)m a1当 n2m1，m N*，m2 时， an 1an a2a1 a2a1 (a2 a1)m a1(a2 a1)(m 1) a1 a2a1 0(m 1)(a1 a2)2a1(a2 a1)(m 1) a1综上，对一切 nN*， n2，有 16 分an 1an a2a1证法二：若 n 为奇数且 n3 时，则 an，a n1 ，a n2 成等差数列因为 0，an 2an 1 an 1an an 2an a2n 1an 1an (2an 1 an)an a2n 1an 1an (an 1 an)2an 1an所以 9 分an 2an 1 an 1an若 n 为偶数且 n2 时，则 an，a n1 ，a n2 成等比数列，所以 11 分an 2an 1 an 1an由可知，对任意 n2，nN *， 13 分an 2an 1 an 1an a3a2又因为 ，a3a2 a2a1 2a2 a1a2 a2a1 2a2a1 a12 a22a2a1 (a1 a2)2a2a1因为 a1a 2，所以 0，即 15 分(a1 a2)2a2a1 a3a2 a2a1综上， 16 分an 1an a2a116南京清江花苑严老师
