1、课时作业(二十一) 平面向量数量积的物理背景及其含义A 组 基础巩固1若|a|2，|b|4，向量 a 与向量 b 的夹角为120，则向量 a 在向量 b 方向上的投影等于( )A3 B 2C2 D1解析：a 在 b 方向上的投影是|a|cos2cos120 1，故选 D.答案：D2. 已知2015山 西 大 同 市 高 一 检 测 ab，|a |2，|b|3，且 3a2b 与 ab 垂直，则 等于 ( )A. B32 32C D132解析：(3a2b)(ab)3 a2(23)ab2b 23 a2 2b212 180. ，故选 A.32答案：A3已知向量 a，b 满足 ab0，|a|1，|b|
2、2，则|2ab |等于( )A0 B2 2C4 D8解析：|2 ab| 2 (2ab)24|a| 24ab|b| 24140 48，|2ab|2 ，故选 B.2答案：B4. 在边长为 1 的等边2015山 东 德 州 市 高 一 检 测 ABC 中，设 a， b， c ，则BC CA AB abbc ca 等于( )A B032C. D332解析：ab | | |cos60 .同理BC CA CB CA CB CA 12bc ，ca ，12 12abbcca ，故选 A.32答案：A5若非零向量 a，b 满足|a|b|，(2 ab) b0，则 a 与 b 的夹角为( )A30 B60C120
3、D150解析：由(2ab) b0，得 2abb 20，设 a 与b 的夹角为 ，2|a|b|cos| b|20.cos ，|b|22|a|b| |b|22|b|2 12120，故选 C.答案：C6. 若向量 a 与 b 的夹2015河 北 沧 州 市 高 一 统 测 角为 60，| b|4， (a2b)( a3b )72，则向量 a的模为( )A2 B4C6 D12解析：ab| a|b|cos602|a| ，(a2b)( a3b)|a| 26| b|2ab|a| 22|a|9672.|a|6，故选 C.答案：C7已知向量 a 与 b 的夹角为 120，且|a|b|4，那么 b(2ab) 的值为
4、 _解析：b(2ab)2ab|b| 2244cos1204 20.答案：08给出下列结论：若 a0，ab0，则 b0；若 abbc，则ac ；( ab)ca(b c)；ab(ac )c (ab)0.其中正确结论的序号是_解析：因为两个非零向量 a、b 垂直时，ab0，故不正确；当 a0，bc 时，abbc 0，但不能得出 ac，故不正确；向量(ab)c 与 c 共线，a(bc) 与 a 共线，故不正确；正确，ab( ac)c (ab)( ab)(ac)( ac)(ab)0.答案：9设非零向量 a、b、c 满足|a|b| c|，a bc，则a，b _.解析：abc，|c| 2| ab| 2a 2
5、2abb 2.又|a|b| c|，2abb 2，即 2|a|b|cosa，b|b| 2.cosa，b ，a，b 120.12答案：12010设 n 和 m 是两个单位向量，其夹角是 60，求向量 a2mn 与 b2n3m 的夹角解析：| n|m|1 且 m 与 n 夹角是 60，mn|m|n|cos6011 .12 12|a|2mn | 2m n2 41 1 4mn ，41 1 412 7|b|2n 3m| 2n 3m2 41 91 12mn ，41 91 1212 7ab(2mn )(2n3m)mn6m 22n 2 6121 .12 72设 a 与 b 的夹角为 ，则cos .ab|a|b|
6、 7277 12又 0， ，故 a 与 b 的夹角为 .23 23B 组 能力提升11在ABC 中，M 是 BC 的中点，AM1，点P 在 AM 上且满足 2 ，则 ( )等于( )AP PM AP PB PC A. B.49 43C D43 49解析：AM1，且 2 ，AP PM | | .AP 23如图， ( ) 2 2AP PB PC AP PM AP AP AP 2 .(23) 49答案：A12. 设向量 a，b，c2015福 建 三 明 市 高 一 月 考 满足 abc0，(ab)c，ab，若|a|1，则|a|2|b| 2| c|2 的值是 _解析：由 abc0，得(abc )20，
7、a 2b 2c 22(abb cca) 0.又(ab) c，a b，( ab)c0，ab0，acbc.a 2b 2c 24bc，b 2c 2 14bc .由 abc0，得 bca，故(bc) 21，即 b2c 22bc1.由得 bc1，故 a2b 2c 24，即|a|2|b| 2| c|24.答案：413已知 a，b 是两个非零向量，当 atb(tR)的模取得最小值时，(1)求 t 的值(用 a，b 表示)；(2)求证：b 与 at b 垂直解析：(1)|at b|2a 2t 2b22t abb 2 2a 2 .当(t abb2) ab2b2t 时，| a tb|取最小值abb2(2)因为：(
8、at b)babt b2ab b20，所以 at b 与abb2b 垂直14已知 a，b 均是非零向量，设 a 与 b 的夹角为 ，是否存在这样的 ，使| ab| |ab|成立？3若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由解析：假设存在满足条件的 ，|ab| |a b|，3(ab) 23(ab) 2.|a| 22ab|b| 23(|a| 22ab|b| 2)|a| 24ab|b| 20.|a| 24|a|b|cos|b| 20.Error!解得 cos .12，1又0， .故当 时，0，3 0，3|ab| |ab|成立315.附 加 题 选 做 (1)已知向量2015福 建 三 明 市 高 一
9、月 考 a、b、c 满足 abc0，且|a|5，| b|7，| c|10，求 a、b 的夹角的余弦值；(2)已知|a |2，|b|3，a 与 b 的夹角为 60，若a b 与 ab 的夹角为锐角，求实数 的取值范围解析：(1)由 abc0 知，abc，|ab|c |，(ab) 2c 2，即 a22abb 2c 2.ab c2 a2 b22 |c|2 |a|2 |b|2213.102 52 722则 cosa，b .故 a、 b 的夹角的余ab|a|b| 1335弦值为 .1335(2)由题意可得 ab| a|b|cos6023 3.12又(ab)(ab)a 2( 21)abb 2，而 ab 与 a b 的夹角为锐角，a 2( 21)abb 20，而 a2|a |24，b 2|b| 29，ab 3，3 213 3 0，解得 或 .133 136 13 1336但是当 1 时， a b 与 ab 共线，其夹角不为锐角故 的取值范围是 ( ， 13 1336 )(1 ，).(133 136 ，1)
