1、2018 年广东省茂名市化州市高考数学二模试卷（文科）一、选择题（共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分）1 （5 分）设集合 A=1，0，1，B=x|x0，x A，则 B=（ ）A 1，0 B1 C 0，1 D12 （5 分）设复数 z=1+i， （ i 是虚数单位） ，则 z2+ =（ ）A 1i B1+i C1+i D1 i3 （5 分）若角 终边经过点 P（sin ） ，则 sin=（ ）A B C D4 （5 分）已知双曲线的一个焦点与抛物线 x2=20y 的焦点重合，且其渐近线方程为 3x4y=0，则该双曲线的标准方程为（ ）A =1 B =1 C D =15 （5 分）实
2、数 x，y 满足条件 ，则（ ） xy 的最大值为（ ）A B C1 D26 （5 分）设 a=log ，b= （ ） ，c= （ ） ，则 a，b，c 的大小关系是（ ）Aa b c Bcba Cb c a Dcab7 （5 分）公元 263 年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值 3.14，这就是著名的“徽率”如图是利用刘徽的“ 割圆术” 思想设计的一个程序框图，则输出 n 的值为（参考数据：sin15=0.2588， sin7.5=0.1305） （ ）A16 B
3、20 C24 D488 （5 分）函数 f（x ）= 的部分图象大致为（ ）A B CD9 （5 分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积的是（ ） A7 B C D10 （5 分）已知函数 ，则“函数 f（x ）有两个零点”成立的充分不必要条件是 a（ ）A （0 ，2 B （1，2 C （1，2） D （0，111 （5 分）已知 F1，F 2 是双曲线 =1（a0 ，b0）的左，右焦点，过F1 的直线 l 与双曲线的左右两支分别交于点 A，B，若ABF 2 为等边三角形，则双曲线的离心率为（ ）A B4 C D12 （5 分）定义域为 R 的函数 f（x）满足 f（x +2）=2
4、f （x ） ，当 x0，2）时，f（x）= ，若 x4，2）时，f （x） 恒成立，则实数 t 的取值范围是（ ）A 2，0）（0，1 ） B 2，0）1，+） C 2，1 D （，2（0，1二、填空题（共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分）13 （5 分）平面向量 与 的夹角为 60， =（2，0） ，| |=1，则| +2 |= 14 （5 分）如图，正方形 ABCD 内的图形来自宝马汽车车标的里面部分，正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形对边中点连线成轴对称，在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是 15 （5 分）已知 a，b，c 分别是ABC 内角 A，B，
5、C 的对边，a=4，b=5，c=6 ，则 = 16 （5 分）已知球 O 的正三棱锥（底面为正三角形，顶点在底面的射影为底面中心）ABCD 的外接球， BC=3，AB=2 ，点 E 在线段 BD 上，且 BD=3BE，过点E 作球 O 的截面，则所得的截面中面积最小的截面圆的面积是 三、解答题（共 5 小题，满分 60 分）17 （12 分）设数列a n满足： a1=1，点 均在直线 y=2x+1上（1）证明数列a n+1等比数列，并求出数列 an的通项公式；（2）若 bn=log2（a n+1） ，求数列 （a n+1）b n的前 n 项和 Tn18 （12 分）某同学在生物研究性学习中，对
6、春季昼夜温差大小与黄豆种子发芽多少之间的关系进行研究，于是他在 4 月份的 30 天中随机挑选了 5 天进行研究，且分别记录了每天昼夜温差与每天每 100 颗种子浸泡后的发芽数，得到如下资料：日期 4 月 1 日 4 月 7 日 4 月 15 日 4 月 21 日 4 月 30 日温差 x/ 10 11 13 12 8发芽数 y/颗 23 25 30 26 16（1）从这 5 天中任选 2 天，求这 2 天发芽的种子数均不小于 25 的概率；（2）从这 5 天中任选 2 天，若选取的是 4 月 1 日与 4 月 30 日的两组数据，请根据这 5 天中的另三天的数据，求出 y 关于 x 的线性回
7、归方程 = x+ ；（3）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过 2颗，则认为得到的线性回归方程是可靠的，试问（2）中所得的线性回归方程是否可靠？附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为= ， = 19 （12 分）如图，在三棱锥 PABC 中，PA AC ， PCBC，M 为 PB 的中点，D为 AB 的中点，且AMB 为正三角形（1）求证：BC平面 PAC（2）若 PA=2BC，三棱锥 PABC 的体积为 1，求点 B 到平面 DCM 的距离20 （12 分）如图，已知椭圆 C： ，其左右焦点为 F1（ 1，0）及F2（1 ，0） ，过点 F1 的直线交椭圆
8、 C 于 A，B 两点，线段 AB 的中点为 G，AB 的中垂线与 x 轴和 y 轴分别交于 D，E 两点，且|AF 1|、|F 1F2|、|AF 2|构成等差数列（1）求椭圆 C 的方程；（2）记GF 1D 的面积为 S1，OED （O 为原点）的面积为 S2试问：是否存在直线 AB，使得 S1=S2？说明理由21 （12 分）已知 ， 是方程 4x24tx1=0（tR ）的两个不等实根，函数 f（x）= 的定义域为 ，（1）当 t=0 时，求函数 f（x ）的最值（2）试判断函数 f（x）在区间 ，的单调性（3）设 g（t）=f（x） maxf（x） min，试证明：2（ 1）请考生在 2
9、2,23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做第一题计分选修44：坐标系与参数方程 22 （10 分）在平面直角坐标系中，直线 l 的参数方程为 （t 为参数） ，以原点 O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆 C 的极坐标方程为=asin（a 0） （）求圆 C 的直角坐标系方程与直线 l 的普通方程；（）设直线 l 截圆 C 的弦长等于圆 C 的半径长的 倍，求 a 的值选修 4-5：不等式证明23已知函数 f（x ）=|x+ 1|，g（x ）=2|x|+a（1）当 a=0 时，求不等式 f（x）g（x）的解集（2）若存在实数 x，使得 g（x ）f（x）成立，求实数 a 的取值
10、范围2018 年广东省茂名市化州市高考数学二模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分）1 （5 分）设集合 A=1，0，1，B=x|x0，x A，则 B=（ ）A 1，0 B1 C 0，1 D1【解答】解：A=1，0，1，B= x|x0，x A，则 AB=B，即1，0，1 x|x0= 1故选：D2 （5 分）设复数 z=1+i， （ i 是虚数单位） ，则 z2+ =（ ）A 1i B1+i C1+i D1 i【解答】解：z 2+ = =2i+ =2i+1i=1+i故选：C3 （5 分）若角 终边经过点 P（sin ） ，则 sin=（ ）A
11、B C D【解答】解：角 终边经过点 P（sin ） ，即点 P（ ， ） ，x= ，y= ，r=|OP|=1，则 sin= =y= ，故选：C4 （5 分）已知双曲线的一个焦点与抛物线 x2=20y 的焦点重合，且其渐近线方程为 3x4y=0，则该双曲线的标准方程为（ ）A =1 B =1 C D =1【解答】解：抛物线 x2=20y 中，2p=20 ， =5，抛物线的焦点为 F（0， 5） ，设双曲线的方程为 =1，双曲线的一个焦点为 F（0 ，5） ，且渐近线的方程为 3x4y=0 即 y= x， ，解得 a=3，b=4（舍负） ，可得该双曲线的标准方程为： =1 故选：B5 （5 分）
12、实数 x，y 满足条件 ，则（ ） xy 的最大值为（ ）A B C1 D2【解答】解：画出可行域令 z=xy，变形为 y=xz，作出对应的直线，将直线平移至点（4，0）时，直线纵截距最小，z 最大，将直线平移至点（0，1）时，直线纵截距最大，z 最小，将（0，1）代入 z=xy 得到 z 的最小值为 1，则（ ） xy 的最大值是 2，故选：D6 （5 分）设 a=log ，b= （ ） ，c= （ ） ，则 a，b，c 的大小关系是（ ）Aa b c Bcba Cb c a Dcab【解答】解：a=log =log231，1b=（ ） = c=（ ） = ，则 c ba ，故选：B7 （5
13、 分）公元 263 年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值 3.14，这就是著名的“徽率”如图是利用刘徽的“ 割圆术” 思想设计的一个程序框图，则输出 n 的值为（参考数据：sin15=0.2588， sin7.5=0.1305） （ ）A16 B20 C24 D48【解答】解：模拟执行程序，可得：n=6，S=3sin60= ，不满足条件 S3.10，n=12 ，S=6sin30=3，不满足条件 S3.10，n=24 ，S=12sin15=120.2588=3.1056
14、，满足条件 S3.10，退出循环，输出 n 的值为 24故选：C8 （5 分）函数 f（x ）= 的部分图象大致为（ ）A B CD【解答】解：函数 f（x） = = ，当 x=0 时，可得 f（0）=0，f （x）图象过原点，排除 A当 x0 时；sin2x0，而|x +1|0，f（x）图象在上方，排除 C当 x1，x 1 时，sin（ 2）0，|x +1|0，那么 f（x ） ，当 x= 时， sin2x= ，y= = ，对应点在第二象限，排除 D，B 满足题意故选：B9 （5 分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积的是（ ） A7 B C D【解答】解：由三视图可知该几何体的直
15、观图是正方体去掉一个三棱锥，正方体的边长为 2，三棱锥的三个侧棱长为 1，则该几何体的体积 V= =8 = ，故选：D10 （5 分）已知函数 ，则“函数 f（x ）有两个零点”成立的充分不必要条件是 a（ ）A （0 ，2 B （1，2 C （1，2） D （0，1【解答】解：函数 ，则“函数 f（x）有两个零点”2a0，1+a0，解得 1a2“函数 f（x）有两个零点”成立的充分不必要条件是 a（1，2） 故选：C11 （5 分）已知 F1，F 2 是双曲线 =1（a0 ，b0）的左，右焦点，过F1 的直线 l 与双曲线的左右两支分别交于点 A，B，若ABF 2 为等边三角形，则双曲线的离
16、心率为（ ）A B4 C D【解答】解：因为ABF 2 为等边三角形，不妨设 AB=BF2=AF2=m，A 为双曲线上一点，F 1AF2A=F1AAB=F1B=2a，B 为双曲线上一点，则 BF2BF1=2a，BF 2=4a，F 1F2=2c，由ABF 2=60，则F 1BF2=120，在F 1BF2 中应用余弦定理得： 4c2=4a2+16a222a4acos120，得 c2=7a2，则 e2=7e= 故选：A12 （5 分）定义域为 R 的函数 f（x）满足 f（x +2）=2f （x ） ，当 x0，2）时，f（x）= ，若 x4，2）时，f （x） 恒成立，则实数 t 的取值范围是（
17、）A 2，0）（0，1 ） B 2，0）1，+） C 2，1 D （，2（0，1【解答】解：当 x0，1）时，f（x）=x 2x ，0当 x1，2）时，f（x）= （0.5） |x1.5|1， 当 x0，2）时，f（x）的最小值为 1又函数 f（x）满足 f（x+2）=2f（x） ，当 x2，0）时， f（x）的最小值为当 x4，2 ）时，f（x）的最小值为若 x4，2 ）时， 恒成立，即即 4t（ t+2） （ t1）0 且 t0解得：t（ ，2（0，l故选：D二、填空题（共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分）13 （5 分）平面向量 与 的夹角为 60， =（2，0） ，| |=1
18、，则| +2 |= 2【解答】解：由题意得，| |=2，| |=1，向量 与 的夹角为 60， =21cos60=1，| +2 |=2 故答案为：2 14 （5 分）如图，正方形 ABCD 内的图形来自宝马汽车车标的里面部分，正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形对边中点连线成轴对称，在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是 【解答】解：设正方形边长为 2，则正方形面积为 4，正方形内切圆中的黑色部分的面积 S= 12= 在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是 P= 故答案为： 15 （5 分）已知 a，b，c 分别是ABC 内角 A，B，C 的对边，a=4，b=5，c
19、=6 ，则 = 1 【解答】解：ABC 中，a=4，b=5，c=6，cosC= = ，cosA= = ，sinC= ，sinA= ， = = =1故答案为：116 （5 分）已知球 O 的正三棱锥（底面为正三角形，顶点在底面的射影为底面中心）ABCD 的外接球， BC=3，AB=2 ，点 E 在线段 BD 上，且 BD=3BE，过点E 作球 O 的截面，则所得的截面中面积最小的截面圆的面积是 2 【解答】解：如图，设BDC 的中心为 O1，球 O 的半径为 R，连接 O1D，OD，O 1E，OE，则 O1D=3sin60 = ，AO 1= =3，在 RtOO 1D 中，R 2=3+（3R） 2
20、，解得 R=2，BD=3BE， DE=2，在DEO 1 中，O 1E= =1，OE= = ，过点 E 作圆 O 的截面，当截面与 OE 垂直时，截面的面积最小，此时截面圆的半径为 = ，最小面积为 2故答案为：2三、解答题（共 5 小题，满分 60 分）17 （12 分）设数列a n满足： a1=1，点 均在直线 y=2x+1上（1）证明数列a n+1等比数列，并求出数列 an的通项公式；（2）若 bn=log2（a n+1） ，求数列 （a n+1）b n的前 n 项和 Tn【解答】 （1）证明：点 均在直线 y=2x+1 上，a n+1=2an+1，变形为：a n+1+1=2（a n+1）
21、 ，又 a1+1=2数列a n+1等比数列，首项与公比都为 2a n+1=2n，解得 an=2n1（2）解：b n=log2（a n+1） =n，（a n+1）b n=n2n数列（a n+1）b n的前 n 项和 Tn=2+222+323+n2n，2Tn=22+223+（n1）2 n+n2n+1，相减可得：T n=2+22+2nn2n+1= n2n+1，T n=（n1）2 n+1+218 （12 分）某同学在生物研究性学习中，对春季昼夜温差大小与黄豆种子发芽多少之间的关系进行研究，于是他在 4 月份的 30 天中随机挑选了 5 天进行研究，且分别记录了每天昼夜温差与每天每 100 颗种子浸泡后
22、的发芽数，得到如下资料：日期 4 月 1 日 4 月 7 日 4 月 15 日 4 月 21 日 4 月 30 日温差 x/ 10 11 13 12 8发芽数 y/颗 23 25 30 26 16（1）从这 5 天中任选 2 天，求这 2 天发芽的种子数均不小于 25 的概率；（2）从这 5 天中任选 2 天，若选取的是 4 月 1 日与 4 月 30 日的两组数据，请根据这 5 天中的另三天的数据，求出 y 关于 x 的线性回归方程 = x+ ；（3）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过 2颗，则认为得到的线性回归方程是可靠的，试问（2）中所得的线性回归方程是否可靠
23、？附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为= ， = 【解答】解：（1）由题意，m、n 的所有取值范围有：（23，25 ） ， （23 ，30） ， （23，26 ） ， （23，16） ， （25 ，30） ，（25，26 ） ， （25 ，16） ， （30，26 ） ， （30，16） ， （26 ，16）共有 10 个；设“m、 n 均不小于 25“为事件 A，则事件 A 包含的基本事件有（25，30 ） ， （25 ，26） ， （30，26 ） ，所以 P（A ）= ，故事件 A 的概率为 ；（2）由数据得 =12， =27， =972，3 =432；又 xiyi=977，
24、 =432；= = ，=27 12=3；所以 y 关于 x 的线性回归方程为= x3（3）当 x=10 时， = 103=22，|2223|2，当 x=8 时， = 83=17，|1716|2所得到的线性回归方程是可靠的19 （12 分）如图，在三棱锥 PABC 中，PA AC ， PCBC，M 为 PB 的中点，D为 AB 的中点，且AMB 为正三角形（1）求证：BC平面 PAC（2）若 PA=2BC，三棱锥 PABC 的体积为 1，求点 B 到平面 DCM 的距离【解答】解：（1）证明：在正AMB 中，D 是 AB 的中点，所以MDAB（1 分）因为 M 是 PB 的中点，D 是 AB 的
25、中点，所以 MDPA，故 PAAB（2 分）又 PA AC，ABAC=A，AB，AC 平面 ABC，MCBPAD所以 PA平面 ABC（4 分）因为 BC平面 ABC，所以 PABC（5 分）又 PCBC，PAPC=P，PA ，PC平面 PAC，所以 BC平面 PAC（6 分）（2）设 AB=x，则三棱锥 PABC 的体积为 ，得 x=2（8 分）设点 B 到平面 DCM 的距离为 h 因为AMB 为正三角形，所以 AB=MB=2因为 ，所以 AC=1所以 因为 ，由（1）知 MDPA ，所以 MDDC在ABC 中， ，所以 因为 VMBCD=VBMCD，（10 分）所以 ，即 所以 故点 B
26、 到平面 DCM 的距离为 （12 分）20 （12 分）如图，已知椭圆 C： ，其左右焦点为 F1（ 1，0）及F2（1 ，0） ，过点 F1 的直线交椭圆 C 于 A，B 两点，线段 AB 的中点为 G，AB 的中垂线与 x 轴和 y 轴分别交于 D，E 两点，且|AF 1|、|F 1F2|、|AF 2|构成等差数列（1）求椭圆 C 的方程；（2）记GF 1D 的面积为 S1，OED （O 为原点）的面积为 S2试问：是否存在直线 AB，使得 S1=S2？说明理由【解答】解：（1）因为|AF 1|、|F 1F2|、|AF 2|构成等差数列，所以 2a=|AF1|+|AF2|=2|F1F2|
27、=4，所以 a=2（2 分）又因为 c=1，所以 b2=3，（3 分）所以椭圆 C 的方程为 （4 分）（2）假设存在直线 AB，使得 S1=S2，显然直线 AB 不能与 x，y 轴垂直设 AB 方程为 y=k（x+1） （5 分）将其代入 ，整理得 （4k 2+3）x 2+8k2x+4k212=0（6 分）设 A（x 1，y 1） ，B（x 2，y 2） ，所以 故点 G 的横坐标为 所以 G（ ， ） （8 分）因为 DGAB ，所以 k=1，解得 xD= ，即 D（ ，0 ）（10 分）RtGDF 1 和Rt ODE 1 相似，若 S1=S2，则|GD|=|OD|（11 分）所以 ，（1
28、2 分）整理得 8k2+9=0 （13 分）因为此方程无解，所以不存在直线 AB，使得 S1=S2（14 分）21 （12 分）已知 ， 是方程 4x24tx1=0（tR ）的两个不等实根，函数 f（x）= 的定义域为 ，（1）当 t=0 时，求函数 f（x ）的最值（2）试判断函数 f（x）在区间 ，的单调性（3）设 g（t）=f（x） maxf（x） min，试证明：2（ 1）【解答】解：（1）当 t=0 时，方程 4x21=0 的两实根为 （1 分），（2 分）当 时，f（x）0，f（x）在 为单调递增函数，f（x）的最小值为 ，f（x）的最大值为 ；（3 分）（2） （5 分）由题知：
29、x ，时 4x24tx10，所以 f（x ） 0，f（x）在区间，为单调递增函数； （7 分）（3）由（2）知，又由题得： ， ， （10 分） （12 分）请考生在 22,23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做第一题计分选修44：坐标系与参数方程 22 （10 分）在平面直角坐标系中，直线 l 的参数方程为 （t 为参数） ，以原点 O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆 C 的极坐标方程为=asin（a 0） （）求圆 C 的直角坐标系方程与直线 l 的普通方程；（）设直线 l 截圆 C 的弦长等于圆 C 的半径长的 倍，求 a 的值【解答】解：（）直线 l 的参数方程为 （
30、t 为参数） ，消去参数 t，可得：4x+3y8=0；由圆 C 的极坐标方程为 =asin（a0） ，可得 2=asin，根据sin=y， 2=x2+y2可得圆 C 的直角坐标系方程为：x 2+y2ay=0，即 （）由（）可知圆 C 的圆心为（0， ）半径 r= ，直线方程为 4x+3y8=0；那么：圆心到直线的距离 d= =直线 l 截圆 C 的弦长为 =2解得：a=32 或 a=故得直线 l 截圆 C 的弦长等于圆 C 的半径长的 倍时 a 的值为 32 或 选修 4-5：不等式证明23已知函数 f（x ）=|x+ 1|，g（x ）=2|x|+a（1）当 a=0 时，求不等式 f（x）g（x）的解集（2）若存在实数 x，使得 g（x ）f（x）成立，求实数 a 的取值范围【解答】解：（1）当 a=0 时，由 f（x）g（x）得 |x+1|2|x|，两边平方整理得 3x22x10，解得所以原不等式的解集为 （4 分）（2）由 g（x）f （x ）得 a|x+1|2|x|，令 h（x）=|x+1|2 |x|，则 ，作出函数的图象，得 h（x） max=h（0）=1从而实数 a 的取值范围为（，1（10 分）
