1、2018 年四川省广元市高考数学一诊试卷（理科）一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1 （5 分）已知集合 M=x|x22x80 ，N=x|3x3，则 MN=（ ）A 3，3） B3，2 C 2，2 D2，3）2 （5 分） “x 3 且 y3” 是“x+y 6”成立的（ ）A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D即不充分也不必要条件3 （5 分）设 m，n 是两条不同的直线， 是两个不同的平面，且m，n，下列命题中正确的是（ ）A若 ，则 mn B若 ，则 mn C若 mn，则 D若n，则 4 （5 分
2、）已知向量 =（ 3，1 ） ， =（2k1，k） ，且（ ） ，则 k 的值是（ ）A 1 B 或1 C1 或 D5 （5 分）执行如图所求的程序框图，输出的值是（ ）A4 B5 C6 D76 （5 分）在航天员进行一项太空实验中，要先后实施 6 个程序，其中程序 A只能出现在第一或最后一步，程序 B 和 C 在实施时必须相邻，问实验顺序的编排方法共有（ ）A34 种 B48 种 C96 种 D144 种7 （5 分）如图，在长方形 OABC 内任取一点 P（x，y） ，则点 P 落在阴影部分BCD 内的概率为（ ）A B C D8 （5 分）已知函数 f（x）=10sinx + 在 x=0
3、 处的切线与直线 nxy=0 平行，则二项式（1+x+x 2） （1x） n 展开式中 x4 的系数为（ ）A120 B135 C140 D1009 （5 分）已知定义在 R 上的函数 f（x）的图象关于（1，1）对称，g（x）=（ x1） 3+1，若函数 f（x）图象与函数 g（x ）图象的交点为（x 1，y 1） ，（x 2，y 2） ， （x 2018，y 2018） ，则 （x i+yi）=（ ）A8072 B6054 C4036 D201810 （5 分）已知 A，B，C，D，E 是函数 y=sin（x+） （ 0，0 ）一个周期内的图象上的五个点，如图所示，A（ ） ，B 为 y
4、轴上的点，C 为图象上的最低点，E 为该函数图象的一个对称中心，B 与 D 关于点 E 对称，在 x 轴上的投影为 ，则 ， 的值为（ ）A=2 ，= B=2， = C= ，= D= ，=11 （5 分）在ABC 中， ，点 P 是ABC 所在平面内一点，则当 取得最小值时， =（ ）A B C9 D 912 （5 分）已知函数 f（ x）=e x，g（x）=ln + ，对任意 aR 存在b（0 ，+）使 f（a）=g（b） ，则 ba 的最小值为（ ）A2 1 Be 2 C2 ln2 D2+ln2二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13 （5 分）已知 a 是实数，
5、i 是虚数单位，若 z=a21+（a+1）i 是纯虚数，则 a= 14 （5 分）设变量 x，y 满足约束条件： ，则目标函数 z= 的最小值为 15 （5 分）如图，网格纸上的小正方形边长为 1，粗线或虚线表示一个三棱锥的三视图，则此三棱锥的外接球的体积为 16 （5 分）若正项递增等比数列a n满足 1+（a 2a4）+ （a 3a5）=0（ R） ，则a8+a9 的最小值为 三、解答题（本大题共 5 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17 （12 分）已知数列a n的前 n 项和 Sn=k（3 n1） ，且 a3=27（1）求数列a n的通项公式；（2）若 b
6、n=log3an，求数列 的前 n 项和 Tn18 （12 分）设函数 f（x）=cos（2x + ）+2cos 2x（1）求 f（x）的最大值，并写出使 f（x）取最大值时 x 的集合；（2）已知ABC 中，角 A，B ，C 的对边分别为 a， b，c，若 f（A）= ， b+c=2，求 a 的最小值19 （12 分）某中学为研究学生的身体素质与课外体育锻炼时间的关系，对该校 200 名学生的课外体育锻炼平均每天运动的时间（单位：分钟）进行调查，将收集的数据分成0，10） ，10，20） ，20，30 ） ，30，40） ，40，50） ，50，60）六组，并作出频率分布直方图（如图） ，将
7、日均课外体育锻炼时间不低于 40 分钟的学生评价为“课外体育达标” 课外体育不达标课外体育达标 合计男 60 女 110合计 （1）请根据直方图中的数据填写下面的 22 列联表，并通过计算判断是否能在犯错误的概率不超过 0.01 的前提下认为“ 课外体育达标 ”与性别有关？（2）现按照“课外体育达标”与“ 课外体育不达标”进行分层抽样，抽取 8 人，再从这 8 名学生中随机抽取 3 人参加体育知识问卷调查，记“课外体育不达标”的人数为 ，求 的分布列和数学期望附参考公式与：K 2=P（K 2k 0） 0.15 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001k0 2.702 3.841
8、 5.024 6.635 7.879 10.82820 （12 分）如图，ABC 是以ABC 为直角的三角形， SA平面ABC，SA=BC=2，AB=4，M，N 分别是 SC，AB 的中点（1）求证：MNAB；（2）D 为线段 BC 上的点，当二面角 SNDA 的余弦值为 时，求三棱锥 DSNC的体积21 （12 分）已知函数 f（ x）=xlnx +a（aR）在其定义域内有两个不同的极值点（1）求 a 的取值范围；（2）证明： 请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.选修 4-4：坐标系与参数方程22 （10 分）在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参
9、数方程为 （a为参数） ，以 O 为极点，以 x 轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，直线 l 的极坐标方程为 （R） （1）求曲线 C 的极坐标方程；（2）设直线 l 与曲线 C 相交于 A，B 两点，求|AB|的值选修 4-5：不等式选讲23已知关于 x 的不等式|x 2|x+3|m+1|有解，记实数 m 的最大值为 M（1）求 M 的值；（2）正数 a，b，c 满足 a+2b+c=M，求证： + 12018 年四川省广元市高考数学一诊试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1 （5 分
10、）已知集合 M=x|x22x80 ，N=x|3x3，则 MN=（ ）A 3，3） B3，2 C 2，2 D2，3）【解答】解：集合 M=x|x22x80= x|x 2，或 x4，N=x|3x 3，M N=x|3x2= 3，2故选：B2 （5 分） “x 3 且 y3” 是“x+y 6”成立的（ ）A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D即不充分也不必要条件【解答】解：当 x3 且 y3 时，x+y 6 成立，即充分性成立，若 x=6，y=2 满足 x+y6，但 x3 且 y3 不成立，即必要性不成立，故“x3 且 y3” 是“x+y6” 成立的充分不必要条件，故选：A3 （5 分）设
11、m，n 是两条不同的直线， 是两个不同的平面，且m，n，下列命题中正确的是（ ）A若 ，则 mn B若 ，则 mn C若 mn，则 D若n，则 【解答】解：对于 A，若 ，则 m、n 位置关系不定，不正确；对于 B，若 ，则 mn 或 m，n 异面，不正确；对于 C，若 mn，则 、 位置关系不定，不正确；对于 D，根据平面与平面垂直的判定可知正确故选：D4 （5 分）已知向量 =（ 3，1 ） ， =（2k1，k） ，且（ ） ，则 k 的值是（ ）A 1 B 或1 C1 或 D【解答】解：向量 =（ 3，1） ， =（2k 1，k ） ， + =（2k+2，1+k） ，（ + ） ，（ +
12、 ） =0，则（2k1） （2k+2）+k（1+k）=0 ，即 5k2+3k2=0 得（k1） （5k +2）=0，得 k=1 或 k= ，故选：C5 （5 分）执行如图所求的程序框图，输出的值是（ ）A4 B5 C6 D7【解答】解：模拟程序的运行，可得n=5，k=0不满足条件 n 为偶数，执行循环体后，n=16，k=1，不满足退出循环的条件；满足条件 n 为偶数，执行循环体后，n=8，k=2，不满足退出循环的条件；满足条件 n 为偶数，执行循环体后，n=4，k=3，不满足退出循环的条件；满足条件 n 为偶数，执行循环体后，n=2，k=4，不满足退出循环的条件；满足条件 n 为偶数，执行循环
13、体后，n=1，k=5，满足退出循环的条件，输出 k 的值为 5故选：B6 （5 分）在航天员进行一项太空实验中，要先后实施 6 个程序，其中程序 A只能出现在第一或最后一步，程序 B 和 C 在实施时必须相邻，问实验顺序的编排方法共有（ ）A34 种 B48 种 C96 种 D144 种【解答】解：根据题意，程序 A 只能出现在第一步或最后一步，则从第一个位置和最后一个位置选一个位置把 A 排列，有 A21=2 种结果，又由程序 B 和 C 实施时必须相邻，把 B 和 C 看做一个元素，同除 A 外的 3 个元素排列，注意 B 和 C 之间还有一个排列，共有 A44A22=48 种结果，根据分
14、步计数原理知共有 248=96 种结果，故选：C7 （5 分）如图，在长方形 OABC 内任取一点 P（x，y） ，则点 P 落在阴影部分BCD 内的概率为（ ）A B C D【解答】解：根据题意，利用定积分计算 exdx=ex =e1；阴影部分 BCD 的面积为 1e（e1）=1，所求的概率为 P= = 故选：D8 （5 分）已知函数 f（x）=10sinx + 在 x=0 处的切线与直线 nxy=0 平行，则二项式（1+x+x 2） （1x） n 展开式中 x4 的系数为（ ）A120 B135 C140 D100【解答】解：函数 f（x） =10sinx+ 在 x=0 处的切线与直线 n
15、xy=0 平行，则n=f（0）=10，则二项式（1+x+x 2） （1x） n=（1+x+x 2） （1x） 10 =（1x 3） （1x） 9，（1x） 9 的展开式的通项公式为 Tr+1= （x） r，故分别令 r=4，r=1 ，可得展开式中 x4 的系数为 （ ）=135，故选：B9 （5 分）已知定义在 R 上的函数 f（x）的图象关于（1，1）对称，g（x）=（ x1） 3+1，若函数 f（x）图象与函数 g（x ）图象的交点为（x 1，y 1） ，（x 2，y 2） ， （x 2018，y 2018） ，则 （x i+yi）=（ ）A8072 B6054 C4036 D2018【解
16、答】解：g（x）的图象是由 y=x3 的函数图象先向右平移 1 个单位，再向上平移 1 个单位后得到的，g （x）的图象关于点（1，1）对称，又 f（x）的图象关于点（ 1，1）对称，f（ x）与 g（x）的 2018 个交点中，两两关于点（ 1，1）对称 （x i+yi）= + = + =4036故选：C10 （5 分）已知 A，B，C，D，E 是函数 y=sin（x+） （ 0，0 ）一个周期内的图象上的五个点，如图所示，A（ ） ，B 为 y 轴上的点，C 为图象上的最低点，E 为该函数图象的一个对称中心，B 与 D 关于点 E 对称，在 x 轴上的投影为 ，则 ， 的值为（ ）A=2
17、，= B=2， = C= ，= D= ，=【解答】解：根据题意，E 为该函数图象的一个对称中心，B 与 D 关于点 E 对称，且 在 x 轴上的投影为 ，所以 T=4（ + ）=，所以 = =2；又因为 A（ ，0） ，所以 sin（ +）=0，又 0 ，所以 = 故选：A11 （5 分）在ABC 中， ，点 P 是ABC 所在平面内一点，则当 取得最小值时， =（ ）A B C9 D 9【解答】解： =| | |cosB=| |2，| |cosB=| |=6， ，即A= ，以 A 为坐标原点建立如图所示的坐标系，则 B（6，0） ，C （0，3） ，设 P（x，y ） ，则 =x2+y2+（
18、x 6） 2+y2+x2+（y3） 2，=3x212x+3y26y+45，=3（x2） 2+（y1） 2+10，当 x=2，y=1 时取的最小值，此时 =（ 2，1 ） （6，3）=9故选：D12 （5 分）已知函数 f（ x）=e x，g（x）=ln + ，对任意 aR 存在b（0 ，+）使 f（a）=g（b） ，则 ba 的最小值为（ ）A2 1 Be 2 C2 ln2 D2+ln2【解答】解：令 y=ea，则 a=lny，令 y=ln + ，可得 b=2 ，则 ba=2 lny，（b a）=2 显然， （ba） 是增函数，观察可得当 y= 时， （b a）=0，故（ba）有唯一零点故当
19、y= 时， ba 取得最小值为 2 lny=2 ln =2+ln2，故选：D二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13 （5 分）已知 a 是实数，i 是虚数单位，若 z=a21+（a+1）i 是纯虚数，则 a= 1 【解答】解：z=a 21+（a+1）i 是纯虚数， ，解得 a=1故答案为：114 （5 分）设变量 x，y 满足约束条件： ，则目标函数 z= 的最小值为 1 【解答】解：z 的几何意义为区域内点到点 G（0，1）的斜率，作出不等式组对应的平面区域如图：由图象可知，AG 的斜率最小，由 解得 ，即 A（2，1） ，则 AG 的斜率 k= ，故答案为：11
20、5 （5 分）如图，网格纸上的小正方形边长为 1，粗线或虚线表示一个三棱锥的三视图，则此三棱锥的外接球的体积为 4 【解答】解：直观图如图所示的正四面体，构造如图所示的正方体，正四面体在正方体中的位置如图所示，正方体的边长为 2，此三棱锥的外接球与正方体的外接球是同一个球，此三棱锥的外接球的半径为 R=三棱锥的外接球的体积为 V= 故答案为：4 16 （5 分）若正项递增等比数列a n满足 1+（a 2a4）+ （a 3a5）=0（ R） ，则a8+a9 的最小值为 【解答】解：根据题意，设等比数列a n的公比为 q，又由a n为正项递增等比数列，则 q1数列a n满足 1+（a 2a4）+（
21、a 3a5）=0 ，则有 1=（a 4a2）+（a 5a3）= （a 4a2）+q（a 4a2）= （1 +q） （a 4a2） ，则有 1+q= ，a8+a9=a8+qa8=a8（1 +q）= = ，令 g（ q）= ， （q1）则导数 g（q）= = ，分析可得：1q ，g（q）0，g（q ）在（0， ）为减函数；当 q ，g（q）0，g（q ）在（ ，+）为增函数；则当 q= 时，g（q）取得最小值，此时 g（q）= ，即 a8+a9 的最小值为 ，故答案为： 三、解答题（本大题共 5 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17 （12 分）已知数列a n的前 n
22、 项和 Sn=k（3 n1） ，且 a3=27（1）求数列a n的通项公式；（2）若 bn=log3an，求数列 的前 n 项和 Tn【解答】解：（1）数列a n的前 n 项和 Sn=k（3 n1） ，且 a3=27当 n=3 时， ，解得 ，当 n2 时， =3n，由于：a 1=S1=3 也满足上式，则： （2）若 ，所以： = ，所以： 18 （12 分）设函数 f（x）=cos（2x + ）+2cos 2x（1）求 f（x）的最大值，并写出使 f（x）取最大值时 x 的集合；（2）已知ABC 中，角 A，B ，C 的对边分别为 a， b，c，若 f（A）= ， b+c=2，求 a 的最小
23、值【解答】解：（1）函数 f（x ）=cos（2x+ ）+2cos 2x= ， ，故：f（ x）的最大值为： 2要使 f（ x）取最大值， ，即： （kZ） ，解得： （kZ） ，则 x 的集合为： （k Z） ，（2）由题意， ，即： ，又0A ， ， ， 在ABC 中，b+c=2 ， ，由余弦定理，a 2=b2+c22bccosA=（b+c） 2bc，由于： =1，所以：当 b=c=1 时，等号成立则：a 24 1=3，即： 则 a 的最小值为 19 （12 分）某中学为研究学生的身体素质与课外体育锻炼时间的关系，对该校 200 名学生的课外体育锻炼平均每天运动的时间（单位：分钟）进行调查
24、，将收集的数据分成0，10） ，10，20） ，20，30 ） ，30，40） ，40，50） ，50，60）六组，并作出频率分布直方图（如图） ，将日均课外体育锻炼时间不低于 40 分钟的学生评价为“课外体育达标” 课外体育不达标课外体育达标 合计男 60 30 90 女 90 20 110合计 150 50 200 （1）请根据直方图中的数据填写下面的 22 列联表，并通过计算判断是否能在犯错误的概率不超过 0.01 的前提下认为“ 课外体育达标 ”与性别有关？（2）现按照“课外体育达标”与“ 课外体育不达标”进行分层抽样，抽取 8 人，再从这 8 名学生中随机抽取 3 人参加体育知识问卷
25、调查，记“课外体育不达标”的人数为 ，求 的分布列和数学期望附参考公式与：K 2=P（K 2k 0） 0.15 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001k0 2.702 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828【解答】解：（1）由题意得“课外体育达标”人数：200（0.02+0.005 ）10 =50，则不达标人数为 150，列联表如下：课外体育不达标 课外体育达标 合计男 60 30 90女 90 20 110合计 150 50 200K 2= = =6.0606.635在犯错误的概率不超过 0.01 的前提下没有理由（或不能）认为“课外体育达标”与性别有
26、关（2）由题意采用分层抽样在“课外体育达标”抽取人数为 2 人，在“课外体育不达标”抽取人数为 6 人，则题意知： 的取值为 1， 2，3P（=1）= = ； P（=2）= = ；P（=3 ）= = ；故 的分布列为 1 2 3P故 的数学期望为：E（）=1 +2 +3 = 20 （12 分）如图，ABC 是以ABC 为直角的三角形， SA平面ABC，SA=BC=2，AB=4，M，N 分别是 SC，AB 的中点（1）求证：MNAB；（2）D 为线段 BC 上的点，当二面角 SNDA 的余弦值为 时，求三棱锥 DSNC的体积【解答】证明：（1）以 B 为坐标原点，BC ，BA 为 x，y 轴的正
27、方向，垂直于平面 ABC 的直线为 z 轴，建立空间直角坐标系，如图，由题意得 A（0，4，0） ，B （0，0，0） ，M（1，2，1） ，N（0，2，0） ，S（0，4，2 ） ，D （1，0，0） ， =（ 1，0，1） ， =（0， 4，0 ） ， =0，MNAB解：（2）设平面 SND 的一个法向量为 =（x，y ，z ） ，设 D（m，0 ， 0） ， （0 m2） ， =（0，2， 2） ， =（m，2，0） ， ，令 y=m，得 =（2，m ，m） ，又平面 AND 的法向量为 =（0，0，1） ，cos = = ，解得 m=1，即 D 为 BC 中点三棱锥 DSNC 的体积：
28、VDSNC=VSDNC= = 21 （12 分）已知函数 f（ x）=xlnx +a（aR）在其定义域内有两个不同的极值点（1）求 a 的取值范围；（2）证明： 【解答】解：（1）由题意知，函数 f（x ）的定义域为（ 0，+） ，f（x）=lnxax，函数 f（x ）在其定义域内有两个不同的极值点方程 f（x） =0 在（0，+）有两个不同根即方程 lnxax=0 在（0，+）有两个不同根，令 g（ x）=lnx ax，则 g（ x）= a当 a0 时，由 g（x）0 恒成立，即 g（x）在（0，+）内为增函数，显然不成立当 a0 时，由 g（x）0 解得 ，即 g（ x）在 内为增函数，
29、内为减函数，故 即可，解得综上可知 a 的取值范围为 ；（2）证明：由（1）知：当 时， 恒成立上式 n 个式子相加得：即又 ， 请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.选修 4-4：坐标系与参数方程22 （10 分）在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为 （a为参数） ，以 O 为极点，以 x 轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，直线 l 的极坐标方程为 （R） （1）求曲线 C 的极坐标方程；（2）设直线 l 与曲线 C 相交于 A，B 两点，求|AB|的值【解答】解：（1）曲线 C 的参数方程为 ，得曲线 C 的普通方程： x2+y24x12=
30、0所以曲线 C 的极坐标方程为： 24cos=12（2）设 A，B 两点的极坐标方程分别为 ，|AB|=|12|又 A，B 在曲线 C 上，则 1， 2 是 24cos12=0 的两根 ，所以：选修 4-5：不等式选讲23已知关于 x 的不等式|x 2|x+3|m+1|有解，记实数 m 的最大值为 M（1）求 M 的值；（2）正数 a，b，c 满足 a+2b+c=M，求证： + 1【解答】解：（1）由绝对值不等式得|x2|x+3|x2（x+3）|=5，若不等式|x2|x+3|m+1|有解，则满足|m+1|5，解得6m 4 M=4（2）由（1）知正数 a，b，c 满足足 a+2b+c=4，即 （a +b）+（b+c）=1 + = （a+b）+（b +c）（ + ）= （1+1+ + ） （2+2 ） 4=1，当且仅当 = 即 a+b=b+c=2，即 a=c，a+b=2 时，取等号 + 1 成立
