1、2.2 等差数列（学生版）1新课引入请同学们思考，这四个数列有何共同特点? 0，5，10 ， 15，20 2，4 ，6，8，10，. 18， 15.5，13，10.5，8 ，5.5 10072，10144，10216，10288，10360 规律：从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数2等差数列的概念一般地，如果一个数列 从第 2 项起每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么na这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差。公差通常用字母 表示。d定义的符号表示是： ，这就是数列的递推公式。1(,*)ndnN有时也可以写成： 最简单的等差数列：由三个数 a，A， b 组成的等
2、差数列，这时数 A 叫做数 a 和 b 的等差中项，用等式表示为 2b【例 1】判断下列数列中哪些是等差数列，哪些不是？如果是，写出首项 a1 和公差 d, 如果不是，说明理由。（1 ） 1， 3，5， 7， （2）9，6，3 ，0，-3 （3 ） -8，-6，-4，-2，0， （4）3，3，3，3 ， （5 ） （6 ）15，12，10 ，8 ，6，,.24，3等差数列通项公式的推导方法一：根据等差数列的定义填空a2 a 1d ， a3 d （ ） d a 1 d，a4 d （ ） d a 1 d ，an d方法二： ， ， ，21=3243=1=n所以 ，即 ，431()+()().()(
3、naaad1()nad1nad等差数列的通项公式： 1()nd4等差数列的性质若数列 an是公差为 d 的等差数列，则(1)当 d0 时，数列为常数列；当 d0 时，数列为递增数列；当 d1)，记 bn .4an 1 1an 2(1)求证：数列b n是等差数列；(2)求数列 an的通项公式分析：一般要证一个数列b n成等差数列，最基本的方法是证明 bn1 b nd.点评：(1)判断数列为等差数列，要严格紧扣定义，本例的解法就是利用bn1 b nd 来判断的(2)判断一个数列是否为等差数列的常用方法方法 符号语言 结论定义法 an an1 d( 常数)( n2 且nN *)等差中项法 2ana
4、n1 an1 (n2 且 nN *)通项公式法 anknb(k，b 为常数，nN *)an是等差数列 当堂检测1判断下列数列是否为等差数列(1)an3n2 ； (2)ann 2n. (3)已知数列a n满足：a 11，a n1 .5anan 52已知数列a n满足 a1 2，a n1 ，则数列 是否为等差数列？说明理2anan 2 1an由3 求数列 的通项公式.1,1aanna4已知数列a n满足 a1 3，a nan1 2a n1 1(n2)(1)求 a2，a 3， a4；(2) 求证：数列 是等差数列，并写出 an的一个通项1an 1公式考点 4等差中项的应用【例 6】在 3 与 7 之
5、间插入一个数 A，使 3，A，7 成等差数列 当堂检测1已知 m 和 2n 的等差中项是 4,2m 和 n 的等差中项是 5，则 m 和 n 的等差中项是( )A2 B3 C6 D92设 x 是 a 与 b 的等差中项， x2 是 a2 与b 2 的等差中项，则 a，b 的关系是( )Aab Ba3b Cab 或 a3b Dab03设等差数列a n的公差为正数，若 a1a 2a 3 15，a 1a2a380，则a11a 12a 13_.考点 5等差数列性质的应用【例 7】 (1)已知 an为等差数列，a 3a 4a 5a 6a 7450，则 a2a 8 的值为_(2)设数列a n，b n都是等
6、差数列，若 a1b 17， a3b 321，则a5b 5_.点评：(1)本例中两个小题法一用到了整体代入思想，法二用到了等差数列的性质(2)等差数列中，若 m， n，p，qN *且 mnpq，则ama na pa q；若 m n2k，m，n，kN *，则 ama n2a k 是最常用的两条性质，用它们解决等差数列的有关问题，可以达到事半功倍的效果 当堂检测1在等差数列a n中，a 121，a 718，则公差 d( )A. B. C D12 13 12 132已知等差数列a n中， a2a 46，则 a1a 2 a3a 4a 5( )A30 B15 C5 D106 63已知 an为等差数列，a
7、2a 812，则 a5 等于( )A4 B5 C6 D74在等差数列a n中，已知 a4a 816，则 a2a 10( )A12 B16 C20 D245设数列 an，b n都是等差数列，且 a125，b 175，a 2b 2100，那么由anb n 所组成的数列的第 37 项为( )A0 B37 C 100 D376已知数列a n满足 a1 1，若点 在直线 xy10 上，则(ann，an 1n 1)an_.7已知等差数列a n中， a2a 6a 101，求：(1)a 4a 8；(2)若 a3a6a9 ，求127通项公式6等差数列设元的应用【例 8】(1) 三个数成等差数列，它们的和为 21
8、，它们的平方和为 155，求这三个数；(2)已知四个数成等差数列，它们的和为 28，中间两项的积为 40，求这四个数点评：(1)若三个数成等差数列，可设为 ad，a，ad；若四个数成等差数列，可设为 a3d，ad，ad，a3d.(2)证三项成等差数列，只需证中间一项为两边两项的等差中项即可，即若a，b，c 成等差数列，则有 ac 2b；反之，若 ac 2b，则 a，b，c 成等差数列 当堂检测1已知单调递增的等差数列a n的前三项之和为 21，前三项之积为 231，求数列an的通项公式2已知三个数依次成等差数列，它们的和为 18，它们的平方和为 116，求这三个数构成的等差数列一、选择题1a
9、n为等差数列，且 a72a 41，a 30，则公差 d 等于( )A2 B C. D212 122等差数列a n中，已知 a1 ，a 2a 54，a n 33，则 n 为( )13A50 B49 C48 D473在等差数列a n中，若 a3a 5a 7a 9a 11100 ，则 3a9a 13 的值为( )A20 B30 C40 D504首项为24 的等差数列，从第 10 项开始为正数，则公差 d 的取值范围是( )Ad Bd0 Ba 7a 90 时，数列为递增数列；当 d0 时，数列为递减数列(2)d (m，n，kN *)an a1n 1 am akm k(3)ana m(nm)d( m，n
10、 N *)(4)若 mn pq(m，n，p，qN *)，则 ama na pa q.(5)若 k，则 ama n2a k(m，n，kN *)m n2(6)若数列a n是有穷等差数列，则与首末两项等距离的两项之和都相等，且等于首末两项之和，即 a1a na 2a n1 a i 1a ni ( n，iN *)(7)数列a n b(，b 是常数 )是公差为 d 的等差数列(8)下标成等差数列且公差为 m 的项 ak，a km ，a k2m ，(k ，m N *)组成公差为 md 的等差数列(9)若 ， 均为等差数列，则 也为等差数列nanb 典型例题考点 1求等差数列的通项公式【例 2】已知等差数列
11、 的前三项分别为 8，5，2 na（1 ）求的通项公式；（2）求第 20 项；（3 ）判断 是否为数列 中的项，若是，是34na第几项？解：（1）因为 ，所以 ，所以这个数列的通项公式是128,5a21da，即 (3)nan3n（2 ）所以 2049（3 ）令 ，解得 ，所以 是数列 中的第 15 项1n1534na【例 3】 (1)在等差数列a n中，已知 a510，a 1231，求通项公式 an.(2)已知数列a n为等差数列 a3 ，a 7 ，求 a15 的值54 74解：(1)a 5 10，a 1231，则Error!Error!a n2(n1)33n5，通项公式 an3n5.(nN *)(2)法一：由Error! 得Error!解得 a1 ，d .114 34a 15a 1(151) d 14 .114 ( 34) 314法二：由 a7a 3(73) d，即 4d，解得 d . a 15a 3(153)74 54 34d 12 .54 ( 34) 314【说明】：从该例题中可以看出：1.等差数列的通项公式其实就是一个关于（独立的量有 3 个）的方程；2.会利用通项公式来判断所给的数是不是数列中的1,na
