1、2018 年广东省茂名市高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的.1 （5 分）若集合 A=x|1x3，B=1，0，1， 2，则 AB=（ ）A 1，0，1 ，2 B x|1x3 C0，1 ，2 D1，0，12 （5 分）已知复数 z 满足 zi=2+i，i 是虚数单位，则|z|= （ ）A B C2 D3 （5 分）在 1，2，3，6 这组数据中随机取出三个数，则数字 2 是这三个不同数字的平均数的概率是（ ）A B C D4 （5 分）已知变量 x，y 满足约束条件 则 z=3x+y 的最
2、小值为（ ）A11 B12 C8 D35 （5 分）设等差数列a n的前 n 项和为 Sn，若 a2+a8=10，则 S9=（ ）A20 B35 C45 D906 （5 分）已知抛物线 y2=8x 的准线与 x 轴交于点 D，与双曲线 交于A，B 两点，点 F 为抛物线的焦点，若 ADF 为等腰直角三角形，则双曲线的离心率是（ ）A B C D7 （5 分）已知函数 f（x）=sin（x+ ） （0，0 ） ，f （x 1）=1，f（x 2）=0，若|x 1x2|min= ，且 f（ ）= ，则 f（x）的单调递增区间为（ ）A B C D8 （5 分）函数 的部分图象大致为（ ）A B C
3、D9 （5 分） 算法统宗是明朝程大位所著数学名著，其中有这样一段表述：“远看巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一”，其意大致为：有一栋七层宝塔，每层悬挂的红灯数为上一层的两倍，共有 381 盏灯，则该塔中间一层有（ ）盏灯A24 B48 C12 D6010 （5 分）执行如图所示的程序框图，那么输出 S 的值是（ ） A2 018 B1 C D211 （5 分）如图为一正方体的平面展开图，在这个正方体中，有下列四个命题：AFGC ；BD 与 GC 成异面直线且夹角为 60；BDMN；BG 与平面 ABCD 所成的角为 45其中正确的个数是（ ）A1 B2 C3 D412 （5 分）定义
4、在 R 上函数 y=f（x+2 ）的图象关于直线 x=2 对称，且函数f（x+1 ）是偶函数若当 x0，1时， ，则函数 g（x）=f（x）e|x|在区间 2018，2018上零点的个数为（ ）A2017 B2018 C4034 D4036二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.把答案填在答题卡的相应位置.13 （5 分）已知 =（2，1） ， 2 =（1 ，1） ，则 = 14 （5 分）曲线 y=ln（x +1）在点（1，ln2 ）处的切线方程为 15 （5 分）从原点 O 向圆 C：x 2+y212y+27=0 作两条切线，则该圆被两切点所分的劣弧与优弧之比为 16
5、 （5 分）如图，三棱锥的所有顶点都在一个球面上，在ABC 中，AB= ，ACB=60 ，BCD=90，ABCD，CD= ，则该球的体积为 三、解答题：本大题共 5 小题，共 70 分.其中 17 至 21 题为必做题，22、23 题为选做题.解答过程应写出文字说明、证明过程或演算步骤 .17 （12 分）已知ABC 的内角 A，B ，C 的对边分别为 a，b ，c ，且2ccosBb=2a（）求角 C 的大小；（）设角 A 的平分线交 BC 于 D，且 AD= ，若 b= ，求ABC 的面积18 （12 分）在四棱锥 PABCD 中，ADBC，平面 PAC平面ABCD，AB=AD=DC=1
6、，ABC=DCB=60，E 是 PC 上一点（）证明：平面 EAB平面 PAC；（）若PAC 是正三角形，且 E 是 PC 中点，求三棱锥 AEBC 的体积19 （12 分）一只药用昆虫的产卵数 y 与一定范围内的温度 x 有关，现收集了该种药用昆虫的 6 组观测数据如表：温度 x/C 21 23 24 27 29 32产卵数 y/个 6 11 20 27 57 77经计算得： ， ， ， ，线性回归模型的残差平方和，e 8.06053167 ，其中 xi，y i 分别为观测数据中的温度和产卵数，i=1，2，3，4，5，6（）若用线性回归模型，求 y 关于 x 的回归方程 = x+ （精确到
7、0.1） ；（）若用非线性回归模型求得 y 关于 x 的回归方程为 =0.06e0.2303x，且相关指数 R2=0.9522（ i ）试与（）中的回归模型相比，用 R2 说明哪种模型的拟合效果更好（ii）用拟合效果好的模型预测温度为 35C 时该种药用昆虫的产卵数（结果取整数） 附：一组数据（x 1，y 1） ， （x 2，y 2） ， （x n，y n） ，其回归直线 = x+ 的斜率和截距的最小二乘估计为 ， = ；相关指数 R2=20 （12 分）已知椭圆 C1 以直线 所过的定点为一个焦点，且短轴长为 4（）求椭圆 C1 的标准方程；（）已知椭圆 C2 的中心在原点，焦点在 y 轴上
8、，且长轴和短轴的长分别是椭圆 C1 的长轴和短轴的长的 倍（ 1） ，过点 C（1，0）的直线 l 与椭圆 C2 交于 A，B 两个不同的点，若 ，求OAB 的面积取得最大值时直线 l 的方程21 （12 分）已知函数 （a R） （）讨论 g（x）的单调性；（）若 证明：当 x0，且 x1 时，请考生在第 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时，请用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑选修 4-4：坐标系与参数方程22 （10 分）在直角坐标系 xOy 中，直线 l 经过点 P（ 2，0） ，其倾斜角为 ，在以原点 O 为极点，x 轴非负半轴为极轴的
9、极坐标系中（取相同的长度单位） ，曲线 C 的极坐标方程为 4cos=0（）若直线 l 与曲线 C 有公共点，求倾斜角 的取值范围；（）设 M（ x，y）为曲线 C 上任意一点，求 的取值范围选修 4-5：不等式选讲23已知函数 f（x ）=|x3|x+5|（）求不等式 f（x） 2 的解集；（）设函数 f（x）的最大值为 M，若不等式 x2+2x+mM 有解，求 m 的取值范围2018 年广东省茂名市高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的.1 （5 分）若集合 A=x|1
10、x3，B=1，0，1， 2，则 AB=（ ）A 1，0，1 ，2 B x|1x3 C0，1 ，2 D1，0，1【解答】解：集合 A=x|1x3，B=1，0，1，2，AB=0，1，2故选：C2 （5 分）已知复数 z 满足 zi=2+i，i 是虚数单位，则|z|= （ ）A B C2 D【解答】解：由 zi=2+i，得 ，|z|= ，故选：D3 （5 分）在 1，2，3，6 这组数据中随机取出三个数，则数字 2 是这三个不同数字的平均数的概率是（ ）A B C D【解答】解：在 1，2，3，6 这组数据中随机取出三个数，基本事件总数有 4 个，分别为：（1，2，3 ） ， （1，2，6 ） ，
11、（1，3，6） ， （2，3 ，6）数字 2 是这三个不同数字的平均数所包含的基本事件只有（1，2，3） ，共 1个数字 2 是这三个不同数字的平均数的概率是 故选：A4 （5 分）已知变量 x，y 满足约束条件 则 z=3x+y 的最小值为（ ）A11 B12 C8 D3【解答】解：由约束条件 作出可行域如图，联立 ，解得 A（2，2） ，化目标函数 z=3x+y 为 y=3x+z，由图可知，当直线 y=3x+z 过 A 时，直线在 y 轴上的截距最小，z 有最小值为 z=32+2=8故选：C5 （5 分）设等差数列a n的前 n 项和为 Sn，若 a2+a8=10，则 S9=（ ）A20
12、B35 C45 D90【解答】解：由等差数列的性质得，a1+a9=a2+a8=10，S 9= 故选：C6 （5 分）已知抛物线 y2=8x 的准线与 x 轴交于点 D，与双曲线 交于A，B 两点，点 F 为抛物线的焦点，若 ADF 为等腰直角三角形，则双曲线的离心率是（ ）A B C D【解答】解：抛物线 y2=8x 的准线方程为 x=2，准线与 x 轴的交点为 D（2，0） ，由ADF 为等腰直角三角形，得|AD|=|DF|=4，故点 A 的坐标为（2，4） ，由点 A 在双曲线 上，可得 ，解得 ，即 ， ，双曲线的离心率 故选：D7 （5 分）已知函数 f（x）=sin（x+ ） （0，
13、0 ） ，f （x 1）=1，f（x 2）=0，若|x 1x2|min= ，且 f（ ）= ，则 f（x）的单调递增区间为（ ）A B C D【解答】解：设 f（x）的周期为 T，由 f（x 1）=1 ，f （x 2）=0 ，|x 1x2|min= ，得 ，由 f（ ）= ，得 sin（ +）= ，即 cos= ，又 0 ，= ，f （x）=sin（x ） 由 ，得 f（ x）的单调递增区间为 故选：B8 （5 分）函数 的部分图象大致为（ ）A B C D【解答】解：f（x）=f（x ） ，可得 f（x）为奇函数，排除 B， 1，排除 A当 x0 时， ， ，在区间（1，+）上 f（x）单调
14、递增，排除 D，故选：C9 （5 分） 算法统宗是明朝程大位所著数学名著，其中有这样一段表述：“远看巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一”，其意大致为：有一栋七层宝塔，每层悬挂的红灯数为上一层的两倍，共有 381 盏灯，则该塔中间一层有（ ）盏灯A24 B48 C12 D60【解答】解：由题意可知从上至下每层灯盏数构成公比为 2 的等比数列，设首项为 a，则 ，解之得 a=3，则该塔中间一层灯盏数有 323=24故选：A10 （5 分）执行如图所示的程序框图，那么输出 S 的值是（ ） A2 018 B1 C D2【解答】解：依题意，执行如图所示的程序框图可知：初始 S=2，当 k=0
15、时，S 0=1，k=1 时，S 1= ，同理 S2=2，S 3=1，S 4= ， ，可见 Sn 的值周期为 3当 k=2017 时，S 2017=S1= ，k=2018，退出循环输出 S= 故选：C11 （5 分）如图为一正方体的平面展开图，在这个正方体中，有下列四个命题：AFGC ；BD 与 GC 成异面直线且夹角为 60；BDMN；BG 与平面 ABCD 所成的角为 45其中正确的个数是（ ）A1 B2 C3 D4【解答】解：将正方体纸盒展开图还原成正方体，在中，如图知 AF 与 GC 异面垂直，故正确；在中，BD 与 GC 成异面直线，连接 EB，ED 则 BMGC，在等边BDM 中，B
16、D 与 BM 所成的 60角就是异面直线 BD 与 GC 所成的角，故正确；在中，BD 与 MN 异面垂直，故错误；在中，GD平面 ABCD，所以在 RtBDG 中，GBD 是 BG 与平面 ABCD 所成的角，RtBDG 不是等腰直角三角形所以 BG 与平面 ABCD 所成的角不是为 45，故错误故选：B12 （5 分）定义在 R 上函数 y=f（x+2 ）的图象关于直线 x=2 对称，且函数f（x+1 ）是偶函数若当 x0，1时， ，则函数 g（x）=f（x）e|x|在区间 2018，2018上零点的个数为（ ）A2017 B2018 C4034 D4036【解答】解：函数 g（x）=f
17、（x）e |x|在区间2018 ，2018 上零点的个数 函数的图象与 y=e|x|的图象交点个数由 y=f（x+2）的图象关于直线 x=2 对称，得 f（x ）是偶函数，即 f（ x）=f（x） 又函数 f（x+1）是偶函数， f（x+1）=f（ x+1） ，故 f（x+2）=f（ x）=f （x ） ，因此，f（x ）是周期为 2 的偶函数当 x0，1时， ，作出 y=f（x）与 图象如下图，可知每个周期内有两个交点，所以函数 g（x）=f （x）e |x|在区间2018，2018 上零点的个数为 20182=4036故选：D二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.把
18、答案填在答题卡的相应位置.13 （5 分）已知 =（2，1） ， 2 =（1 ，1） ，则 = 1 【解答】解：根据题意，设 =（x ，y） ，则 2 =（22x，12y）=（1，1） ，则有 22x=1，12y=1，解可得 x= ， y=0，则 =（ ，0） ，则 =2 +10=1；故答案为：114 （5 分）曲线 y=ln（x +1）在点（1，ln2 ）处的切线方程为 x2y1+2ln2=0 【解答】解：根据题意，曲线 y=ln（x+1） ，则有 y= ，则由所求切线斜率 ，又由 f（ 1）=ln（1+1）=ln2，则曲线在点（1，ln2）处的切线方程为 ，即 x2y1+2ln2=0故答案
19、为：x2y1+2ln2=015 （5 分）从原点 O 向圆 C：x 2+y212y+27=0 作两条切线，则该圆被两切点所分的劣弧与优弧之比为 【解答】解：把圆的方程化为标准方程为 x2+（y6） 2=9，得到圆心 C（0，6） ，圆的半径 r=3，由圆切线的性质可知，CBO= CAO=90 ，且 AC=BC=3，OC=6，则有ACB=ACO+BCO=60+60=120 ，该圆被两切点所分的劣弧与优弧之比为 故答案为： 16 （5 分）如图，三棱锥的所有顶点都在一个球面上，在ABC 中，AB= ，ACB=60 ，BCD=90，ABCD，CD= ，则该球的体积为 【解答】解：以ABC 所在平面为
20、球的截面，则由正弦定理得截面圆的半径为 ，依题意得 CD平面 ABC，故球心到截面的距离为 ，则球的半径为 所以球的体积为 故答案为： 三、解答题：本大题共 5 小题，共 70 分.其中 17 至 21 题为必做题，22、23 题为选做题.解答过程应写出文字说明、证明过程或演算步骤 .17 （12 分）已知ABC 的内角 A，B ，C 的对边分别为 a，b ，c ，且2ccosBb=2a（）求角 C 的大小；（）设角 A 的平分线交 BC 于 D，且 AD= ，若 b= ，求ABC 的面积【解答】解：（）根据题意，若 2ccosBb=2a，则有 ，整理得 a2+b2c2=ab，又在ABC 中，
21、0 C， ，即角 C 的大小为 ；（）由（） ，在ADC 中，AC=b= ，AD= ，由正弦定理得 ，在ADC 中，0CDA，C 为钝角， ，故 在ABC 中，AD 是角 A 的平分线， ，ABC 是等腰三角形， ，故ABC 的面积 18 （12 分）在四棱锥 PABCD 中，ADBC，平面 PAC平面ABCD，AB=AD=DC=1 ，ABC=DCB=60，E 是 PC 上一点（）证明：平面 EAB平面 PAC；（）若PAC 是正三角形，且 E 是 PC 中点，求三棱锥 AEBC 的体积【解答】证明：（）依题意得四边形 ABCD 是底角为 60的等腰梯形，（1分）BAD=ADC=120（2 分
22、）AD=DC，DAC=DCA=30 （3 分）BAC=BADDAC=120 30=90，即 ABAC （4 分）平面 PAC平面 ABCD，平面 PAC平面 ABCD=AC，AB平面 PAC，（5 分）又平面 AB平面 EAB，平面 EAB平面 PAC（6 分）解：（）解法一：由（）及已知得，在 RtABC 中，ABC=60 ，AB=1，AC=ABtan60= ，BC=2AB=2，且 AB平面 PAC，（7 分）AB 是三棱锥 BEAC 的高，正PAC 的边长为 （8 分）E 是 PC 的中点，S EAC = SPAC= （10 分）三棱锥 AEBC 的体积为 （12分）（）解法二：过 P 作
23、 POAC 于点 O，平面 PAC平面 ABCD，平面 PAC平面 ABCD=AC，PO平面 ABC，过 E 作 EFAC 于点 F，同理得 EF平面 ABC，EF 是三棱锥 EABC 的高，且 POEF，（7 分）又 E 是 PC 中点，EF 是POC 的中位线，故 由（）及已知得，在 RtABC 中，ABC=60 ， AB=1，BC=2AB=2，AC=ABtan60= ，即正PAC 的边长为 ， （8 分）PO= ，故 EF= （9 分）在 RtABC 中，S ABC = （10 分）三棱锥 AEBC 的体积为 （12分）19 （12 分）一只药用昆虫的产卵数 y 与一定范围内的温度 x
24、有关，现收集了该种药用昆虫的 6 组观测数据如表：温度 x/C 21 23 24 27 29 32产卵数 y/个 6 11 20 27 57 77经计算得： ， ， ， ，线性回归模型的残差平方和，e 8.06053167 ，其中 xi，y i 分别为观测数据中的温度和产卵数，i=1，2，3，4，5，6（）若用线性回归模型，求 y 关于 x 的回归方程 = x+ （精确到 0.1） ；（）若用非线性回归模型求得 y 关于 x 的回归方程为 =0.06e0.2303x，且相关指数 R2=0.9522（ i ）试与（）中的回归模型相比，用 R2 说明哪种模型的拟合效果更好（ii）用拟合效果好的模型
25、预测温度为 35C 时该种药用昆虫的产卵数（结果取整数） 附：一组数据（x 1，y 1） ， （x 2，y 2） ， （x n，y n） ，其回归直线 = x+ 的斜率和截距的最小二乘估计为 ， = ；相关指数 R2=【解答】解：（）依题意，n=6， ， （ 2 分）336.626=138.6 ，（3 分）y 关于 x 的线性回归方程为 =6.6x138.6（4 分）（） （ i ）利用所给数据， ， 得，线性回归方程 =6.6x138.6的相关指数 R2= （6 分）0.93980.9522， （7 分）因此，回归方程 =0.06e0.2303x 比线性回归方程 =6.6x138.6 拟合效
26、果更好 （8 分）（ii）由（ i ）得温度 x=35C 时， =0.06e0.230335=0.06e8.0605（9 分）又e 8.06053167 ，（10 分） 0.063167190（个）（11 分）所以当温度 x=35C 时，该种药用昆虫的产卵数估计为 190 个（12 分）20 （12 分）已知椭圆 C1 以直线 所过的定点为一个焦点，且短轴长为 4（）求椭圆 C1 的标准方程；（）已知椭圆 C2 的中心在原点，焦点在 y 轴上，且长轴和短轴的长分别是椭圆 C1 的长轴和短轴的长的 倍（ 1） ，过点 C（1，0）的直线 l 与椭圆 C2 交于 A，B 两个不同的点，若 ，求OA
27、B 的面积取得最大值时直线 l 的方程【解答】解：（）所给直线方程变形为 ，可知直线所过定点为 椭圆焦点在 y 轴，且 c= ，依题意可知 b=2，a 2=c2+b2=9则椭圆 C1 的方程标准为 ；（）依题意，设椭圆 C2 的方程为 ，A（x 1，y 1） ，B （x 2，y 2） ，1，点 C（ 1，0）在椭圆内部，直线 l 与椭圆必有两个不同的交点当直线 l 垂直于 x 轴时， （不是零向量） ，不合条件；故设直线 l 为 y=k（x +1） （A ，B，O 三点不共线，故 k0） ，由 ，得 由韦达定理得 ，而点 C（1，0） ，（1x 1，y 1）=2（x 2+1，y 2） ，则 y
28、1=2y2，即 y1+y2=y2，故 OAB 的面积为 SOAB =SAOC +SBOC= = = =上式取等号的条件是 ，即 k= 时，OAB 的面积取得最大值 直线的方程为 或 21 （12 分）已知函数 （a R） （）讨论 g（x）的单调性；（）若 证明：当 x0，且 x1 时，【解答】 （）解：由已知得 g（x）的定义域为（0，+） ，（1 分）方程 2x2+xa=0 的判别式 =1+8a（2 分）当 时，0，g（x）0，此时，g（x ）在（0，+）上为增函数；（3 分）当 时，设方程 2x2+xa=0 的两根为 ，若 ，则 x1x 20，此时，g（x）0 ，g（x）在（ 0，+）上
29、为增函数； （4 分）若 a0，则 x10x 2，此时，g（x ）在（0，x 2上为减函数，在（x 2，+）上为增函数，（5 分）综上所述：当 a0 时，g（x）的增区间为（0，+ ） ，无减区间；当 a0 时，g （x ）的减区间为（0，x 2，增区间为（x 2，+） （6 分）（）证明：由题意知 ，（7 分） ，（8 分）考虑函数 ，则 （9 分）所以 x1 时，h（x）0，而 h（1）=0 （10 分）故 x（0，1）时， ，可得 ，x（1，+）时， ，可得 ， （11 分）从而当 x0，且 x1 时， （12 分）请考生在第 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计
30、分，作答时，请用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑选修 4-4：坐标系与参数方程22 （10 分）在直角坐标系 xOy 中，直线 l 经过点 P（ 2，0） ，其倾斜角为 ，在以原点 O 为极点，x 轴非负半轴为极轴的极坐标系中（取相同的长度单位） ，曲线 C 的极坐标方程为 4cos=0（）若直线 l 与曲线 C 有公共点，求倾斜角 的取值范围；（）设 M（ x，y）为曲线 C 上任意一点，求 的取值范围【解答】解：（）由曲线 C 的极坐标方程得 24cos=0，又x=cos，y=sin，曲线 C 的直角坐标方程为 x2+y24x=0，即（x2） 2+y2=4（1 分）曲线 C
31、是圆心为 C（2， 0） ，半径为 2 的圆直线 l 过点 P（2 ，0） ，当 l 的斜率不存在时，l 的方程为 x=2 与曲线 C 没有公共点，直线 l 的斜率存在，设直线 l：y=k（x +2） ，即 kxy+2k=0直线 l 与圆有公共点，则圆心 C 到直线 l 的距离 ，得 ，0，） ， 的取值范围是 （）法一：由（）曲线 C 的直角坐标方程为（x2） 2+y2=4，故其参数方程为 （ 为参数） M（ x，y）为曲线 C 上任意一点， ， ，因此， 的取值范围是2，6选修 4-5：不等式选讲23已知函数 f（x ）=|x3|x+5|（）求不等式 f（x） 2 的解集；（）设函数 f（x）的最大值为 M，若不等式 x2+2x+mM 有解，求 m 的取值范围【解答】解：（）当 x3 时，f （x）=8，此时 f（x ）2 无解； （1 分）当5 x3 时，f（x）=2x 2，由 f（x）2 解得5x2；（3 分）当 x5 时，f（x）=8，此时 f（x ）2 恒成立 （4 分）综上，不等式 f（x）2 的解集是x|x2（5 分）（）由（）可知 （6 分）易知函数 f（x）的最大值 M=8，（7 分）若 x2+2x+m 8 有解，得 mx 22x+8 有解（8 分）即 m（x +1） 2+9max=9（9 分）因此，m 的取值范围是 m9（10 分）
