1、课时作业( 十八) 简单的线性规划问题A 组 基础巩固1设变量 x，y 满足Error!则 2x3y 的最大值为( )A20 B35C45 D55解析：根据不等式组确定平面区域，再平移目标函数求最大值作出不等式组对应的平面区域( 如下图)，平移直线 y x，易知直线经过可行域上的点 A(5,15)时，2x3y 取得最23大值 55，故选 D.答案：D2已知向量 a(xz,3)，b (2，yz)，且 ab.若 x，y 满足不等式| x|y| 1，则 z 的取值范围为( )A2,2 B2,3C3,2 D3,3解析：因为 ab，所以 2(xz) 3(yz)0，则 z2x3y ，x，y 满足不等式|x
2、| y|1，则点 (x，y)的可行域如下图中阴影部分所示当 z2x3y 经过点 A(0,1)时，z2x 3y 取得最大值 3；当 z2x 3y 经过点 C(0，1)时，z2x3y 取得最小值3.答案：D3在平面直角坐标系 xOy 中， M 为不等式组Error!所表示的区域上一动点，则直线 OM斜率的最小值为( )A2 B1C D13 12解析：已知的不等式组表示的平面区域如下图中阴影部分所示，显然当点 M 与点 A 重合时直线 OM 的斜率最小，由直线方程 x2y10 和 3x y80，解得 A(3，1)，故 OM斜率的最小值为 .13答案：C4若实数 x，y 满足不等式组Error!且 x
3、y 的最大值为 9，则实数 m( )A2 B1C1 D2解析：如图首先根据目标函数有最大值，可知 m0(否则平面区域不封闭，则最值不存在) 即m0 时，可行域如图结合图形当将直线 xy 0 平移至点 A 时，目标函数 zxy 取得最大值 9，因此点 A可视为两直线 xy 9,2x y30 的交点，联立方程可得 A(4,5)又点 A 在直线xmy10 上，代入直线方程可得 m1.答案：C5在平面直角坐标系中，动点 M(x，y )满足条件Error!动点 Q 在曲线( x1) 2y 2 上，12则|MQ |的最小值为 ( )A. B.2322C1 D. 22 5 12解析：圆(x1) 2y 2 的
4、圆心坐标为(1,0) ，半径 r ，则圆心到可行域的最小距离为12 22到直线 xy20 的距离，即 d ，|MQ| 的最小值为 dr ，故选 A.|1 0 2|2 322 2答案：A6设 x，y 满足约束条件Error!若目标函数 zabx y( a0，b0)的最大值为 8，则 ab的最小值为_解析：画出约束条件表示的规划区域，如图当目标函数 zabxy 运动到 A(1,4)时，目标函数 z 取得最大值，即 8ab4，ab4.( )20，a bab2 0，即 ab2 4.ab ab答案：47已知点 P(x，y) 满足Error!点 A(2,0)，则| |sinAOP(O 为坐标原点)的最大值
5、为OP _解析：由于| |sinAOP| | y p，故将不等式组表示的可行域作出，如右图易知点 POP OP yp|OP |的纵坐标取得最大值，解得 yp .225答案：2258已知变量 x，y 满足约束条件Error!若目标函数 zax y(其中 a0)仅在点(3,1)处取得最大值，则 a 的取值范围是_解析：由变量 x，y 满足约束条件 1x y4，2xy2，在坐标系中画出可行域，如图中的阴影部分所示，为四边形 ABCD，其中 A(3,1)， kAD1，k AB1.目标函数zax y(其中 a0)中的 z 表示斜率为a 的一族平行直线在 y 轴上的截距的大小，若仅在点(3,1)处取得最大
6、值，则斜率应小于 kAB1，即a0)，点 N(x，y) 的坐标 x，y 满足不等式组Error!若当且仅当Error!时， 取得最大值，则 a 的取值范围是( )OM ON A. B.(0，13) (13， )C. D.(0，12) (12， )解析：作出不等式组Error!所表示的可行域如下图，由目标函数 (a,1)(x，y)OM ON axy 所表示的斜率为a 的平行直线系仅过点 A(3,0)时，取得最大值可得a ，故选 D.12答案：D12设实数 x，y 满足不等式组Error!且 4x2y 2 的最小值为 m，当 9m25 时，实数 k的取值范围是_解析：不等式组Error!所表示的可
7、行域如图，点 A 的坐标为 ，其满足 4x2y 2(k 34 ，k 12 )取得最小值，此时最小值为 m4 2 2 .由 9m25，可得Error!解得(k 34 ) (k 12 ) k2 4k 52k 2,517答案： 2,51713已知Error!求：(1)zx 2y 210y 25 的最小值；(2)z 的取值范围2y 1x 1解：(1)作出可行域如下图，计算得点 A(1,3)，B(3,1) ，C (7,9)zx 2 (y5) 2 表示可行域内任一点( x，y )到点 M(0,5)的距离的平方过点 M 作 AC 的垂线，易知垂足 N 在 AC 上，故 MN ，|0 5 2|1 12 32
8、322MN 2 2 ，(322) 92z 的最小值为 .92(2)z2 表示可行域内点 (x，y) 与定点 Q 连线斜率的 2 倍y ( 12)x 1 ( 1， 12)k QA ，k QB ，z 的取值范围是 .74 38 34，7214某人民商场为使销售空调和冰箱获得的总利润达到最大，对即将出售的空调和冰箱相关数据进行调查，得出下表：每台空调或冰箱所需资金(百元)资金空调 冰箱月资金供应数量(百元)成本 30 20 300工人工资 5 10 110每台利润 6 8问：该商场怎样确定空调和冰箱的月供应量，才能使总利润最大？解：设空调和冰箱月供应量分别为 x 台，y 台，月总利润为 z 百元，则Error!，z6x8y作可行域如下图，y x .其截距为 ，斜率为 k .34 z8 z8 34满足 |k| ，| 510| | 3020|欲 z 最大，必 最大z8此时，直线 y x ，必过 A 点，34 z8由Error!得 A(4,9)故 x4，y9 时，z max96(百元)答：所以，空调的月供应量为 4 台，冰箱的月供应量为 9 台时，才能使总利润最大，最大为 96 百元
