1、学校： 临清一中 学科：数学 编写人：张贵岭 1.1.3 双曲线及其标准方程课前预习学案一、预习目标双曲线及其焦点,焦距的定义。双曲线的标准方程及其求法。双曲线中 a，b，c 的关系。双曲线与椭圆定义及标准方程的异同。二、预习内容 双曲线的定义。 利用定义推导双曲线的标准方程并与椭圆的定义、标准方程和推导过程进行李类比。 掌握 a，b，c 之间的关系。三、提出疑惑同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中疑惑点 疑惑内容课内探究学案一、教学过程前面我们学习过椭圆，知道“平面内与两定点 F1，F 2 的距离的和等于常数（大于F1F2 ）的点的轨迹叫做椭圆 ”。下面我们来考虑
2、这样一个问题？平面内与两定点 F1，F 2 的距离差为常数的点的轨迹是什么？我们在平面上固定两个点 F1，F 2，平面上任意一点为 M，假设|F1F2|=100,|MF1|MF 2|且|MF 1|MF 2|=50 不断变化|MF 1|和 |MF2|的长度，我们可以得出它的轨迹为一条曲线。来源:高考学习网 XK若我们交换一下长度，|MF 1|MF 2|且|MF 1|MF 2|=50 时 ，可知它的轨迹也是一条曲线那么由这个实验我们得出一个结论：“平面内两个定点 F1，F 2 的距离的差的绝对值为常数的点的轨迹是双曲线。 ”但大家思考一下这个结论对不对呢？我们知道在椭圆定义里，到两定点的距离和为一
3、个常数，这个常数（必须大于|F1F2|） 那么这里差的绝对值为一个常数，这个常数和|F 1F2|有什么关系呢？下面我们来看一个试验，当|MF 1|MF 2|=0 时，M 点的轨迹为 F1，F 2 的中垂线；随着|MF 1|-|MF2|的不断变化 ，呈现出一系列不同形状的双曲线；当|F 1F2|即和|F 1F2|长度相等时，点的轨迹为以 F1，F 2 为端点的两条射线；若|MF 1|-|MF2|100 时，就不存在点 M。那么由以上的一些试验我们可以得出双曲线的准确定义：定义：平面内与两定点 F1，F 2 的距离差的绝对值为非零常数（小于|F 1F2|）的点的轨迹是双曲线。定点 F1，F 2 叫
4、做双曲线的焦点，两焦点的距离叫双曲线的焦距。我们知道当一个椭圆中心在原点，焦点在坐标轴上时，所表示椭圆的方程为标准方程。当焦点在 x 轴上时， ；当焦点在 y 轴上时，12bya 12bxa那么双曲线方程是否也有标准方程呢？我们就来求一下看看：解：建立直角坐标系 xoy， 使 x 轴经过 F1，F 2， 并且点 O 与线段 F1F2 的中点重合。如图所示：设 M（x，y）是双曲线上任意一点，双曲线的焦距为 2c（c0） ，那么，焦点 F1，F 2，的坐标是（c，0） （c ，0） 。又设点 M 与 F1，F 2， 的距离的差的绝对值等于常数 2a有定义可知，双曲线就是集合pM|MF 1|MF
5、2|=2a因为 |MF1|= 2)(yx|MF2|= c所以得 2a 2)(yx2)(ycx将方程化简，得（c 2a 2）x 2ay 2a 2（c 2a 2）由双曲线的定义可知，2c2a，即 ca，所以 c2-a20令 c2-a2=b2 其中 b0，代入上式，得b2x2a 2y2=a2b2两边除以 a2b2，得 （ a0,b0）这个方程叫做双曲线标准方程。12yx当焦点在 y 轴上时,2baF1(0,c) F2(0,c) （a 0,b0）*观察双曲线的标准方程和椭圆标准方程，思考几个问题：来源:st.Com1、焦点在哪个轴上如何判断？ 2、方程中 a,b,c 的关系怎样?（椭圆哪个二次项的分母
6、大，焦点就在相应的那个坐标轴上，双曲线哪项为正焦点就落在相应的坐标轴上。 ）例 1 求适合下列条件中的双曲线的标准方程：1 a=3,b=4 焦点在 y 轴上，解：因为焦点在 y 轴上所以所求方程为 1692x2 a=5,b=7,分析：焦点不知在哪个轴上，分情况分析解：当焦点在 x 轴上时 14925y当焦点在 y 轴上时 x3两焦点为 F1(5,0),F 2(5,0) 双曲线上的点到它们的距离之差绝对值为 8练习 1：求适合下列条件的双曲线的标准方程：1、a=4,b=6,焦点在 x 轴解：由 b2=c2a 2=624 2=20来源:高考试!题库 ?S+T:又因为焦点在 x 轴上所以所求方程为：
7、来源:高考试!题库 ?S+T:1206yx2、c=10,b=7 焦点在 y 轴上解：由 a2=c2 b2=1027 2=51又因为焦点在 y 轴上，所求方程为： 14952x例 2：求下列双曲线的焦点坐标：1、16432yx解：a 2=36,b2=64c 2=36+64=100,c=10又因为焦点在 x 轴上，所求焦点坐标为(10,0),(10,0)。2、 182yx解：化标准方程为： 182xa2=1,b2=8，又因为焦点在 y 轴上,所求焦点坐标为(0,3),(0, 3)。3、9y 2-4x2=36解：化标准方程为： 1942xy所以 a24，b 29。由从 c2a 2+b2=4+9=13
8、。又因为焦点在 y 轴上; 所求焦点坐标为（0， ）和（0， ） 。 1313例 3：双曲线 的焦点与椭圆 的焦点有什么关系?52x925yx解：双曲线 中 a2=1,b2=15,由 c2=a2+b2 得 c=412y所以 双曲线的两个焦点坐标为(4,0)和(-4,0)椭圆 中 a2=25,b2=9 由 c2=a2+b2=259=16 得925yx所以椭圆的两个焦点坐标也是(4,0)和( 4,0)。它们的焦点相同.思考题：1 已知曲线的方程为 14322myx（1） 若 c 为椭圆，求 m 的取值范围，并求椭圆的焦点 。 (m4)（2） 若 c 为又曲线，求 m 的取值范围，并求双曲线的焦点
9、。 (3m4)2 已知双曲线的方程为 ，讨论 c 曲线的形状14622yx6m4 时，为椭圆，(m1 焦点在 x 轴，m1 焦点在 y 轴) m1 时为圆来源:高 考(试#题库 ST-m4 或 m6 时，为双曲线;( m4 焦点在 x 轴，m6 焦点在 y 轴) 小结：1 定义：平面内与两定点 F1，F 2 的距离的差的绝对值等于常数（小于|F 1F2|）的点的轨迹叫做双曲线.2 双曲线的标准方程为：焦点在 x 轴时,（a0,b0）2by叫焦点坐标 F1（c，0）F 2（c，0） 。焦点在 y 轴时,（a0,b0）2x焦点坐标 F1(0,-c),F2(0,c)3 注意双曲线与椭圆的区别与联系椭圆 双曲线|MF1|MF 2|=2a |MF1|MF 2|=aa2=b2+c2 c2=a2+b22byx（a b0）12xy2byax（a0,b0）12xya 比 b 大 a 不一定比 b 大焦点位置与分母大小相对应 焦点位置与项的正负对应二、板书设计双曲线及其标准方程椭圆的定义，椭的标准方程 例 1，例 2，思考 1双曲线的定义，双曲线的标准方程 练 1，例 3，思考 2小结：1、定义2、标准方程3、双曲线与椭圆的区别与联系高考试题!库
