圆锥曲线中的最值与定值问题（老师用）.doc-道客多多

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1、圆锥曲线中的最值与定值问题圆锥曲线中的最值问题【考点透视】圆锥曲线的最值问题，常用以下方法解决：当题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义，可考虑利用数形结合法解；函数值域求解法：当题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可先建立目标函数，再求这个函数的最值. 利用代数基本不等式，结合参数方程，利用三角函数的有界性。【题型分析】1.已知 P 是椭圆在第一象限内的点，A（2，0），B（0，1），O 为原点，求四边形 OAPB 的面积的最大值 214xy分析：设 P（ , ）， ,点 P 到直线 AB：x+2y=2 的距离cosin()|2sin(2|2i 4555d所求面积的最大值为

2、（椭圆参数方程，三角函数，最值问题的结合）2.已知点 M(-2，0)， N(2,0)，动点 P 满足条件 .记动点的轨迹为 W.|2MPNP（）求 W 的方程；（）若 A， B 是 W 上的不同两点， O 是坐标原点，求的最小值.AOB解：（）依题意，点 P 的轨迹是以 M， N 为焦点的双曲线的右支，所求方程为：（ x0）2y1 （）当直线 AB 的斜率不存在时，设直线 AB 的方程为 x x0，此时 A（ x0，）， B（ x0，）， 2 2 20 当直线 AB 的斜率存在时，设直线 AB 的方程为 y kx b，代入双曲线方程中，得：(1 k2)x22 kbx b220y

3、1 依题意可知方程 1有两个不相等的正数根，设 A(x1,y1),B(x2,y2)，则解得| k|1，22124()()00kbbxk又 x1x2 y1y2 x1x2（ kx1 b）（ kx2 b）OAB（1 k2） x1x2 kb（ x1 x2） b2 2k41 综上可知的最小值为 23.给定点 A(-2,2)，已知 B 是椭圆上的动点， F 是右焦点，当取得最小值时，试求 B 点的坐56y53ABF标。解：因为椭圆的，所以，而为动点 B 到左准线的距离。故本题可化35e513ABFBeF为，在椭圆上求一点 B，使得它到 A 点和左准线的距离之和最小，过点 B 作 l 的垂线，

5、 |2|AaPC，根据三角形中两边之差小于第三边，当 P 运动到与 B、C|2|10(|)PABa成一条直线时，便可取得最大和最小值。当 P 到 P“位置时，，有最大值，最大值|B|A为；当 P 到位置时，，有最小值，最小值为10|C|C|PB.|210B（数形结合思想、椭圆定义、最值问题的结合）5.已知 P 点在圆 x2+(y-2)2=1 上移动， Q 点在椭圆上移动,试求 |PQ|的最大值。219xy解：故先让 Q 点在椭圆上固定，显然当 PQ 通过圆心 O1时| PQ|最大，因此要求| PQ|的最大值，只要求| O1Q|的最大值.设 Q(x， y)，则| O1Q|2= x2

6、+(y-4)2 因 Q 在椭圆上,则 x2=9(1-y2) 将代入得| O1Q|2= 9(1-y2)+(y-4)2 287y因为 Q 在椭圆上移动，所以 -1y1，故当时，1max3Q此时 max3P【点睛】1.与圆有关的最值问题往往与圆心有关；2.函数法是我们探求解析几何最值问题的首选方法，其中所涉及到的函数最常见的有二次函数等，值得注意的是函数自变量取值范围的考察不能被忽视。6.已知的面积为，（1）设，求正切值的取值范围；OFQ26OFQm64OFQ（2）设以 O 为中心，F 为焦点的双曲线经过点 Q（如图），当取得最小值时，求2|,(1)OFcc|此双曲线的方程。解析：

7、（1）设 |cos()|in262FQmO46tan46m4ta1（2）设所求的双曲线方程为2 111(0,),(),(,)xyabQxyFxcy则，1|6OFQS146c又，m 2116(,0),)()(14FQxyxcc22116963,| .48cxcxy当且仅当时，最小，此时的坐标是或|O(,)(6,)，所求方程为226141aabb 21.4xy（借助平面向量，将三角形、圆锥曲线最值、求曲线方程、基本不等式等多个知识点有机的结合起来，综合考察学生应用相关知识点解题的能力）7.如图所示，设点，是的两个焦点，过的直线与椭圆相交于两点，求的面积的1F2213xy2F

8、A、 B1FA最大值，并求出此时直线的方程。分析：，设，，则12112FBFABSSA1(,)xy2(,)B 112212|(1)FAByycS设直线的方程为代入椭圆方程得AB1xky2(3)40kyk12244,3y即 12222(1)3| 1kk令，，（）利用均值不等式不能区取“”2tk14FABtSt利用（）的单调性易得在时取最小值()ftt1t在即时取最大值为，此时直线的方程为1FABSt0k43AB1x（三角形问题、直线方程、最值问题、函数单调性的综合应用）（从特殊入手，求出定点（定值），再证明这个点（值）与变量无关。）8设椭圆方程为，过点 M（

9、0，1）的直线 l 交椭圆于点 A、 B， O 是坐标原点，点 P 满足42yx O(21，点 N 的坐标为，当 l 绕点 M 旋转时，求（1）动点 P 的轨迹方程；（2）的最小值与最大值.OA)B),( |N【专家解答】（1）法 1：直线 l 过点 M（0，1）设其斜率为 k，则 l 的方程为 y=kx+1.记 A(x1,y1),B(x2,y2)，由题设可得点 A、 B 的坐标 ( x1,y1)、 ( x2,y2)是方程组的解. 将代入并化简得(4+ k2)x2+2kx-3=0，42k所以 .48,2221kyx于是 ).4,()2,()( 2211 kyxOBAP 设点 P 的坐标为

10、( x,y), 则消去参数 k 得 4x2+y2-y=0 .4,2kyx当 k 不存在时， A、 B 中点为坐标原点（0，0），也满足方程，所以点 P 的轨迹方程为 4x2+y2-y=0 解法二：设点 P 的坐标为( x,y)，因 A(x1,y1),B(x2,y2)在椭圆上，所以 ,121yx .42得，0)(412所以 .0)(41)( 2122121 yyxx当时，有 211x并且将代入并整理得 4 x2+y2-y=0 .1,2,21xyyx当 x1=x2时，点 A、 B 的坐标为（0，2）、（0，2），这时点 P 的坐标为（0，0）也满足，所以点 P 的轨迹方程为 .14)

11、(162yx（2）由点 P 的轨迹方程知所以.,2即127)6(3)2()()1(| 2 xxyxN故当，取得最小值，最小值为4| 1;4当时，取得最大值，最大值为16x|P.69.椭圆 E 的中心在原点 O，焦点在轴上，其离心率 , 过点 C（1,0）的直线与椭圆 E 相交于 A、B 两点，x32el且满足点 C 分向量的比为 2.BA（1）用直线的斜率 k ( k0 ) 表示OAB 的面积；（2）当OAB 的面积最大时，求椭圆 E 的方程。l解：（1）设椭圆 E 的方程为 ( a b0 )，由 e =12yax32ac a2=3b2 故椭圆方程 x2 + 3y2 = 3b

12、2 设 A(x1,y1)、 B(x2,y2),由于点 C（1，0）分向量的比为 2，AB 即 321 21)1(yx由消去 y 整理并化简得 (3 k2+1)x2+6k2x+3k23 b2=0)(xkyb由直线 l 与椭圆 E 相交于 A（ x1,y1）, B(x2,y2)两点得：13602212kbxABC的内分点）是恒成立（点而 S OAB |1|23|)1(|23| 2 xkxkyyy由得: x2+1= ，代入得： S OAB = 132k 0（2）因 S OAB= ,23|2k当且仅当 S OAB取得最大值,3k此时 x1 + x2 =1, 又 =1 x1=1,x2

13、 =221x将 x1,x2及 k2 = 代入得 3b2 = 5 椭圆方程 x2 + 3y2 = 5 10.我们把由半椭圆与半椭圆合成的曲线称作“果圆” ，其中12yax(0) 12cxb(0)x，， 22cba0cb如图，设点，，是相应椭圆的焦点， F12，和，是“果圆” 与，轴1A2Bxy的交点，是线段的中点M21A（1）若是边长为 1 的等边三角形，0F（2）求该“果圆”的方程；（2）设是“果圆”的半椭圆上任意一点求证：当取得最小值时，在点P2cxby(0) PMP或处；12B， 1A（3）若是“果圆”上任意一点，求取得最小值时点的横坐标P

14、M解：（1），22012()00FcbcFbc，，，，，yO1A2B2A1B.MF02x.，于是，22 202 121FbcbFbc， 2223744cabc，所求“果圆”方程为， 4(0)7xyx 4(0)3yx（2）设，则()Py， 2| caM， 2 2()1() 04bxcbcxc ，，的最小值只能在或处022|PMc取到即当取得最小值时，在点或处 12B， 1A（3），且和同时位于“果圆”的半椭圆和半椭圆|21A21(0)xyxab上，所以，由（2）知，只需研究位于“果圆”的半椭圆上的情形即可 2(0)yxbc P22| ycaPM 222

15、22 4)()()( cbcax 当，即时，的最小值在时取到，2()xc c 2|PM2)(ax此时的横坐标是 P2)(a当，即时，由于在时是递减的，的最小值在时取到，cx2)(c2|Pax2|PMax此时的横坐标是 a综上所述，若，当取得最小值时，点的横坐标是；2c |M2)(c若，当取得最小值时，点的横坐标是或 ca2|PPac11. P、Q、M、N 四点都在椭圆上，F 为椭圆在 y 轴正半轴上的焦点。已知与共线，与xy21PFQMF共线，且。求四边形 PMQN 的面积的最小值和最大值。FF0分析：显然，我们只要把面积表示为一个变量的函数，

16、然后求函数的最值即可。解：如图，由条件知 MN 和 PQ 是椭圆的两条弦，相交于焦点 F（0，1），且 PQMN，直线 PQ、MN 中至少有一条存在斜率，不妨设 PQ 的斜率为 k，又 PQ 过点 F（0，1），故 PQ 方程为。代入椭圆方程得ykx1212kx设 P、Q 两点的坐标分别为，则：xy12，，，xkk1222，从而 PQxykPQk212122281，当时，MN 的斜率为，同上可推得k0kMNk2122故四边形面积SPQMNkk124124215222令，得uk2uu4515因为，此时，且 S 是以 u 为自变量的增函数，所以21k269，，。169S当

17、时，MN 为椭圆长轴，k0MNPQ22，PQ2综合知，四边形 PMQN 面积的最大值为 2，最小值为。16912. 已知抛物线，过 M（a，0）且斜率为 1 的直线与抛物线交于不同的两点ypxlA、B，。p2（1）求 a 的取值范围；（2）若线段 AB 的垂直平分线交 x 轴于点 N，求NAB 面积的最大值。分析：这是一道直线与圆锥曲线位置关系的问题，对于（1），可以设法得到关于 a 的不等式，通过解不等式求出 a的范围，即“求范围，找不等式” 。或者将 a 表示为另一个变量的函数，利用求函数的值域求出 a 的范围。对于（2）首先要把NAB 的面积表示为一个变量的函数，然后再求它的最

18、大值。解：（1）直线的方程为：，将代入抛物线方程，设得lyxyxaypx2xapx220设直线与抛物线两交点的坐标分别为，则l AxyBxy12，，，并且4021apxaa12，ABxyxxpa12121212482又 080pa，所以解得： pa24（2）令 AB 中点为 Q，SABNABpN122|即NAB 的面积的最大值为。p圆锥曲线中的定值问题【热点透析】圆锥曲线中的定值问题是高考命题的一个热点，也是圆锥曲线问题中的一个难点解决这个难点的基本思想是函数思想，可以用变量表示问题中的直线方程、数量积、比例关系等，这些直线方程、数量积、比例关系等不受变量所影响的一个值，就

19、是要求的定值具体地说，就是将要证明或要求解的量表示为某个合适变量的函数，化简消去变量即得定值在圆锥曲线中，某些几何量在特定的关系结构中，不受相关变元的制约而恒定不变，则称该变量具有定值特征解答此类问题的基本策略有以下两种：1、把相关几何量的变元特殊化，在特例中求出几何量的定值，再证明结论与特定状态无关2、把相关几何量用曲线系里的参变量表示，再证明结论与求参数无关【题型分析】1.过抛物线：（ 0）的焦点作直线交抛物线于两点，若线段与的长分别为，m2yaxFl,PQPFQ,pq则的值必等于（） 1pqA B C D2a12a4a4a解法 1：（特殊值法）令直线与轴垂直，则

20、有：，所以有lxly12pq1pqa解法 2：（参数法）如图 1，设，且，分别垂直于准线于 1(,)Pxy2(,)QPMN,MN，4pMa14qya抛物线（ 0）的焦点，准线来源:Zxxk.Com2yx(0,)F ：l1k又由，消去得m22168()0ayy ， 1212,6ka2121221,()464kpqpyyaa 14【难点突破】2.若 AB 是过椭圆中心的一条弦, M 是椭圆上任意一点,且 AM,BM 与坐标轴不平行, ,分别表示直线 AM,BM 的斜率,则 =( ) A. B. C. D.【答案】B【解析】本题可用特殊值法不妨设弦 AB 为椭圆的短轴 M 为椭圆的右顶点，则 A(0， b)， B(0， b)， M(a，0)所以故选 B3.已知 F1、F 2是两个定点，点 P 是以 F1和 F2为公共焦点的椭圆和双曲线的一个交点，并且 PF1PF 2，e 1和 e2分别是上述椭圆和双曲线的离心率，则有 A. + =4 B. + =2C.e12+e22=4 D.e12+e22=2【答案】B 设椭圆长轴长为 2a1,双曲线实轴长为 2a2,焦距均为 2c,PQMNFOyx图 1

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