1、2016 年四川省广元市高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每个小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求的.1 （5 分） （2016 广元二模）已知集合 A=xR|3x2，B=xR |x24x+30，则 AB=（ ）A （3， 1 B （ 3，1） C1，2） D （，2）3，+）2 （5 分） （2007 山东）若 z=cos+isin（i 为虚数单位） ，则 z2=1 的 值可能是（ ）A B C D3 （5 分） （2016 广元二模）已知向量 =（2x+1，3） ， =（2x.1） ，若 ，则实数 x 的值等于（ ）A B C1
2、 D14 （5 分） （2015 河北） 九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：” 今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺问：积及为米几何？“其意思为：” 在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一） ，米堆底部的弧长为 8 尺，米堆的高为 5 尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？“ 已知 1 斛米的体积约为 1.62 立方尺，圆周率约为 3，估算出堆放的米约有（ ）A14 斛 B22 斛 C36 斛 D66 斛5 （5 分） （2009 宁夏）有四个关于三角函数的命题：P1：xR ，sin 2 +cos2 = ；P2：x、yR ， sin（xy）=sinx siny；
3、P3：x0， =sinx；P4：sinx=cosy x+y= 其中假命题的是（ ）AP 1，P 4 BP 2，P 4 CP 1，P 3 DP 2，P 36 （5 分） （2016 广元二模）函数 f（x）=（x ）cosx（ x 且 x0）的图象可能为（ ）A B C D7 （5 分） （2016 广元二模）若直线 ax+2by2=0（a，b0）始终平分圆 x2+y24x2y8=0 的周长，则 +的最小值为（ ）A B C3 D8 （5 分） （2016 广元二模）已知函数 f（x）=Asin（x +）+m 的最小值是 0，最大值是 4，最小正周期是 ，其图象的一条对称轴是 x= ，则函数 f
4、（x）的解析式应为（ ）Af（x）=Asin（4x+ ） Bf（x）=2sin（2x+ ）+2Cf（x）=sin（4x+ ）+2 Df （x）=2sin（4x+ ）+29 （5 分） （2016 广元二模）若双曲线 =1（a 0，b0）的一条渐近线与抛物线 x2=y1 只有一个公共点，则双曲线的离心率为（ ）A5 B C D10 （5 分） （2013 天津）设函数 f（x）=e x+x2，g（x）=lnx+x 23若实数 a，b 满足 f（a）=0，g（b）=0，则（ ）Ag（a）0f（b） Bf（b）0g（a） C0g（a）f（b） Df （b）g（a）0二、填空题：本大题共 5 个小题，
5、每小题 5 分，共 25 分.11 （5 分） （2016 广元二模）若（1 2x） 2016=a0+a1x+a2x2+a2016x2016（xR） ，则 + + +=_12 （5 分） （2016 广元二模）3 名医生和 6 名护士被分配到三所学校为学生体检，每校分配 1 名医生和2 名护士，不同的分配方法共有_种13 （5 分） （2016 广元二模）执行如图程序框图，若输入 n 的值为 9，则输出的 S 值为_14 （5 分） （2016 广元二模）对于 nN*，将 n 表示为 n=a02k+a12k1+a22k2+ak121+ak20，当 i=0 时，a 1=1，当 1ik 时，a 1
6、 为 0 或 1，记 I（n）为上述表示中，a 1 为 0 的个数，例如5=122+021+120，故 I（5）=1，则 I（65）=_15 （5 分） （2016 广元二模）某同学在研究函数 f（x）= （xR）时，得到一下四个结论：f（x）的值域是（1，1） ；对任意 xR，都有 0；若规定 f1（x）=f（x） ，f n+1（x）=f（f n（x） ） ，则对任意的 nN*，f n（x）= ；对任意的 x1，1，若函数 f（x）t 22at+ 恒成立，则当 a1，1时，t 2 或 t2，其中正确的结论是_（写出所有正确结论的序号） 三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出
7、文字说明、证明过程或演算步骤.16 （12 分） （2016 广元二模）已知等差数列a n的公差大于 0，且 a3，a 5 是方程 x214x+45=0 的两根，数列b n的前 n 项的和为 Sn，且 （）求数列a n，b n的通项公式；（）记 cn=anbn，求数列 cn的前 n 项和 Tn17 （12 分） （2016 广元二模）已知函数 f（x）=4sinxcos（x+ ）+1（1）求 f（x）的最小正周期；（2）在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c ，若 f（A）=2，a=3，S ABC = ，求 b2+c2 的值18 （12 分） （2016 广元二模）某校高三（1
8、）班的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的破坏，可见部分如下：试根据图表中的信息解答下列问题：（I）求全班的学生人数及分数在70，80）之间的频数；（II）为快速了解学生的答题情况，老师按分层抽样的方法从位于70，80） ，80，90）和90，100分数段的试卷中抽取 8 份进行分析，再从中任选 3 人进行交流，求交流的学生中，成绩位于70，80）分数段的人数 X 的分布列和数学期望19 （12 分） （2016 广元二模）如图，正方形 ABCD 的边长为 ，且对角线 AC 的中点为 O，E 为 AD的中点，将ADC 沿对角线 AC 折起得平面 ADC平面 ABC（）求证：
9、平面 EOB平面 AOD；（）求平面 EOB 与平面 BCD 所成二面角的余弦值20 （13 分） （2016 广元二模）已知直线 Ax+By+C=0 的方向向量为（B ，A） ，现有常数 m0，向量=（0，1） ，向量 =（m，0） ，经过点 A（m ，0）以 + 为方向向量的直线与经过点 B（ m，0） ，以 4 为方向向量的直线交于点 P，其中 R（）求点 P 的轨迹 E；（）若 m=2 ，F（4，0） ，问是否存在实数 k 使得过点 F 以 k 为斜率的直线与轨迹 E 交于 M，N 两点，并且 SOMN = （O 为坐标原点）？若存在，求出 k 的值；若不存在，试说明理由21 （14
10、分） （2016 广元二模）设 f（x）=e xa（x+1） （1）若 a0，f （x）0 对一切 xR 恒成立，求 a 的最大值（2）设 g（x）=f（x）+ ，且 A（x 1，y 1） ，B （x 2，y 2） （x 1x 2）是曲线 y=g（x）上任意两点，若对任意的 a1，直线 AB 的斜率恒大于常数 m，求 m 的取值范围；（3）求证：1 n+3n+（2n1） n 2016 年四川省广元市高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每个小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求的.1 （5 分） （2016 广元二模）已
11、知集合 A=xR|3x2，B=xR |x24x+30，则 AB=（ ）A （3， 1 B （ 3，1） C1，2） D （，2）3，+）【分析】求解一元二次不等式化简集合 B，然后直接利用交集运算求解【解答】解：由 x24x+30，得： x1 或 x3所以 B=xR|x24x+30= xR|x1 或 x3，又 A=xR|3x2，所以 AB=xR|3x2xR|x1 或 x3=x| 3x1故选 A【点评】本题考查了交集及其运算，考查了一元二次不等式的解法，是基础题2 （5 分） （2007 山东）若 z=cos+isin（i 为虚数单位） ，则 z2=1 的 值可能是（ ）A B C D【分析】先
12、求出 Z2，再利用复数相等的概念得到三角函数的等式，将答案代入验证即可【解答】解：z=cos+isin，所以 Z2=cos2+2icossinsin2=1所以 ，将答案选项中的数值代入验证知 D 符合故选 D【点评】本题主要考查复数的运算和复数相等、以及三角函数求值等知识，属基本题3 （5 分） （2016 广元二模）已知向量 =（2x+1，3） ， =（2x.1） ，若 ，则实数 x 的值等于（ ）A B C1 D1【分析】根据向量平行的坐标表示，列出方程，求出 x 的值【解答】解：向量 =（2x+1，3） ， =（2x.1） ，且 ，2x+13（2 x） =0解得 x=1故选：C【点评】本
13、题考查了平面向量共线的坐标表示与应用问题，是基础题目4 （5 分） （2015 河北） 九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：” 今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺问：积及为米几何？“其意思为：” 在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一） ，米堆底部的弧长为 8 尺，米堆的高为 5 尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？“ 已知 1 斛米的体积约为 1.62 立方尺，圆周率约为 3，估算出堆放的米约有（ ）A14 斛 B22 斛 C36 斛 D66 斛【分析】根据圆锥的体积公式计算出对应的体积即可【解答】解：设圆锥的底面半径为 r，则 r=8，解得 r= ，故米堆
14、的体积为 （ ） 25 ，1 斛米的体积约为 1.62 立方， 1.6222，故选：B【点评】本题主要考查椎体的体积的计算，比较基础5 （5 分） （2009 宁夏）有四个关于三角函数的命题：P1：xR ，sin 2 +cos2 = ；P2：x、yR ， sin（xy）=sinx siny；P3：x0， =sinx；P4：sinx=cosy x+y= 其中假命题的是（ ）AP 1，P 4 BP 2，P 4 CP 1，P 3 DP 2，P 3【分析】P 1：同角正余弦的平方和为 1，显然错误；P2：取特值满足即可；P3 将根号中的式子利用二倍角公式化为平方形式，再注意正弦函数的符号即可P4 由三
15、角函数的周期性可判命题错误【解答】解：P 1： xR 都有 sin2 +cos2 =1，故 P1 错误；P2：x=y=0 时满足式子，故 P2 正确；P3：x0，sinx 0，且 1cos2x=2sin2x，所以 =sinx，故 P3 正确；P4：x=0， ，sinx=cosy=0，故 P4 错误故选 A【点评】本题考查全称命题和特称命题的真假判断、以及三角函数求值、公式等，属基本题6 （5 分） （2016 广元二模）函数 f（x）=（x ）cosx（ x 且 x0）的图象可能为（ ）A B C D【分析】先根据函数的奇偶性排除 AB，再取 x=，得到 f（ ）0，排除 C【解答】解：f（x
16、）= （x+ ）cos（x）=（x ）cosx= f（x） ，函数 f（x）为奇函数，函数 f（x）的图象关于原点对称，故排除 A，B ，当 x= 时，f （）=（ ） cos= 0，故排除 C，故选：D【点评】本题考查了函数图象的识别，常用函数的奇偶性，函数值，属于基础题7 （5 分） （2016 广元二模）若直线 ax+2by2=0（a，b0）始终平分圆 x2+y24x2y8=0 的周长，则 +的最小值为（ ）A B C3 D【分析】由已知直线 ax+2by2=0（a ，b0）经过圆心（2，1） ，从而 a+b=1，由此利用基本不等式性质能求出 + 的最小值【解答】解：直线 ax+2by2
17、=0（a ，b0）始终平分圆 x2+y24x2y8=0 的周长，直线 ax+2by2=0（a ，b0）经过圆心（2，1） ，2a+2b2=0 ，即 a+b=1，a0，b0， + =（a+b） （ + ）= + +1= = + 的最小值为 故选：B【点评】本题考查两数和的最小值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意圆的性质、基本不等式的性质的合理运用8 （5 分） （2016 广元二模）已知函数 f（x）=Asin（x +）+m 的最小值是 0，最大值是 4，最小正周期是 ，其图象的一条对称轴是 x= ，则函数 f（x）的解析式应为（ ）Af（x）=Asin（4x+ ） Bf（x）=2sin（
18、2x+ ）+2Cf（x）=sin（4x+ ）+2 Df （x）=2sin（4x+ ）+2【分析】由函数的最值求出 A，由周期求出 ，由图象的对称性求出 的值，可得函数的解析式【解答】解：函数 f（x）=Asin（ x+）+m 的最小值是 0，最大值是 4，A= =2， m=2函数的最小正周期是 = ，=4其图象的一条对称轴是 x= ，4 +=k+ ，求得 =k ，kZ，可取 = ，f（x）=2sin（4x+ ）+2，故选：D【点评】本题主要考查由函数 y=Asin（x+）的部分图象求解析式，由函数的最值求出 A，由周期求出 ，由图象的对称性求出 的值，属于基础题9 （5 分） （2016 广元
19、二模）若双曲线 =1（a 0，b0）的一条渐近线与抛物线 x2=y1 只有一个公共点，则双曲线的离心率为（ ）A5 B C D【分析】可设双曲线 =1（a0，b0）的一条渐近线为 y= x，由题意可得 x2 x+1=0 有两个相等的实数解，运用判别式为 0，可得 b=2a，再由 a，b，c 的关系和离心率公式计算即可得到所求值【解答】解：可设双曲线 =1（a0，b0）的一条渐近线为 y= x，由渐近线与抛物线 x2=y1 只有一个公共点，可得 x2 x+1=0 有两个相等的实数解，即有= 4=0，即 b=2a，可得 c= = a，即有 e= = 故选：C【点评】本题考查双曲线的离心率的求法，注
20、意运用渐近线方程和直线与抛物线相切的条件：判别式为0，考查运算能力，属于中档题10 （5 分） （2013 天津）设函数 f（x）=e x+x2，g（x）=lnx+x 23若实数 a，b 满足 f（a）=0，g（b）=0，则（ ）Ag（a）0f（b） Bf（b）0g（a） C0g（a）f（b） Df （b）g（a）0【分析】先判断函数 f（x） ， g（x）在 R 上的单调性，再利用 f（a）=0，g（b）=0 判断 a，b 的取值范围即可【解答】解：由于 y=ex 及 y=x2 关于 x 是单调递增函数，函数 f（x）=e x+x2 在 R 上单调递增，分别作出 y=ex，y=2 x 的图象
21、，f（0）=1+020，f（1）=e 10，f （a）=0，0a1同理 g（x）=lnx +x23 在 R+上单调递增，g（1）=ln1+1 3=20，g（ ）=，g（b）=0， g（a）=lna+a 23g（1）=ln1+13=20，f（b）=e b+b2f（1）=e+12=e10g（a）0f （b） 故选 A【点评】熟练掌握函数的单调性、函数零点的判定定理是解题的关键二、填空题：本大题共 5 个小题，每小题 5 分，共 25 分.11 （5 分） （2016 广元二模）若（1 2x） 2016=a0+a1x+a2x2+a2016x2016（xR） ，则 + + += 1 【分析】在所给的等
22、式中，令 x=0，可得 a0=1；再令 x= ，可得 a0+ + + + =0，从而求得要求式子的值【解答】解：在（12x） 2016=a0+a1x+a2x2+a2016x2016（xR ）中，令 x=0，可得 a0=1，令 x= ，可得 a0+ + + + =0，故， + + + =1，故答案为：1【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，属于基础题12 （5 分） （2016 广元二模）3 名医生和 6 名护士被分配到三所学校为学生体检，每校分配 1 名医生和2 名护士，不同的分配方法共有 540 种【分析】根据分步计数原理知首先为第一个学校安排医生和护士，再为第二个学校安排医生和护士，为第三个学校安排医生和护士，根据分步计数原理得到结果【解答】解：为第一个学校安排医生和护士有 C31C62 种结果，为第二个学校安排医生和护士有 C21C42 种结果，为第三个学校安排医生和护士有 C11C22，根据分步计数原理知共有 C31C62C21C42C11C22=540，故答案为：540【点评】排列与组合问题要区分开，若题目要求元素的顺序则是排列问题，排列问题要做到不重不漏，有些题目带有一定的约束条件，解题时要先考虑有限制条件的元素
