1、- 1 -课题： 双曲线及其标准方程一 教学目标 1. 知识与技能： （1） 能理解并掌握双曲线的定义，了解双曲线的焦点、焦距； （2） 能掌握双曲线的标准方程，能够根据双曲线的标准方程确定焦点的位置。 （3） 能根据已知条件求双曲线的标准方程。 2. 过程与方法： （1） 经历双曲线轨迹的探究，培养观察能力和探索发现能力。 （2） 在双曲线定义和标准方程的学习过程中培养类比推理能力、归纳能力，体会求轨迹方程过程中数形结合等数学思想方法的运用。 3. 情感、态度与价值观： （1） 经历双曲线及其标准方程的获得过程，感受数学的对称美和简单美。 （2） 通过主动探索，感受探索的乐趣，体会数学的理性
2、和严谨。 （3） 经历双曲线定义的获得过程，养成实事求是的科学态度，形成学习数学知识的积极态度二 教法学法（一）教学方法 引导探索、发现法设计意图 这样的教法可以充分调动学生学习的主动性、积极性，使课堂气氛更加活跃。 同时培养学生自主学习和动手探究的能力。（二）学习方法 自主探索、合作交流 设计意图 这样的学法有利于培养学生的动手实践能力、自主学习能力、探索精神及合作意识（三） 教学手段 多媒体辅助教学设计意图有利于激发学生学习的兴趣，增强动感与直观感，增大教学容量，提高教学效率和教学质量（四）学具 一条拉链，两颗图钉，一块纸板。设计意图为探究双曲线的定义的绘图活动提供物质条件。三 教学过程设
3、计 下的“再创造”过程。 我设计了以下教学流程：- 2 -（一）创设情境， 引入新课 本节课的开始由多媒体演示实例，并引导学生观察图中的红色曲线。（1）济南市立交桥的外观结构；（2）为缓解交通拥堵，北京市创建的新式交通结构图；（3）城市标志雕塑的外形；（4）自然通风塔轴截面的外观轮廓；（5）可乐瓶和古代鼎的曲线造型。并指出：这些红色曲线就是数学中研究的双曲线。上述都是实际生活中与双曲线有关的例子。除此之外，双曲线在自然界和科学技术中也有着广泛的应用，比如有的无周期彗星的运动轨迹是双曲线; 利用远程双曲线导航的罗兰 C 卫星导航系统等。那如何定义双曲线呢？怎样建立它的方程呢？这就是本节课所要研究
4、的内容，由此引出课题：设置意图让学生形成双曲线的感性认识，感受数学的应用价值，体现数学来源于生活实际，又服务于生活实际。同时培养学生学会用数学眼光去观察周围事物的能力 。（二）抽象概括 归纳定义提出思考：如何定义双曲线呢？创设情境 引入新课抽象概括 归纳定义类比探究 建立方程实践探索 形成能力分层作业 巩固提高 整理知识 纳入系统 - 3 -设计意图通过创设情境，激发了学生的求知欲，使学生急于想知道双曲线是满足什么条件的点的轨迹，但现有知识又无从回答，形成认知冲突，使学生进入愤悱状态。教师指出：为探究双曲线的定义，先回顾椭圆的定义，即：椭圆上动点 M 满足： ( 0)aF21引导一：若将上式改
5、为 ( 0)，动点 M 的轨迹是怎样的曲线呢？M设计意图“思维从疑问开始” ， 以问题为出发点，创设有效的学习情景，不仅可以复习旧知，为本节课的学习奠定基础，而且这样设问可以提高学生的求知欲，激发学生学习的兴趣鼓励学生积极参与、主动思考，发挥学生学习的主体作用。解决方法 让学生拿出课前准备好的一条拉链，一块纸板，两枚图钉。介绍作图方法：在拉链拉开的两段上各选择一点，分别固定在纸板上的点 F1 ， F2处，取拉锁处为 M 点，由于拉链两段是等长的，则 ，设 ，把笔尖放在点 M 处，随着拉链的拉开或闭拢221FMa2在纸板上作图。(如图 1)。并由此提出思考：若动点 M 满足： ( 0)，应该a2
6、12怎样作图呢？让同桌两人一组，相互磋商、动手绘图，教师巡视，对有困难的小组予以帮助。然后选出一位学生代表叙述他们的画图过程，并展示画图结果。对完成较好的小组予以表扬，让学生充分体会到数学探索的乐趣和成功的喜悦。 设计意图 双曲线的定义为本节课的教学重点之一，为了突出重点，开展探究活动，让学生动手操作，亲身经历双曲线的形成过程学生完成作图后，再用课件演示作图过程，指出这一条曲线(图 1)就是满足：集合 的动点 M 的轨迹。若将上述集合改为， aMF P0211 图 1 图 2- 4 -，比较两集合的关系，取 ，同理可画出此时动， aMF P02122 aF21点 M 的轨迹(图 2)。设计意图
7、课件演示不仅增强动感，而且帮助学生克服在实际操作中的困难，体现数学的严谨性。观察、比较，归纳： 上面两条曲线合起来叫做双曲线，每一条叫做双曲线的一支。其中右边一支满足： ，左边一支满足：21MF21MF引导二：（1）在纸板上作图说明了什么？（2）根据上述绘图原理，双曲线上的动点 M 应满足什么条件？（3）常数 2a 与 有什么关系？21F教师引导学生观察、分析，并归纳结论： （1）平面内（2）动点 M 与两个定点 F1 ， F2的差的绝对值等于常数。（3） 210a并鼓励学生根据上述三点结论大胆归纳出双曲线的定义即为：平面内与两个定点 的差的绝对值等于常数(小于 )的点的轨迹叫做双曲线。21F
8、、 21F并引入双曲线焦点和焦距的概念：这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点的距离叫做双曲线的焦距。 设计意图按学生的认识规律与心理特征引导学生自己探索、分析，启发学生认识新的概念，这有利于学生对概念的全面理解，同时培养了学生从量变到质变的辨证思维。 并实现对数学图形，符号，文字三种语言的相互转化，渗透数形结合分析问题的数学思想方法。 引导三：如果改变常数 的范围（2 a= ，2 a=0， 2 a ） ，动点1F21F的轨迹会发生什么变化呢？解决方法教师让学生相互讨论 ，鼓励学生大胆阐述自己的结论，并运用课件进行演示，归纳出： 常数 2 a 动点 M 的轨迹(1) (02 a ) 双曲线MF21
9、21F- 5 -(2) 线段 F1 F2的延长线上2121Fa MF以 F2为端点的一条射线 段 F2F1的延长线上2112以 F1为端点的一条射线(3) 2 a = 0 段 F1 F2的中垂线(4) (违背了三角形三边长的关系) 不存在 1F设计意图通过教师的设问，启发学生思考，让学生在自主探索，合作交流中归纳概括出结论，培养学生发现问题，研究问题，解决问题的能力。上述结论是对满足集合的动点 M 的轨迹的全面说明。a M P21（三）类比探究 建立方程引导四：怎样建立双曲线的标准方程呢？ 解决方法 先引导学生回顾求曲线方程的一般步骤，然后循此步骤，并类比椭圆标准方程的推导过程，在教师的启发下
10、，由学生自主推导双曲线的标准方程。设计意图 通过学生对旧知识的回顾来了解学生对知识的掌握程度，同时让学生明确思维的目的，为下一步教学搭桥铺路第一步 建系：建立直角坐标系 ，使 轴经过点 ，并且xOy21F、点 与线段 的中点重合。21F（在回顾椭圆标准方程推导时如何建立坐标系后，建立起双曲线标准方程推导时的坐标系。 ）第二步 设点： 设 是双曲线上任意一点，双曲线的),(yxM焦距为 ，那么，焦点 的坐标分别是02c21F、( )、( )。又设点 与 的距离的差的绝对值等于常数 2 a。,、第三步 写点集：根据定义写出 M 点的轨迹构成的点集：P = M | |MF1 | |MF2 | = 2
11、 a 第四步 列方程：用坐标法表示条件 P（ M） ，列出方 f(x， y)=0，即： ycxycx)()( 22 图 3- 6 -第五步 化简：化方程 f(x， y)=0 为最简形式。将方程化简，得 )(2)( 222 acyaxc由双曲线的定义可知， ，即 ，所以 。令 ，022bac其中 ，代入上式，得0b22byxb两边除以 ，得出： 2a )0,(12a对此方程要强调：它是双曲线的焦点在 轴上的标准方程，焦点是：xF1 ( )、 F2 ( )，焦距 。0,c,c2设计意图 为了真正做到让学生主动思考、学习，让学生自己动手，独立的完成这个任务，从而进一步体会用坐标法求曲线方程的思想。前
12、四步学生容易掌握，第五步的二次根式较复杂，学生常因运算能力不强而功亏一篑。故在此，教师不失时机地加强了运算技能的训练。注意了引导学生比较椭圆标准方程推导中的二次根式的化简：平方，赋值，将含有两个根式之差的等式转化为含有 a， b， c 三字母的整式，再化为等号右端为 1 的方程形式。教师对个别有困难的学生进行必要的指导，并选一名学生在黑板上书写化简过程，然后教师点评。这一环节教学有助于突破本节的教学难点。 注 意：区别双曲线和椭圆的标准方程中 的关系：cba,双曲线： （ ， ）22bac0没 有 确 定 的 大 小 关 系与椭 圆： （ ）设计意图类比双曲线和椭圆标准方程中的 的关系，有助于
13、学生克服cba,椭圆学习中的思维定势。引导五：焦点在 轴上，并且点 O 与线段 的中点重合， 的意义同上，双曲线的y21Fcba,方程又如何呢 ？ - 7 -图 4解决方法先让学生作出图 4，引导学生观察、比较图 3 与图 4，并根据椭圆的焦点在 轴上的标准方程的推导方法，鼓励学生大胆猜想，归纳出：只需将上述标准方程中的 y、 互换，即：x设计意图该问的设置，一方面是为了得出焦点在 y 轴上的双曲线的标准方程；另一方面培养学生的类比能力，充分发挥学生的直觉思维和数学悟性。 调动了学生学习的主动性和积极性， 引导六：观察上述两个不同的标准方程，思考：（1）双曲线的标准方程有何特点?（2） 项的符
14、号与该双曲线的焦点所在位置有什么关系？2,yx解决方法 由学生小组交流，教师对学生的回答进行必要的点评，一定要让学生对上述问题的解答都有明确的认识。并归纳出：由双曲线标准方程确定焦点位置的方法：双曲线的焦点应在系数为正的那一项所对应的坐标轴上(正项定焦轴)。设计意图观察、比较，发现问题;概括、归纳，解决问题，不仅加强了学生对所学知识的进一步理解，而且培养了学生自主探究和鉴别的能力。为检验学生对上述结论的掌握情况布置课堂练习：判断下列双曲线的焦点所在坐标轴：（1） ；162 yx（2） ；492（3） 。152yx)0,(12baxy- 8 -(四) 实践探索 形成能力1 例题剖析，初步应用 已
15、知双曲线两焦点的坐标为 ，双曲线上一点 P 到 、 的距离的差的)0,5(,(21F1F2绝对值等于 6，求双曲线的标准方程。解决方法 课本例题，难度不大，但能起到及时对所学概念进行巩固训练的作用。教学中紧扣定义和标准方程的知识。由学生合作完成，再由学生代表发言，叙述解题过程，教师点评，板书规范的解题步骤。并指出：上述例题的求解运用了求曲线方程的基本方法之一： 待定系数法。设计意图数学概念是要在运用中得以巩固的，通过该例题使学生进一步理解双曲线的定义，掌握标准方程，使知识内化为智能。2 自我反馈，评价提高 （1）求适合条件 焦点在 轴上的双曲线的标准方程3,4bax设计意图检验学生对双曲线标准
16、方程结构特征的掌握情况。（2）填空：已知方程 表示双曲线，则 的取值范围是 。122mym设计意图区别双曲线的两种不同形式的标准方程，注意焦点位置的讨论。（3）证明椭圆 与双曲线的952x 焦点相同设计意图比较两种圆锥曲线标准方程中 的异同。cba,通过反馈练习，再次加强学生对新知识的掌握情况，并检验学生新的认知结构的形成和技能的发展状况，对教学中所出现的遗漏和不足给予即时补救。达到巩固，消化，检验新知识的目的。同时使学生获得的知识信息纳入长时记忆系统。（五）知识整理，纳入系统 1 知识点：(1)双曲线的定义，焦点，焦距的概念。(2)双曲线标准方程两类形式，如何由方程判定其焦点所在坐标轴。(3
17、) 的确定依据。ba,(4)与双曲线定义和标准方程有关的三个常数 间的关系（ 都为正常cba,cba,数，且 c 最大，结构类似勾股定理： ）221522yx- 9 -2 数学思想： 数形结合、等价转化。 3 数学方法： 观察、比较、概括、归纳、类比分析、待定系数法。设计意图 通过画龙点睛，提纲挈领的小结，将所学知识纳入已有的知识系统之中，形成学生自己的认知结构。突出重点，抓住关键，培养学生概括能力。通过提炼数学的基本思想方法，使学生掌握数学的精髓和本质，提高数学素养。（六） 分层作业，巩固提高 1 必做题：课本 P55习题 12 课后探究题：（1）求与双曲线 共焦点，且过点 的双曲线的方程；
18、4162yx)2,3(（2）当 时，方程 的曲线怎样变化？801sinco22yx设计意图第一部分为课本习题，全班学生必须完成，是基本要求。第二部分课后探究题，是较高要求，鼓励学有余力的学生完成。分层作业，既巩固知识，形成技能，利于教师发现教学中的遗漏和不足。又尊重了学生个体差异 ，因材施教，兼顾了学习有困难和学有余力的学生，满足了不同层次学生的学习需求，让他们的数学才能获得了最佳的发展。 板书设计标题：双曲线及其标准方程定义：（1） 形式一 )0,(12bayx（2） 形式二 ),(2双曲线： （ ，2bac0,）没 有 确 定 的 大 小 关 系与 ba椭 圆： （ ）22c 例题展示- 10 -
