1、西南财经大学经济数学系 孙疆明,高等数学 微积分,市,精,光,第八讲 导数与微分,二、导数定义与性质,三、求导法则,一、引言,七、函数的微分,四、复合函数导数公式,五、隐函数求导法,六、参数式求导法,一、引言,背景示例,运动物体的瞬时速度,曲线的切线斜率问题,增长率问题,生产决策问题,二、导数定义与性质,1. 导数定义,注意变量符号选择的任意性,有 导数的等价定义：,2. 导函数定义,解,解,解,证明,2. 导数的意义,物理意义,几何意义,一般地，导数是函数在一点的变化率 自变量每增一单位, 函数能增加的量.,例:不均匀杆密度线密度(单位长质量),5. 可导与连续的关系：,定理：,证,注意 可
2、导必连续, 连续不一定可导！,求导函数例子基本初等函数导数公式,解,解,解,解,解,解,如何求初等函数函数的导数？,其他导数公式,导数运算法则,基本初等函数,初等函数,四则,复合,反函数,隐函数,参数式,三、求导法则,1. 四则运算求导法则,证 (3),可导必连续,解,解,2. 反函数求导法则,解,由反函数 求导法则,3、复合函数导数公式,证,不能保证中间变量的增量,总不等于零,上面的证法有没有问题？,证,(1) 式仍然成立！,解,基本导数公式,解,解,解,解,二、高阶导数,（一）高阶导数定义,二阶导数的物理意义,二阶及以上导数统称为高阶导数.f(x)也称0阶.,解,用数学归纳法可以证明,用数
3、学归纳法可以证明,解,解,用数学归纳法,类似可得,（二）高阶导数公式,解,三 隐函数求导法,定义：（隐函数）,隐函数求导问题的提法,隐函数求导法,解,解,解,两边取对数, 得,对数微分法,化为隐函数,再应用复合函数微分法（链式法则）,方法二: 利用对数微分法,方法一:,解,（四） 参数式求导法,分析函数关系:,利用复合函数和反函数微分法, 得,解,解,小结 导数计算,函数的微分,导数是从函数相对自变量变化的速度来研究; 而微分则是直接研究函数的增量(改变量)，这有许多方便之处。,（一）函数的微分的定义,（二）微分的基本性质,证 (1),性质2: 微分的几何意义,（三）微分公式,故,（四）微分四
4、则运算法则,解,（二）微分的形式不变性(复合函数微分法则),小结2 ：几个概念之间的关系,连续可微,可微,可导,连续,极限存在,有定义,再见！,解,振荡,不存在！,返回,返回,返回,返回,返回,返回,返回,返回,返回,例 运动物体的瞬时速度,设质点沿x轴作直线运动, 若己知其运动 规律(路程与时间的函数关系)为 求在时刻 的瞬时速度.,解,如果极限存在, 这个极限值就是质点在 瞬时t0 速度.,例 曲线的切线斜率问题,什麽是曲线的切线？,例 增长率问题.,经营资产要随时间增值.若增值函数为f(t), 银行利率为r, 应该采用何种经营策略？,银行利率单位资产在单位时间内增值额.,单位资产在单位时间内增值额增长率. 经营策略：增长率与银行利率比较，高则经营资产；低则卖出存银行.如何计算变总值增长率？,例 生产决策问题.,商品的生产销售中,随着产量增加成本在不断增加;而产量增加市场投放量也增加,要保证需求也增加,价格就可能下降,尽管销售收入也可能增加,但是利润是否会增加？,解,
