1、2018 年广东省东莞市高考数学二调试卷（文科）一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1 （5 分）已知 A=1，2，4，8，16，B=y |y=log2x，xA，则 AB=（ ）A1 ，2 B2，4，8 C1，2，4 D1，2，4，82 （5 分）若复数 z 满足（ 1+2i）z=（1i） ，则|z|=（ ）A B C D3 （5 分）已知 sincos= ，则 sin2=（ ）A B C D4 （5 分）直线 l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到 l 的距离为其短轴长的 ，则该椭圆的离心率为（ ）A B C
2、D5 （5 分）在ABC 中， B= ，BC 边上的高等于 BC，则 sinA=（ ）A B C D6 （5 分）已知 ，则 z=22x+y 的最小值是（ ）A1 B16 C8 D47 （5 分）执行如图所示的程序框图，则输出的结果为（ ）A7 B9 C10 D118 （5 分）设函数 f（x ） =x3+ax2，若曲线 y=f（x ）在点 P（x 0，f（x 0） ）处的切线方程为 x+y=0，则点 P 的坐标为（ ）A （0 ，0 ） B （1，1） C （ 1，1） D （1， 1）或（1，1）9 （5 分）在正四棱锥 PABCD 中，PA=2，直线 PA 与平面 ABCD 所成角为 6
3、0，E 为 PC 的中点，则异面直线 PA 与 BE 所成角为（ ）A90 B60 C45 D3010 （5 分）已知函数 f（ x）=sinx +cosx（ R）的图象关于 x= 对称，则把函数 f（x）的图象上每个点的横坐标扩大到原来的 2 倍，再向右平移 ，得到函数 g（ x）的图象，则函数 g（x）的一条对称轴方程为（ ）Ax= Bx= Cx= Dx=11 （5 分）函数 y=2x2e|x|在 2，2的图象大致为（ ）A B CD12 （5 分）已知函数 f（ x）=xsinx+cosx+x 2，则不等式的解集为（ ）A （e ，+） B （0，e） C D二、填空题：本题共 4 小题
4、，每小题 5 分，共 20 分13 （5 分）设向量 =（x，x+1） ， =（1，2） ，且 ，则 x= 14 （5 分）在各项都为正数的等比数列a n中，已知 a1=2， ，则数列a n的通项公式 an= 15 （5 分）已知|x|2，|y|2，点 P 的坐标为（x，y） ，当 x，yR 时，点 P满足（x2） 2+（y2） 24 的概率为 16 （5 分）已知函数 ，其中 m0，若存在实数b，使得关于 x 的方程 f（x ）=b 有三个不同的零点，则 m 的取值范围是 三解答题：共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤第1721 题为必考题，每个考生都必须作答第 22、23
5、题为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题：共 60 分17 （12 分）已知数列a n的前 n 项和为 Sn，且 Sn=2an2（n N*） （）求数列a n的通项公式；（） 求数列S n的前 n 项和 Tn18 （12 分）某城市随机抽取一年（365 天）内 100 天的空气质量指数 API 的监测数据，结果统计如下：API 0，50（50，100（100 ，150（150 ，200（200，250（250，300300空气质量优 良 轻微污染轻度污染中度污染中度重污染重度污染天数 4 13 18 30 9 11 15记某企业每天由空气污染造成的经济损失 S（单位：元） ，空气质量指数 A
6、PI 为在区间0，100对企业没有造成经济损失；在区间（ 100，300对企业造成经济损失成直线模型（当 API 为 150 时造成的 经济损失为 500 元，当 API 为200 时，造成的经济损失为 700 元） ；当 API 大于 300 时造成的 经济损失为2000 元；（1）试写出是 S（ ）的表达式：（2）试估计在本年内随机抽取一天，该天经济损失 S 大于 200 元且不超过 600元的概率；（3）若本次抽取的样本数据有 30 天是在供暖季，其中有 8 天为重度污染，完成下面 22 列联表，并判断能否有 95%的把握认为该市本年空气重度污染与供暖有关？附：P（K 2k0）0.25
7、0.15 0.10 0.05 0.0250.010 0.005 0.001k0 1.32 2.07 2.70 3.84 8.02 6.63 7.87 10.82K2=非重度污染 重度污染 合计供暖季非供暖季合计 10019 （12 分）如图 1，矩形 ABCD 中，AB=12 ，AD=6，E、F 分别为 CD、AB 边上的点，且 DE=3，BF=4，将BCE 沿 BE 折起至PBE 位置（如图 2 所示） ，连结AP、PF，其中 PF=2 （1）求证：PF平面 ABED；（2）求点 A 到平面 PBE 的距离20 （12 分）已知椭圆 C： 的离心率为 ，且过点A（2 ，1 ） （） 求椭圆
8、C 的方程；（） 若 P， Q 是椭圆 C 上的两个动点，且使PAQ 的角平分线总垂直于 x 轴，试判断直线 PQ 的斜率是否为定值？若是，求出该值；若不是，说明理由21 （12 分）已知函数 f（ x）=x 2（a 2）x alnx（aR ） （）求函数 y=f（x）的单调区间；（）当 a=1 时，证明：对任意的 x0，f（x）+e xx 2+x+2（二）选考题：共 10 分请考生在第 22、23 题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题计分答题时请写清题号并将相应信息点涂黑选修 4-4 参数方程与极坐标系22 （10 分）在直角坐标系中，直线的参数方程为 （t 为参数）在以坐标原点为极点
9、，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C： =2 （） 求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；（） 求曲线上的点到直线的距离的最大值选修 4-5：不等式选讲23已知函数 f（x ）=|x+ a1|+|x2a|（1）若 f（1）3，求实数 a 的取值范围；（2）若 a1，xR，求证： f（x ）22018 年广东省东莞市高考数学二调试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1 （5 分）已知 A=1，2，4，8，16，B=y |y=log2x，xA，则 AB=（ ）A1 ，2 B2，4，8 C1，2
10、，4 D1，2，4，8【解答】解：A=1，2，4，8，16，B=y|y=log 2x，xA=0 ，1，2，3 ，4，AB=1，2，4故选：C2 （5 分）若复数 z 满足（ 1+2i）z=（1i） ，则|z|=（ ）A B C D【解答】解：由（1+2i）z=（1 i） ，得 = ，则|z|= 故选：C3 （5 分）已知 sincos= ，则 sin2=（ ）A B C D【解答】解：sin cos= ，（sincos ） 2=12sincos=1sin2= ，sin2= ，故选：A4 （5 分）直线 l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到 l 的距离为其短轴长的 ，则该椭圆的离心率为
11、（ ）A B C D【解答】解：设椭圆的方程为： ，直线 l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，则直线方程为： ，椭圆中心到 l 的距离为其短轴长的 ，可得： ，4=b2（ ） ， ，=3，e= = 故选：B5 （5 分）在ABC 中， B= ，BC 边上的高等于 BC，则 sinA=（ ）A B C D【解答】解：在ABC 中，B= ，BC 边上的高等于 BC，AB= BC，由余弦定理得：AC= = = BC，故 BC BC= ABACsinA= BC BCsinA，sinA= ，故选：D6 （5 分）已知 ，则 z=22x+y 的最小值是（ ）A1 B16 C8 D4【解答】解：作出不等式组对
12、应的平面区域如图，设 m=2x+y，则得 y=2x+m，平移直线 y=2x+m，由图象可知当直线 y=2x+m 经过点 A 时，直线的截距最小，此时 m 最小，z 也最小，由 ，解得 ，得 A（1，1）此时 m=21+1=3，z=2 2x+y=z=23=8，故选：C7 （5 分）执行如图所示的程序框图，则输出的结果为（ ）A7 B9 C10 D11【解答】解：模拟程序的运行，可得：，否；，否；，否；，否；，是，输出 i=9，故选：B8 （5 分）设函数 f（x ） =x3+ax2，若曲线 y=f（x ）在点 P（x 0，f（x 0） ）处的切线方程为 x+y=0，则点 P 的坐标为（ ）A （
13、0 ，0 ） B （1，1） C （ 1，1） D （1， 1）或（1，1）【解答】解：f（x）=x 3+ax2，f（x）=3x 2+2ax，函数在点（x 0，f（x 0） ）处的切线方程为 x+y=0，3x 02+2ax0=1，x 0+x03+ax02=0，解得 x0=1当 x0=1 时，f（x 0）= 1，当 x0=1 时，f（x 0）=1故选：D9 （5 分）在正四棱锥 PABCD 中，PA=2，直线 PA 与平面 ABCD 所成角为 60，E 为 PC 的中点，则异面直线 PA 与 BE 所成角为（ ）A90 B60 C45 D30【解答】解：连接 AC，BD 交于点 O，连接 OE，
14、OP因为 E 为 PC 中点，所以 OEPA，所以OEB 即为异面直线 PA 与 BE 所成的角因为四棱锥 PABCD 为正四棱锥，所以 PO平面 ABCD，所以 AO 为 PA 在面 ABCD 内的射影，所以PAO 即为 PA 与面 ABCD 所成的角，即PAO=60，因为 PA=2，所以 OA=OB=1，OE=1所以在直角三角形 EOB 中OEB=45，即面直线 PA 与 BE 所成的角为 45故选：C10 （5 分）已知函数 f（ x）=sinx +cosx（ R）的图象关于 x= 对称，则把函数 f（x）的图象上每个点的横坐标扩大到原来的 2 倍，再向右平移 ，得到函数 g（ x）的图
15、象，则函数 g（x）的一条对称轴方程为（ ）Ax= Bx= Cx= Dx=【解答】解：根据函数 f（x ）=sinx +cosx（ R）的图象关于 x= 对称，可得，可得 =1，所以 把 f（x）的图象横坐标扩大到原来的 2 倍，可得 y= sin（ x ）的图象，再向右平移 ，得到函数 g（x）= sin （x ） = sin（ x ）的图象，即 g（ x）= sin（ ） ，令 =k+ ，求得 x=2k+ ，k Z，故函数 g（x）的图象的对称轴方程为 x=2k+ ，kZ当 k=0 时，对称轴的方程为 ，故选：D11 （5 分）函数 y=2x2e|x|在 2，2的图象大致为（ ）A B C
16、D【解答】解：f（x）=y=2x 2e|x|，f（ x）=2（x） 2e|x|=2x2e|x|，故函数为偶函数，当 x=2 时，y=8 e2（0，1） ，故排除 A，B ； 当 x0，2时，f（x）=y=2x 2ex，f（x）=4xe x=0 有解，故函数 y=2x2e|x|在0，2不是单调的，故排除 C，故选：D12 （5 分）已知函数 f（ x）=xsinx+cosx+x 2，则不等式的解集为（ ）A （e ，+） B （0，e） C D【解答】解：函数 f（x） =xsinx+cosx+x2 的导数为：f（x ）=sinx+xcosx sinx+2x=x（2+cosx） ，则 x0 时，
17、f（x ）0，f（x ）递增，且 f（x ）=xsinx+cos（x） +（ x） 2=f（x） ，则为偶函数，即有 f（x） =f（|x|） ，则不等式 ，即为 f（lnx）f（1）即为 f（ |lnx|）f（1） ，则|lnx|1，即1lnx 1，解得， x e 故选：D二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分13 （5 分）设向量 =（x，x+1） ， =（1，2） ，且 ，则 x= 【解答】解： ； ；即 x+2（x +1）=0； 故答案为： 14 （5 分）在各项都为正数的等比数列a n中，已知 a1=2， ，则数列a n的通项公式 an= 【解答】解：设等比数列a
18、 n的公比为 q0，a 1=2， ， + =4 ，化为：q 44q2+4=0，解得 q2=2，q0，解得 q= 则数列a n的通项公式 an= = 故答案为： 15 （5 分）已知|x|2，|y|2，点 P 的坐标为（x，y） ，当 x，yR 时，点 P满足（x2） 2+（y2） 24 的概率为 【解答】解：如图，点 P 所在的区域为正方形 ABCD 及其内部满足（x2） 2+（y2） 24 的点位于的区域是以 C（ 2，2）为圆心，半径等于 2 的圆及其内部P 满足（ x2） 2+（y2） 24 的概率为P1= = = 故答案为：16 （5 分）已知函数 ，其中 m0，若存在实数b，使得关于
19、 x 的方程 f（x ）=b 有三个不同的零点，则 m 的取值范围是 （3，+） 【解答】解：当 m0 时，函数 的图象如下：xm 时， f（x）=x 22mx+4m=（x m） 2+4mm24m m2，y 要使得关于 x 的方程 f（x）=b 有三个不同的根，必须 4mm2m（m 0 ） ，即 m23m（m0） ，解得 m3，m 的取值范围是（3，+） ，故答案为：（3，+） 三解答题：共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤第1721 题为必考题，每个考生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题：共 60 分17 （12 分）已知数列a n的前 n
20、项和为 Sn，且 Sn=2an2（n N*） （）求数列a n的通项公式；（） 求数列S n的前 n 项和 Tn【解答】解：（）列a n的前 n 项和为 Sn，且 Sn=2an2则：S n+1=2an+12，得：a n+1=2an，即： （常数） ，当 n=1 时，a 1=S1=2a12，解得：a 1=2，所以数列的通项公式为： ，（）由于： ，则： ，= ，=2n+12222，=2n+242n18 （12 分）某城市随机抽取一年（365 天）内 100 天的空气质量指数 API 的监测数据，结果统计如下：API 0，50（50 ，100（100，150（150，200（200，250（250
21、，300300空气质量优 良 轻微污染 轻度污染 中度污染 中度重污染重度污染天数 4 13 18 30 9 11 15记某企业每天由空气污染造成的经济损失 S（单位：元） ，空气质量指数 API 为在区间0，100对企业没有造成经济损失；在区间（ 100，300对企业造成经济损失成直线模型（当 API 为 150 时造成的 经济损失为 500 元，当 API 为200 时，造成的经济损失为 700 元） ；当 API 大于 300 时造成的 经济损失为2000 元；（1）试写出是 S（ ）的表达式：（2）试估计在本年内随机抽取一天，该天经济损失 S 大于 200 元且不超过 600元的概率；
22、（3）若本次抽取的样本数据有 30 天是在供暖季，其中有 8 天为重度污染，完成下面 22 列联表，并判断能否有 95%的把握认为该市本年空气重度污染与供暖有关？附：P（ K2k0）0.25 0.15 0.10 0.05 0.0250.0100.0050.001k0 1.32 2.07 2.70 3.84 8.02 6.63 7.87 10.82K2=非重度污染 重度污染 合计供暖季非供暖季合计 100【解答】解：（1）根据在区间0，100对企业没有造成经济损失；在区间（100， 300对企业造成经济损失成直线模型（当 API 为 150 时造成的经济损失为 500 元，当 API 为 200
23、 时，造成的经济损失为 700 元） ；当 API 大于 300 时造成的经济损失为 2000 元，可得 S（ ）= ；（2）设“在本年内随机抽取一天，该天经济损失 S 大于 200 元且不超过 600 元”为事件 A；由 200S600，得 100175，频数为 33，P（A）= ；（2）根据以上数据得到如表：非重度污染重度污染合计供暖季 22 8 30非供暖季63 7 70合计 85 15 100K2 的观测值 K2= 4.575 3.841所以有 95%的把握认为空气重度污染与供暖有关19 （12 分）如图 1，矩形 ABCD 中，AB=12 ，AD=6，E、F 分别为 CD、AB 边上
24、的点，且 DE=3，BF=4，将BCE 沿 BE 折起至PBE 位置（如图 2 所示） ，连结AP、PF，其中 PF=2 （1）求证：PF平面 ABED；（2）求点 A 到平面 PBE 的距离【解答】解：（1）连结 EF，由翻折不变性可知，PB=BC=6，PE=CE=9 ，在PBF 中， PF2+BF2=20+16=36=PB2，所以 PFBF（2 分）在图 1 中，利用勾股定理，得 EF= = ，在PEF 中，EF 2+PF2=61+20=81=PE2，PF EF（4 分）又BFEF=F，BF平面 ABED，EF平面 ABED，PF 平面 ABED（6 分）（2）解：由（1）知 PF平面 A
25、BED，PF 为三棱锥 PABE 的高（8 分）设点 A 到平面 PBE 的距离为 h，由等体积法得 VAPBE=VPABE，（10 分）即h= ，即点 A 到平面 PBE 的距离为 （14 分）20 （12 分）已知椭圆 C： 的离心率为 ，且过点A（2 ，1 ） （） 求椭圆 C 的方程；（） 若 P， Q 是椭圆 C 上的两个动点，且使PAQ 的角平分线总垂直于 x 轴，试判断直线 PQ 的斜率是否为定值？若是，求出该值；若不是，说明理由【解答】解：（） 因为椭圆 C 的离心率为 ，且过点 A（2，1） ，所以 ， （2 分）因为 a2=b2+c2，解得 a2=8，b 2=2， （3 分
26、）所以椭圆 C 的方程为 （4 分）（）解法一：因为PAQ 的角平分线总垂直于 x 轴，所以 PA 与 AQ 所在直线关于直线 x=2 对称设直线 PA 的斜率为 k，则直线 AQ 的斜率为 k（5 分）所以直线 PA 的方程为 y1=k（x2） ，直线 AQ 的方程为 y1=k（x2） 设点 P（x P，y P） ，Q（x Q，y Q） ，由 ，消去 y，得（1+4k 2）x 2（16k 28k）x +16k216k4=0因为点 A（2，1）在椭圆 C 上，所以 x=2 是方程的一个根，则，（6 分）所以 （7 分）同理 （8 分）所以 （9 分）又 （10 分）所以直线 PQ 的斜率为 （
27、11 分）所以直线 PQ 的斜率为定值，该值为 （12 分）解法二：设点 P（x 1，y 1） ，Q （x 2，y 2） ，则直线 PA 的斜率 ，直线 QA 的斜率 因为PAQ 的角平分线总垂直于 x 轴，所以 PA 与 AQ 所在直线关于直线 x=2 对称所以 kPA=kQA，即 ，（5 分）因为点 P（x 1，y 1） ，Q（x 2，y 2）在椭圆 C 上，所以 ， 由得 ，得 ，（6 分）同理由得 ，（7 分）由得 ，化简得 x1y2+x2y1+（x 1+x2）+2（y 1+y2）+4=0，（8 分）由得 x1y2+x2y1（x 1+x2）2（y 1+y2）+4=0，（9 分）得 x1
28、+x2=2（y 1+y2） （10 分）得 ，得 （11 分）所以直线 PQ 的斜率为 为定值（ 12 分）解法三：设直线 PQ 的方程为 y=kx+b，点 P（x 1，y 1） ，Q（x 2，y 2） ，则 y1=kx1+b，y 2=kx2+b，直线 PA 的斜率 ，直线 QA 的斜率 （5 分）因为PAQ 的角平分线总垂直于 x 轴，所以 PA 与 AQ 所在直线关于直线 x=2 对称所以 kPA=kQA，即 = ，（6 分）化简得 x1y2+x2y1（x 1+x2）2（y 1+y2）+4=0把 y1=kx1+b，y 2=kx2+b 代入上式，并化简得 2kx1x2+（b1 2k） （x
29、1+x2）4b+4=0 （*） （7 分）由 ，消去 y 得（4k 2+1）x 2+8kbx+4b28=0， （*）则 ，（8 分）代入（*）得 ，（9 分）整理得（2k1 ） （b +2k1）=0，所以 或 b=12k （10 分）若 b=12k，可得方程（*）的一个根为 2，不合题意（11 分）若 时，合题意所以直线 PQ 的斜率为定值，该值为 （12 分）21 （12 分）已知函数 f（ x）=x 2（a 2）x alnx（aR ） （）求函数 y=f（x）的单调区间；（）当 a=1 时，证明：对任意的 x0，f（x）+e xx 2+x+2【解答】解：（）函数 f（x ）的定义域是（0，
30、 +） ，f（x ）=2x（a2） = （2 分）当 a0 时，f（x）0 对任意 x（0，+）恒成立，所以，函数 f（x）在区间（ 0，+）单调递增； （4 分）当 a0 时，由 f（x）0 得 x ，由 f（x）0，得 0x ，所以，函数在区间（ ，+）上单调递增，在区间（0， ）上单调递减；（）当 a=1 时，f（x）=x 2+xlnx，要证明 f（x ）+e xx 2+x+2，只需证明 exlnx20，设 g（x）=e xlnx2，则问题转化为证明对任意的 x0，g（x ）0，令 g（x）=e x =0，得 ex= ，容易知道该方程有唯一解，不妨设为 x0，则 x0 满足 ex0= ，
31、当 x 变化时，g （x）和 g（x ）变化情况如下表x （0，x 0） x0 （x 0，）g（x ） 0 +g（x） 递减 递增g（ x） min=g（x 0）=e x0lnx02= +x02，因为 x00，且 x01，所以 g（x） min2 2=0，因此不等式得证（二）选考题：共 10 分请考生在第 22、23 题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题计分答题时请写清题号并将相应信息点涂黑选修 4-4 参数方程与极坐标系22 （10 分）在直角坐标系中，直线的参数方程为 （t 为参数）在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C： =2 （） 求直线的普通方程和曲线的直角
32、坐标方程；（） 求曲线上的点到直线的距离的最大值【解答】解：（）直线的参数方程为 （t 为参数） ，转化为：x+y4=0曲线 C：=2 转化为：x 2+y2=2x+2y，即：x 2+y22x2y=0（）圆的方程 x2+y22x2y=0，转化为标准式为：（x1） 2+（y 1） 2=2，则：圆心（1，1）到直线的距离 d= ，所以：曲线上的点到直线的最大距离为： 选修 4-5：不等式选讲23已知函数 f（x ）=|x+ a1|+|x2a|（1）若 f（1）3，求实数 a 的取值范围；（2）若 a1，xR，求证： f（x ）2【解答】解：（1）因为 f（1）3，所以|a|+|12a|3当 a0 时，得a+（1 2a）3，解得 a ，所以 a0； 当 0a 时，得 a+（12a）3，解得 a2 ，所以 0a ； 当 a 时，得 a（12a）3，解得 a ，所以 a ； 综上所述，实数 a 的取值范围是（ ， ） （2）因为 a1，xR，所以 f（ x）=|x+a1|+|x2a|（x+a1）（x2a）| =|3a1|=3a12
