1、专题 17 几何证明选讲高频考点一 相似三角形的判定与性质例 1、如图，ABCD 中，E 是 CD 的延长线上一点，BE 与 AD 交于点 F，DE CD.12(1)求证：ABFCEB；(2)若DEF 的面积为 2，求ABCD 的面积高频考点二 圆周角和弦切角例 2、如图，AB 是圆 O 的直径， D 为圆 O 上一点，过 D 作圆 O 的切线交 AB 的延长线于点 C，若DADC，求证：AB2BC高频考点三 圆的切割线定理及应用例 3、如图所示，PA 为O 的切线，A 为切点，PBC 是过点 O 的割线，PA 10，PB5，BAC 的平分线与 BC 和O 分别交于点 D 和 E，求 ADAE
2、 的值高频的四 平行线分线段成比例定理来源:学+科+网 Z+X+X+K例 4、如图，已知梯形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 相交于 P 点，两腰 BA、CD 的延长线相交于 O 点，EFBC 且 EF 过 P 点求证：(1)EPPF；(2)OP 平分 AD 和 BC.高频考点五、 切割定理与相交弦定理例 5、如图 3，AB，CD 是半径为 a 的圆 O 的两条弦，它们相交于 AB 的中点 P，PD ， OAP30，2a3则 CP_.高频考点六 圆内接四边形例 6、如图，已知ABC 的两条角平分线 AD 和 CE 相交于 H，B60 ，F 在 AC 上，且 AEAF .(1)证明：B、D
3、、H、E 四点共圆；(2)证明：CE 平分DEF .1相似三角形的判定及有关性质(1)平行线等分线段定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等， 那么在其它直线上截得的线段也相等(2)平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的线段对应成比例 (3)经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必经过三角形第三边的中点 (4)经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线必经过梯形另一腰的中点(5)平行于三角形一边的直线截其它两边( 或两边的延长线)所得的对应线段成比例(6)相似三角形的性质定理：相似三角形的对应角相等相似三角形的对应边成比例相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等
4、于相似比；相似三角形周长的比、外接圆的直径比、外接圆的周长比都等于相似比；相似三角形面积的比、外接圆的面积比都等于相似比的平方 (7)相似三角形的判定定理：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似(简叙为：两角对应相等，两三角形相似 )；如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似(简叙为：两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似) ；如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似(简叙为：三边对应成比例，两个三角形相似)(8)直角三角形的射影定理：直角三角形斜边上的高是两条直角边的比
5、例中项；两直角边分别是它们在斜边上的射影与斜边的比例中项2直线与圆的位置关系(1)圆周角定理：圆上一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角度数的一半(2)圆心角定理：圆心角的度数等于它所对弧的度数(3)弦切角定理：弦切角等于它所夹弧的度数的一半(4)圆内接四边形的性质定理与判定定理：圆内接四边形的对角互补；圆内接四边形的外角等于它的内对角的度数如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点在同一个圆上；如果四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么这个四边形的四个顶点在同一个圆上(5)切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线(6)
6、相交弦定理：圆内两条相交弦，被交点分成两段的积相等(7)切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆的两个交点的线段的比例中项(8)切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，两切线长相等；圆心和这点的连线平分两切线的夹角(9)同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等(10)半圆(或直径 )所对的圆周角是直角；90的圆周角所对的弦是直径(11)经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点；经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心(12)从圆外一点引圆的两条割线，这点到每条割线与圆的两个交点的两条线段长的积相等（201 3新课标 I 理） （22） （本小题满分 10
7、分）选修 41：几何证明选讲 如图，直线 AB 为圆的切线，切点为 B，点 C 在圆上， ABC 的角平分线 BE 交圆于点 E，DB 垂直 BE 交圆于 D。（） 证明：DB=DC；（）设圆的半径为 1，BC= ，延长 CE 交 AB 于点 F，求BCF 外接圆的半径。3（2013陕西理）B. (几何证明选做题 ) 如图, 弦 AB 与 CD 相交于 OA内一点 E, 过 E 作 BC 的平行线与AD 的延长线相交于点 P. 已知 PD2DA2, 则 PE . （2013广东理）15. (几何证明选讲选做题) 如图, AB是圆 O的直径,点 C在圆 上,延长 BC到 D使BCD,过 作圆 O
8、的切线交 AD于 E.若 6, 2D,则 _.（2012辽宁卷）如图 18，O 和O相交于 A，B 两点，过 A 作两圆的切线分别交两圆于 C，D 两点，连结 DB 并延长交O 于点 E.证明：(1)ACBDADAB ；(2)ACAE.图 18（2012江苏卷如图 17，AB 是圆 O 的直径，D，E 为圆 O 上位于 AB 异侧的两点，连结 BD 并延长至点C，使 BDDC，连结 AC，AE，DE .求证：E C.来源:学科网 ZXXK图 17（2012湖北卷如图 16 所示，点 D 在O 的弦 AB 上移动，AB4，连结 OD，过点 D 作 OD 的垂线交O 于点 C，则 CD 的最大值为
9、_来源:Z_xx_k.Com图 16（2012全国卷）正方形 ABCD 的边长为 1，点 E 在边 AB 上，点 F 在边 BC 上，AEBF .动点 P 从 E 出37发沿直线向 F 运动，每当碰到正方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当点 P 第一次碰到 E 时，P与正方形的边碰撞的次数为( )A16 B14C12 D10（2012北京卷）如图 13， ACB 90 ，CD AB 于点 D，以 BD 为直径的圆与 BC 交于点 E，则( )ACECBAD DBBCECBADABCADABCD 2DCEEBCD 2（2012广东卷如图 13，圆 O 的半径为 1，A、B、C 是圆周上的三
10、点，满足 ABC 30 ，过点 A 作圆O 的切线与 OC 的延长线交于点 P，则 PA_.（2012湖南卷）如图 13，过点 P 的直线与O 相交于 A，B 两点若 PA1，AB2，PO3，则O的半径等于_图 13（2012课标全国卷如图 16，D，E 分别为ABC 边 AB，AC 的中点，直线 DE 交ABC 的外接圆于F，G 两点若 CFAB ，证明：(1)CD BC；(2)BCDGBD.（2012陕西卷如图 15，在圆 O 中，直径 AB 与弦 CD 垂直，垂足为 E，EFDB，垂足为 F，若AB6，AE1，则 DFDB_.图 15（2012天津卷）如图 13 所示，已知 AB 和 A
11、C 是圆的两条弦，过点 B 作圆的切线与 AC 的延长线相交于点 D.过点 C 作 BD 的平行线与圆相交于点 E，与 AB 相交于点 F，AF 3，FB1，EF ，则线段 CD 的32长为_图 13（2011北京卷）如图 12， AD，AE，BC 分别与圆 O 切于点 D，E，F，延长 AF 与圆 O 交于另一点 G.给出下列三个结论：ADAEABBCCA；AF AGADAE ；AFB ADG.其中正确结论的序号是( )A BC D图 12（2011广东卷)如图 12，过圆 O 外一点 P 分别作圆的切线和割线交圆于 A，B，且 PB7，C 是圆上一点使得 BC5，BACAPB，则 AB_.
12、（2011广东卷)如图 13，在梯形 ABCD 中，AB CD ， AB4，CD2，图 13E、F 分别为 AD、BC 上点，且 EF3，EF AB，则梯形 ABFE 与梯形 EFCD 的面积比为_ _图 12（2011湖南卷）如图 12， A，E 是半圆周上的两个三等分点，直径 BC4，ADBC，垂足为 D，BE 与AD 相交于点 F，则 AF 的长为_（2011辽宁卷）选修 41：几何证明选讲图 111如图 111，A，B，C，D 四点在同一圆上，AD 的延长线与 BC 的延长线交于 E 点，ECED.(1)证明：CD AB；(2)延长 CD 到 F，延长 DC 到 G，使得 EFEG，证
13、明：A，B，G，F 四点共圆（2011辽宁卷） 如图 110 ，A，B，C，D 四点在同一圆上，AD 的延长线图 110与 BC 的延长线交于 E 点，且 ECED.(1)证明：CD AB；(2)延长 CD 到 F，延长 DC 到 G，使得 EFEG，证明：A，B，G，F 四点共圆（2011课标全国卷）如图 1 10，D ，E 分别为ABC 的边 AB，AC 上的点，且不与ABC 的顶点重合图 110已知 AE 的长为 m，AC 的长为 n，AD，AB 的长是关于 x 的方程 x214xmn0 的两个根(1)证明：C，B ，D ，E 四点共圆；(2)若A90，且 m4，n6，求 C，B，D，E
14、 所在圆的半径图 111（2011陕西卷） 图 15(几何证明选做题)如图 15 ，BD ，AEBC，ACD90，且 AB6，AC4，AD12，则BE_.1 （2014 届广东省肇庆市高三 3 月第一次模拟数学试卷）如图，在 中， ， ， ， 、 为垂足，若 AE=4，BE=1 ，则ABC90BCAAEDAC= .2 （2014 届陕西西工大附中高三上学期第四次适应性训练文数学卷）如图，圆 O的弦 ED，CB 的延长线交于点 A，若 BDAE，AB4,BC2,AD3,则 CE ; 3 （2014 届陕西西工大附中高三上学期第四次适应性训练理数学卷）已知圆 O 的半径为 3，从圆 O 外一点 A
15、 引切线 AD 和割线 ABC，圆心 O 到 AC 的距离为 2 ，AB 3，则切线 AD 的长为_ 4 （2014 届广东省韶关市高三调研测试数学试卷）如图, 是圆 的直径,点 在圆 上,延长 到 使 ,过 作圆 的切线交 于 .若ABOCBCDCOADE, 则 _.84DE5 （2014 届湖北省八市高三下学期 3 月联考数学试卷）如图，A，B 是圆 O 上的两点，且 OAOB，OA=2 ，C 为 OA 的中点，连接 BC 并延长交圆 O 于点 D，则 CD= .6 （2014 年广东省广州市普通高中毕业班综合测试一数学试卷）如图， PC是圆 O的切线，切点为点 C，直线 PA与圆 O交于
16、 、 B两点， APC的角平分线交弦 CA、B于 D、 E两点，已知 3P， 2B，则 ED的值为 .7 （2014 届广东省深圳市高三 2 月调研考试数学试卷）如图，已知 AB是 O的直径， TA是 O的切线，过 A作弦 /CBT，若 4A， 23T，则 AB 8 （2014 届陕西西安第一中学高三第二学期第二次模拟考试数学试卷）如图，在圆 O 中，直径 AB 与弦 CD 垂直，垂足为 E， FDB，垂足为 F，若 6AB， 1E，则DFB9 （2014 届陕西西安第一中学高三第二 学期第二次模拟考试数学试卷）如图所示，过圆 O 外一点 P 分别作圆的切线和割线交圆于 A,B,且 PB =
17、7, C 是圆上一点使得 BC = 5，BAC，则 AB =_ 10 （2014 届广东省“十二校”高三第 2 次联考数学试卷）如图， 和 相交于 两点，过 作两圆的切线分别交两圆于 、 两点，连接 、 ，OAAB、 CDBC已 知 ， ，则 3BC4D11 （2014 届广东省“十二校”高三第 2 次联考数学试卷）如图，在ABC 和ACD 中，ACBADC90 ， BACCAD，O 是以 AB 为直径的圆，DC的延长线与 AB 的延长线交于点 E. 若 EB6，EC 6 ，则 BC 的长为 212 （2014 届广东湛江市普通高考测试题（一）数学试卷）如图，O 的直径 AB=4，C 为圆周上
18、一点，AC=3 ，CD 是O 的切线，BDCD 于 D,则 CD= 来源:学,科,网13 （2014 届广东茂名市高三第一次高考模拟数学试卷）已知圆 O的半径为 3，从圆 O外一点 A引切线 D和割线 ABC，圆心 O到 A的距离为 2，AB，则切线 AD的长为_. ODCBA14 （2014 届广东省珠海市高三 9 月摸底考试数学试卷）如图， 圆 O的直径 6ABPP， 是 延 长 线 上 的 一 点 ， 过 作 圆 的 切 线 ， 切点为 C，若 03PA,则CP的长为 . 15 （2014 届广东省广州市越秀区高三上学期摸底考试数学试卷）如图，AB 为O 的直径，弦 AC、BD 相交于点
19、 P，若 3AB， 1CD，则 cosBPC的值为 .16 （2014 届广东省“十校” 高三第一次联考数学试卷）如图， AB是半圆 O的直径， C是半圆 O上异于 ,AB的点， CDAB，垂足为 . 若 2AD，43C，则 D A BCD O17 （2014 届广东省“十校” 高三第一次联考数学试卷）如图， C是 A的内接三角形， PA是 O的切线， PB交 AC于点 E,交 OA于点 D， PE,06B， 1P， 9B，则 EC .18 （2014 届天津市高三第一次六校联考数学试卷）如图，割线 PBC经过圆心 O， 1BP， O绕点 逆时针旋转 120到 OD，连 P交圆 于点 E，则
20、E_19 （2014 届广东省韶关市高三摸底测试数学试卷）如图，圆 O的直径 9AB，直线 CE与圆 O相切于点 C， ADE于 ，若 1A，设 BC，则 sin_20 （201 4 届广东省广州市执信、广雅、六中高三 9 月三校联考数学试卷）在 ABC中， D是边 A的中点，点 E在线段 BD上，且满足 13EBD，延长 AE交 BC于点 F，则F的值为_21 （2014 届河北省唐山一中高三下学期调研考试数学试卷）如图， CB是 O的直径， AP 是 O的切线， AP与 CB的延长线交于点 P， A为切点若 10P，5P， 的平分线 E与 BC和 分别交于点 D、 E，求 的值来源:Zxx
21、k.Com22 （2014 届吉林省长春市高中毕业班第二次调研测试数学试卷）如图， AB是圆 O的 直径， G是 AB延长线上的一点， GCD是圆 O的割线，过点 G作 A的垂线，交直线 C于点 E，交直线 D于点 F，过点 作圆 的切线，切点为 H.（1）求 证 ： ,CDEF四 点 共 圆 ； （ 2） 若 8,4GHE,求 F的 长 .23 （2014 届江苏省苏、锡、常、镇四市高三教学情况调查（一）数学试卷）如图， O为四边形 AB的外接圆，且 ABD， 是 CB延长线上一点，直线 EA与圆 O相切求证： CDABE24 （2014 届陕西省长安一中等五校高三第二次联合模拟考试数学试卷
22、）如图，已知 是 的切线， 为切点. 是 的一条割线，交 于 两点，点 是弦 的POAPCOOCB,QBC中点.若圆心 在 内部，则 的度数为_.BQ25 （2014 届河北唐山市高三年级第一次模拟考试数学试卷）如图，AE 是圆 O 的切线，A 是切线， ADOE于 ，割线 EC 交圆 O 于 B，C 两点.（1）证明：O，D，B，C 四点共圆；（2）设 05DBC， 03O，求 EC的大小.26 （2014 届哈师大、东北师大、辽宁实验中学高三第一次联合模拟理数学卷）如图，PA、PB 是圆 O 的两条切线， A、B 是切点，C 是劣弧 AB（不包括端点）上一点，直线 PC 交圆 O于另一点
23、D，Q 在弦 CD 上，且 DQP求证：（1） BDCA；（2） ADQ B27 （2014 届吉林省白山市高三摸底考试数学试卷）如图, 内接于 O, C,直线 MN切 O于点 C,弦 /BDMN, ACB与 相交于点 E.()求证: ABE CD；()若 6,4,求 长.28 （2014 届吉林省白山市高三摸底考试数学试卷）如图, 内接于 O, A,直线 MN切 O于点 C,弦 /BDMN, ACB与 相交于点 E.()求证: ABE CD；()若 6,4,求 长.29 （2014 届山西省高三第一次四校联考理数学卷）如图，直线 PA为圆 O的切线，切点为 A，直径 BCOP，连接 AB交 PO于点 D.APBCOD（）证明： A；（）求证： PCDO. 30 （2014 届河北唐山市高三年级摸底考试数学试卷）如图， 为圆 的直径， 为垂直于 AB的一条弦，垂足为 E，弦 BM与 CD交于点 F.（）证明： AEFM、 、 、 四点共圆；（）证明： 22CBA.
