1、 数学高考总复习 1集合的概念和运算【考纲要求】1、 理解集合及表示法，掌握子集，全集与补集，子集与并集的定义；2、 掌握含绝对值不等式及一元二次不等式的解法；3、 学会用定义解题，理解数形结合，分类讨论及等价变换等思想方法。【知识网络】【考点梳理】1、集合的概念：（1） 集合中元素特征，确定性，互异性，无序性；（2） 集合的分类： 按元素个数分：有限集，无限集；按元素特征分；数集，点集。如数集y|y=x2，表示非负实数集，点集(x，y)|y=x2表示开口向上，以 y 轴为对称轴的抛物线；（3） 集合的表示法：列举法：用来表示有限集或具有显著规律的无限集，如 N+=0，1，2，3，；描述法。2
2、、两类关系：（1） 元素与集合的关系，用 或 表示；（2）集合与集合的关系，用 ， ，=表示，当 A B 时，称 A 是 B 的子集；当 A B 时，称 A 是 B 的真子集。3、集合运算（1）交，并，补，定义：A B=x|xA 且 xB，AB=x|xA，或 xB，CUA=x|xU，且 x A，集合 U 表示全集；（2） 运算律，如 A（BC）=（AB）（AC ），CU（A B ）=（CUA）（CUB），CU（AB ）=（CUA）（CUB）等。【典型例题】类型一：集合的概念、性质与运算例 1、已知集合 ， ，则 =（ ）A-1，1 B0 c-l D-l ，0答案：C解析：集合 ，所以 ，选 C
3、。点评：集合 需要通过求解一个指数不等式得到。举一反三：【变式】已知集合 ， ，则 A B C. D. 答案: A解析：集合 表示一个正方形区域；集合 表示一个圆形区域，且点 只在 中。类型二：集合的两种关系例 2、已知集合 ， （1）若 ，求实数 的值；（2）若 ，求实数 的取值范围。解析： ， （1）因为 ，所以 （2） 因为 ，所以 ，或 ，所以 ，或 点评：数形结合是中学数学的重要思想，全面地挖掘题中隐藏条件是解题素质的一个重要方面。举一反三：【高清课堂：集合 思考题 1（1）】【变式】设 2011x， ，x2 ，则满足条件的所有 x组成的集合的真子集的个数为( )A3 B4C7 D8
4、【答案】由题意得 x2011 或 x2011，所以集合 2011，2011 的真子集有2213 个选 A。例 3（1）设全集 U=不超过 5 的自然数，A=x|x2-5x+6=0，B=x|x2-7x+12=0 ，则AB= ，AB= ， = ， = ；（2）设全集 ，已知 ， ，则= ，= 。解析：（1）方法一：U=0，1，2，3，4，5，A=2，3，B=3，4 ，则AB=3 ，A B=2，3，4， =0，1，3，4，5 ， =0，1，5.方法二：用韦恩图示：由图知 AB=3，AB=2，3，4， =0，1，3，4，5， =0，1，5.（2）由不等式 ，得=(- ， 1)，由不等式 ，得=(-1，
5、+ )，因而=(-1，1)， ， .点评：1.本题主要考察集合的交、并、补综合运算。要求对集合的描述法表示有较深刻的认识。集合的三种表示语言要熟悉。2. 关于集合的运算，一般应把各参与运算的集合化到最简形式，再进行计算.3. 对元素个数较少的集合的运算常采用公式法或韦恩图法，而对不等式解集的运算一般用数轴法较为简捷.举一反三：【高清课堂：集合 例 1（2）】【变式 1】若集合 Ay|y3x1，Bx| ，则AB( )A B1,0)C(0,1 D 1,1【答案】C【高清课堂：集合 思考题 2】【变式 2】设 S 为复数集 C 的非空子集若对任意x，yS，都有 xy，xy，xyS，则称 S 为封闭集
6、下列命题： 集合 Sabi|a，b为整数，i 为虚数单位为封闭集；若 S 为封闭集，则一定有 0S；封闭集一定是无限集；若 S 为封闭集，则满足 STC 的任意集合 T 也是封闭集其中的真命题是_(写出所有真命题的序号 )【答案】类型三：分类讨论的集合问题例 4.设函数 的定义域为 D。（ 1） ，求使 的概率；（2） ，求使 的概率.解析：（1） 的所有可能为：（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（2，2），（2，3），（3，1），（3，2），（3，3），（4，1），（4，2），（4，3）共计 12 种。而 那么满足 D=R 的 的所有可能为：（1，1），（1，2），（1，3），
7、（2，1），（2，2），（2，3），（3，2），（3，3），（4，3）共计 9 种，其概率 （2） 所有的点 构成的区域的面积=12而 满足 构成的区域的面积为 7，故所求概率 点评：在一定条件约束下求参数的问题，体现了分类讨论的数学思想。另外本题稍微涉及到一点概率知识。举一反三：【变式】已知集合 ，若 ，求实数 m 的取值范围【答案】由不等式 恒成立，可得 ， （）（1）当 ，即 时，（）式可化为 ，显然不符合题意（2）当 时，欲使（）式对任意 x 均成立，必需满足 即 解得 集合 B 是不等式 的解集，可求得 ，结合数轴，只要 即可，解得 集合的概念和运算【巩固练习】一.选择题1.设集合
8、M = ，N = ， 则 ,412|Zkx ,214|Zkx( )A.M=N B.M N C.M N D.M N=2.若集合 M=y| y= ，P=y| y= ， 则 MP= x33（ ）Ay| y1 By| y1 Cy| y0 Dy| y0 3.不等式 的解集为 ( )312xA. B. C. D.)0,),1,(,01,(4.集合 M=x| , N= , 则 M N = ( )4|xxy2| A.0 B.2 C. D. 7|5.下列四个集合中，是空集的是 ( )A . B . 3|x ,|),(2RyC. D . 2012x6.已知集合 M=a 2, a+1,-3, N=a-3, 2a-1
9、, a2+1, 若 MN=-3, 则 a 的值是 ( )A -1 B 0 C 1 D 27.对任意实数 , 若不等式 恒成立, 则实数 的取值范围是 ( )xkx|2| kA k1 B k 1 C k1 D k 0 恒成立a0,则 ,故 0a1由得 10a10.A 解析：错若 P=1, M=- 1则 f(P)=1,f(M)=1 则 f(P)f(M) 故错若 P=1,2, M=1则 f(P)=1,2,f(M)=1则 f(P)f(M) = 故错若 P=非负实数,M= 负实数 则 f(P)= 非负实数,f(M)= 正实数 则 f(P) f(M)R.故错若 P=非负实数,M=正实数则 f(P)= 非负
10、实数,f(M)= 负实数 则 f(P) f(M)=R.故错11. 1 , 解析：不等式 的解集是02ax1x等价于 有两个根 0,1x12. , 3解析： =16)(2f 8)3(213. , 51解析： =1,5BCU14. .abc42解析：若 ,则对称轴为直线 ,故 =)(21xff21x)2(1xfabc4215. 假设 均不大于 1，即 ，这与已知条件 矛盾y, ,y则且 y中至少有一个大于 1x16.解:A=(-2,3), -2x 3, 0|x|5. B=(-5,0)(0,5). CUB= ,50,AB=(-2,0)(0,3),AB=(-5,5), A(CUB)= (-2,3) , A(CUB)=0,CU(AB)=( CUA)(CUB)= 17.由题意知方程 的两根为 ，022bxa31,21x又 ，即 ，解得 ， ax21a312b4ba18. ABAA,065 ；Bm,时 时，由 。mx1,1得 312,32, 或得或B所以适合题意的 的集合为 ,0
