1、2018 年云南省玉溪市高考数学模拟试卷（08）一、选择题：（本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1 （5 分）全集 U=1，2，3，4，5，集合 A=1，3，5 ，集合 B=3，4，则（ UA）B=（ ）A4 B3，4 C 2，3，4 D32 （5 分）复数 在复平面上对应的点的坐标是（ ）A （1 ，1 ） B （1，1） C （ 1，1） D （1，1）3 （5 分）等差数列a n的前 n 项和为 Sn，且 S3=6，a 3=4，则公差 d 等于（ ）A1 B C2 D34 （5 分） （理） 的展开式中的常数项为（ ）
2、A 24 B6 C6 D245 （5 分）函数 f（x ）=log 2x 的零点所在区间为（ ）A B C （1，2） D （2，3）6 （5 分）执行如图所示的程序框图，输出的 S=（ ）A5100 B2550 C5050 D1007 （5 分）若一个底面是正三角形的三棱柱的主视图如图所示，则其表面积为（ ）A6 +2 B6+ C6+4 D108 （5 分）在ABC 中，角 A，B ，C 所对应的边分别为 a，b ，c，若角A，B ，C 依次成等差数列，且 a=1，b= ，则 SABC =（ ）A B C D29 （5 分）下列命题：函数 f（x ）=sin 4xcos4x 的最小正周期是
3、；已知向量 ， ， ，则 的充要条件是 =1；若 ，则 a=e；圆 x2+y2=4 关于直线 ax+by+c=0 对称的充分不必要条件是 c=0其中所有的真命题是（ ）A B C D10 （5 分）已知点 F1、F 2 是椭圆 x2+2y2=2 的两个焦点，点 P 是该椭圆上的一个动点，那么 的最小值是（ ）A0 B1 C2 D二填空题（本题共 4 小题，满分共 25 分）11 （5 分）200 辆汽车经过某一雷达地区，时速频率分布直方图如图所示，则时速不低于 60km/h 的汽车数量为 辆12 （5 分）观察下列式子：， ， ，根据以上式子可以猜想：13 （5 分）点 P（x，y）在不等式组
4、 表示的平面区域内，则 z=x+y 的最大值为 14 （5 分）将一颗骰子连续抛掷三次，它落地时向上的点数依次成等差数列的概率为 几何证明选做题15 （5 分）如图，直线 PC 与圆 O 相切于点 C，割线 PAB 经过圆心 O，弦CDAB 于点 E，PC=4，PB=8，则 CE= 坐标系与参数方程选做题16在极坐标系（ ， ） （0 2）中，曲线 =2sin 与 cos=1 的交点的极坐标为 不等式选做题17若不等式|x+1|+|x3|m 1|恒成立，则 m 的取值范围为 三、解答题：（本大题共 6 小题，共 75 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）18 （12 分）设函数 f（x）
5、=2sinxcosx cos2x+1（1）求 f（ ）（2）求 f（x）的最大值和最小正周期19 （12 分）如图，在四棱锥 SABCD 中，SD底面 ABCD，底面 ABCD 是正方形，且 SD=AD，E 是 SA 的中点（1）求证：直线 BA平面 SAD；（2）求直线 SA 与平面 BED 的夹角的正弦值20 （12 分）已知：等比数列a n的首项为 a1，公比为 q（1）写出数列a n的前 n 项和 Sn 的公式；（2）给出（1）中的公式的证明21 （12 分）某学校数学兴趣小组有 10 名学生，其中有 4 名女同学；英语兴趣小组有 5 名学生，其中有 3 名女学生，现采用分层抽样方法（
6、层内采用不放回简单随机抽样）从数学兴趣小组、英语兴趣小组中共抽取 3 名学生参加科技节活动（1）求从数学兴趣小组、英语兴趣小组各抽取的人数；（2）求从数学兴趣小组抽取的学生中恰有 1 名女学生的概率；（3）记 表示抽取的 3 名学生中男学生数，求 的分布列及数学期望22 （13 分）已知函数 f（ x）=xlnx（1）设函数 g（x）=f（x）a（x1） ，其中 aR，求函数 g（x）的单调区间；（2）若直线 l 过点（0， 1） ，并且与曲线 y=f（x）相切，求直线 l 的方程23 （14 分）如图，已知抛物线 C 的顶点在原点，焦点 F 在 x 轴上，抛物线上的点 A 到 F 的距离为
7、2，且 A 的横坐标为 1过 A 点作抛物线 C 的两条动弦AD、AE，且 AD、AE 的斜率满足 kADkAE=2（1）求抛物线 C 的方程；（2）直线 DE 是否过某定点？若过某定点，请求出该点坐标；若不过某定点，请说明理由2018 年云南省玉溪市高考数学模拟试卷（08）参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1 （5 分）全集 U=1，2，3，4，5，集合 A=1，3，5 ，集合 B=3，4，则（ UA）B=（ ）A4 B3，4 C 2，3，4 D3【解答】解：根据题意，全集 U=1，2，3，
8、4，5，集合 A=1，3，5，则 UA=2，4 ，又由集合 B=3，4，则（C UA）B=4，故选 A2 （5 分）复数 在复平面上对应的点的坐标是（ ）A （1 ，1 ） B （1，1） C （ 1，1） D （1，1）【解答】解：复数 = = ，所以复数 所对应的点的坐标（1，1）故选 D3 （5 分）等差数列a n的前 n 项和为 Sn，且 S3=6，a 3=4，则公差 d 等于（ ）A1 B C2 D3【解答】解：设a n的公差为 d，首项为 a1，由题意得，解得 ，故选 C4 （5 分） （理） 的展开式中的常数项为（ ）A 24 B6 C6 D24【解答】解：设 的二项展开式的通项
9、公式为 Tr+1，则 Tr+1=（1） r （2x） 4rxr=（ 1） r 24rx42r，令 42r=0，解得 r=2展开式中的常数项为 T3=（1） 2 22=24故选 D5 （5 分）函数 f（x ）=log 2x 的零点所在区间为（ ）A B C （1，2） D （2，3）【解答】解：由题意可知函数在（0，+）单调递增，且连续f（ ） = ，f（1）=log 2110，由根的存在性定理可得，f（1）f（2）0故选：C6 （5 分）执行如图所示的程序框图，输出的 S=（ ）A5100 B2550 C5050 D100【解答】解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可
10、知：该程序的作用是累加并输出 S=S=2+4+250又S=2+4+ +250=2 =2550故选 B7 （5 分）若一个底面是正三角形的三棱柱的主视图如图所示，则其表面积为（ ）A6 +2 B6+ C6+4 D10【解答】解：根据几何体的三视图，得出该几何体是底面为边长等于 2 的正三角形，高为 1 的正三棱柱，它的表面积为 321+2 22 =6+2 故选：A8 （5 分）在ABC 中，角 A，B ，C 所对应的边分别为 a，b ，c，若角A，B ，C 依次成等差数列，且 a=1，b= ，则 SABC =（ ）A B C D2【解答】解：A、B、C 依次成等差数列B=60由余弦定理得：b 2
11、=a2+c22accosB得：c=2由正弦定理得：S ABC =故选 C9 （5 分）下列命题：函数 f（x ）=sin 4xcos4x 的最小正周期是 ；已知向量 ， ， ，则 的充要条件是 =1；若 ，则 a=e；圆 x2+y2=4 关于直线 ax+by+c=0 对称的充分不必要条件是 c=0其中所有的真命题是（ ）A B C D【解答】解：对于f（x ）=sin 4xcos4x=（cos 2x+sin2x） （sin 2xcos2x）=sin2xcos2x=cos2x，f（ x）的最小正周期是 T= =，所以正确对于向量 ， ， ， =（1，1+ 2） ， （ 1）+（ 1+2）=0 =
12、0 或 =1；=1 =（2，2）（ ） ，（ ） 的充分不必要条件是 =1故命题是假命题；对于， ，转化为： ，解得 a=e，正确；对于，圆 x2+y2=4 关于直线 ax+by+c=0 对称的充要条件是：圆的圆心坐标在直线方程c=0，不正确正确命题是故选 D10 （5 分）已知点 F1、F 2 是椭圆 x2+2y2=2 的两个焦点，点 P 是该椭圆上的一个动点，那么 的最小值是（ ）A0 B1 C2 D【解答】解：O 为 F1F2 的中点， =2 ，可得 =2| |当点 P 到原点的距离最小时，| |达到最小值， 同时达到最小值椭圆 x2+2y2=2 化成标准形式，得 =1a 2=2 且 b
13、2=1，可得 a= ，b=1因此点 P 到原点的距离最小值为短轴一端到原点的距离，即| |最小值为 b=1 =2| |的最小值为 2故选：C二填空题（本题共 4 小题，满分共 25 分）11 （5 分）200 辆汽车经过某一雷达地区，时速频率分布直方图如图所示，则时速不低于 60km/h 的汽车数量为 76 辆【解答】解：时速不低于 60km/h 的汽车的频率为（ 0.028+0.01）10=0.38时速不低于 60km/h 的汽车数量为 2000.38=76故答案为：7612 （5 分）观察下列式子：， ， ，根据以上式子可以猜想：【解答】解：观察下列式子：， ， ，可知不等式的左边各式分子
14、是 1，分母是自然数的平方和，右边分母与最后一项的分母相同，分子是以 3 为首项，2 为公差的等差数列，故可得： 故答案为： 13 （5 分）点 P（x，y）在不等式组 表示的平面区域内，则 z=x+y 的最大值为 6 【解答】解：先根据约束条件画出可行域，当直线 x+y=z 过点 A（2，4）时，z 最大，z 最大是 6，故答案为：614 （5 分）将一颗骰子连续抛掷三次，它落地时向上的点数依次成等差数列的概率为 【解答】解：骰子连续抛掷三次，它落地时向上的点数依次成等差数列落地时向上的点数若不同，则为 1，2，3 或 1，3，5，或 2，3，4 或2，4 ，6 或 3，4，5 或 4，5，
15、6共有 62=12 种情况，也可全相同，有 6 种情况共有 18 种情况若不考虑限制，有 63=216落地时向上的点数依次成等差数列的概率为 =故答案为：几何证明选做题15 （5 分）如图，直线 PC 与圆 O 相切于点 C，割线 PAB 经过圆心 O，弦CDAB 于点 E，PC=4，PB=8，则 CE= 【解答】解：PC 是圆 O 的切线，由切割线定理得：PC2=PAPB，PC=4，PB=8，PA=2，OA=OB=3，连接 OC，OC=3，在直角三角形 POC 中，利用面积法有，CE= = 故填： 坐标系与参数方程选做题16在极坐标系（ ， ） （0 2）中，曲线 =2sin 与 cos=1
16、 的交点的极坐标为 【解答】解：两条曲线的普通方程分别为 x2+y2=2y，x= 1解得由得点（1，1） ，极坐标为 故填： 不等式选做题17若不等式|x+1|+|x3|m 1|恒成立，则 m 的取值范围为 m3，5 【解答】解：|x+1|+|x3| 表示数轴上的 x 对应点到 1 和 3 对应点的距离之和，它的最小值等于 4，由不等式|x+1|+|x3|m1|恒成立知，|m 1|4，m3，5故答案为 m3，5三、解答题：（本大题共 6 小题，共 75 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）18 （12 分）设函数 f（x）=2sinxcosx cos2x+1（1）求 f（ ）（2）求 f
17、（x）的最大值和最小正周期【解答】解：（1）函数 f（x ）=2sinxcosx cos2x+1=sin2xcos2x+1= sin（2x ）+1，f（ ）= sin（2 ）+1= +1=2；（6 分）（2）由 f（x）= sin（2x ）+1 ，当 2x = +2k，kZ，即 x= +k，k Z 时，f（x）取得最大值为 +1，最小正周期为 T= =（12 分）19 （12 分）如图，在四棱锥 SABCD 中，SD底面 ABCD，底面 ABCD 是正方形，且 SD=AD，E 是 SA 的中点（1）求证：直线 BA平面 SAD；（2）求直线 SA 与平面 BED 的夹角的正弦值【解答】 （本题
18、满分 12 分）解：（1）证明：SD平面 ABCD，SD AB，又 ADAB，ADSD=D，AB平面 SAD， （6 分）（2）以 D 为原点，分别以 DA、DC、DS 为 x，y，z 轴建立空间直角坐标系，如图，设 AB=2，则 A（2，0，0） ，S（0，0，2） ，B（1 ，2，0 ） ，E（1 ，0， 0） ，故 =（2，0， 2） ，=（2，2， 0） ， =（1，0，1） ，（8 分）设平面 BED 的一个法向量为 =（x，y ，z） ，由 得，取 =（1，1，1） ， （10 分）设直线 SA 与平面 BED 所成角为 ，因为 cos = = ，所以 sin= ，即直线 SA 与
19、平面 BED 所成角的正弦值为 （12 分）20 （12 分）已知：等比数列a n的首项为 a1，公比为 q（1）写出数列a n的前 n 项和 Sn 的公式；（2）给出（1）中的公式的证明【解答】 （本题满分 12 分）解：（1）等比数列a n的首项为 a1，公比为 q，当 q=1 时，S n=na1，当 q1 时，S n= ，数列a n的前 n 项和 Sn= （4 分）（2）证明：由等比数列及其前 n 项和的定义知：Sn=a1+a2+an= ，当 q=1 时，S n=na1， （7 分）当 q1 时，给式两边同乘 q，得qSn= + ，由，得（1q）S n= =a1（1q n） ，（10 分
20、）综上：当 q=1 时，S n=na1；当 q1 时， ，即 Sn= （12 分）21 （12 分）某学校数学兴趣小组有 10 名学生，其中有 4 名女同学；英语兴趣小组有 5 名学生，其中有 3 名女学生，现采用分层抽样方法（层内采用不放回简单随机抽样）从数学兴趣小组、英语兴趣小组中共抽取 3 名学生参加科技节活动（1）求从数学兴趣小组、英语兴趣小组各抽取的人数；（2）求从数学兴趣小组抽取的学生中恰有 1 名女学生的概率；（3）记 表示抽取的 3 名学生中男学生数，求 的分布列及数学期望【解答】解：（1）按比例计算得，抽取数学小组的人数为 2 人；英语小组的人数为 1 人；（2）从数学兴趣小
21、组抽取的学生中恰有 1 名女学生的概率为 = ；（3）分析知 的取值可以为 0，1，2，3，故有， ， 的分布列为： 0 1 2 3p= 22 （13 分）已知函数 f（ x）=xlnx（1）设函数 g（x）=f（x）a（x1） ，其中 aR，求函数 g（x）的单调区间；（2）若直线 l 过点（0， 1） ，并且与曲线 y=f（x）相切，求直线 l 的方程【解答】解：（1）f（x ）=xlnx，g（x）=f （x）a（x1）=xlnxa （x1） ，则 g（x）=lnx+1a，由 g（x）0 ，得 lnx+1a0，解得：0xe a1；由 g（x）0 ，得 lnx+1a0，解得：xe a1所以
22、g（x ）在（0，e a1）上单调递减，在（e a1，+）上单调递增（2）设切点坐标为（x 0，y 0） ，则 y0=x0lnx0，切线的斜率为 lnx0+1所以切线 l 的方程为 yx0lnx0=（lnx 0+1） （xx 0） ，又切线 l 过点（0，1） ，所以有1x 0lnx0=（lnx 0+1） （0 x0） ，即1 x0lnx0=x0lnx0x0，解得 x0=1，y 0=0，所以直线 l 的方程为 y=x123 （14 分）如图，已知抛物线 C 的顶点在原点，焦点 F 在 x 轴上，抛物线上的点 A 到 F 的距离为 2，且 A 的横坐标为 1过 A 点作抛物线 C 的两条动弦AD
23、、AE，且 AD、AE 的斜率满足 kADkAE=2（1）求抛物线 C 的方程；（2）直线 DE 是否过某定点？若过某定点，请求出该点坐标；若不过某定点，请说明理由【解答】解：（1）设抛物线方程为 C：y 2=2px（p0） ，由其定义知 ，又|AF|=2 ，所以 p=2，y 2=4x；（2）易知 A（1，2） ，设 D（x 1，y 1） ，E（x 2，y 2） ，DE 方程为 x=my+n（m0 ） ，把 DE 方程代入 C，并整理得 y24my4n=0，=16（m 2+n）0，y 1+y2=4m，y 1y2=4n，由 及 ，得 y1y2+2（y 1+y2）=4 ，即4n+24m=4，所以 n=2m1，代入 DE 方程得：x=my+2m 1，即（y+2）m=x +1，故直线 DE 过定点（ 1，2 ）
