圆锥曲线中的取值范围最值问题.doc-道客多多

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1、圆锥曲线中的最值取值范围问题90.已知 12,F分别是双曲线2xyab=l（a0，b0）的左、右焦点，P 为双曲线上的一点，若 0129P,且的三边长成等差数列又一椭圆的中心在原点，短轴的21F一个端点到其右焦点的距离为 3，双曲线与该椭圆离心率之积为 563。（I）求椭圆的方程；（）设直线与椭圆交于 A，B 两点，坐标原点 O 到直线 l 的距离为 2，求AOBl面积的最大值90.解：设，不妨 P 在第一象限，则由已知得nFmP|,|21,065.2,)(222cacna ,0562e解得（舍去）。设椭圆离心率为 15e或 .3,则 .36可设椭圆的方程为 .,12cbyax半焦

3、y，F 为焦点。（1）过曲线上 C 一点 0(,)P（ 0）的切线 l与 y 轴交于 A，试探究|AF|与|PF|之间的关系；（2）若在（1）的条件下 P 点的横坐标 02x，点 N 在 y 轴上，且|PN|等于点 P 到直线0y的距离，圆 M 能覆盖三角形 APN，当圆 M 的面积最小时，求圆 M 的方程。85.74.已知椭圆的长轴长为，离心率为，分别为其21:(0)xyCab4212,F左右焦点一动圆过点，且与直线相切2F1x() () 求椭圆的方程； ()求动圆圆心轨迹的方程；1 C() 在曲线上有四个不同的点，满足与共线，与QPNM,2N2P共线，且，求四边

4、形面积的最小值2QF02P74.解：()( )由已知可得，31242cabcaea则所求椭圆方程 .34:21yxC()由已知可得动圆圆心轨迹为抛物线，且抛物线的焦点为，准线方程C)0,1(为，则动圆圆心轨迹方程为 . x xy4:2()由题设知直线的斜率均存在且不为零PQMN,设直线的斜率为，，则直线的方程为：)0(k),(),(21NMN)1(xky联立消去可得 C4:2y0422kxx由抛物线定义可知: 222122 4| kkxNFM同理可得 4kPQ又 3)1(8)4)(|1 222 SN(当且仅当时取到等号)所以四边形面积的最小值为 .369.如图，已知

5、直线 l：与抛物线 C：交于 A，B 两点，为2ykx2(0)xpyO坐标原点，。(4,1)OAB（）求直线 l 和抛物线 C 的方程；（）抛物线上一动点 P 从 A 到 B 运动时，求ABP 面积最大值69.解：（）由得, 2ykxp240,kxp设 1,Ax则 221212,kyxk因为 = ,4OBp 1,所以解得 24.pk.k所以直线的方程为抛物线 C 的方程为l,yx2.xy（）方法 1：设依题意，抛物线过 P 的切线与平行时，APB 面积最大，0(,)Pl，所以所以yx02,2001,y(2,).P此时到直线的距离 l2()45,d由得，2,yx240

6、,x21212|()(4)410ABkABP 的面积最大值为4508（）方法 2：由得， 2,yx24,x9 分21212|()(4)410ABk 设，21(,)Pt(22)t因为为定值，当到直线的距离最大时，ABP 的面积最大，ABPld22()4,5(1)ttd因为，所以当时， max= ，此时 2t2td45(2,).PABP 的面积最大值为45108266.椭圆与椭圆交于 A、B 两点，xybayx 直线倍的长轴为短轴的 ,3)(2C 为椭圆的右项点， .23OCA（I）求椭圆的方程；（II）若椭圆上两点 E、F 使面积的最大值OEFA求),20(,6

7、6.解：（I）根据题意，设 A),0(,3aCb .1,2btat则解得 ,2,422tabt 即,233),0(),3( baOCAaOA,1ab.132yx椭圆方程为（）设 ),(),(),( 021 yxMEFE中点为 ,OAFE,232,102yx ,13, 221yx则在椭圆上由-得 ,032121yx ,3131221yxxykEF直线 EF 的方程为即),43(4x,y代入并整理得， ,01322y ,41,23211 y|)()(| 12121xEF,4043102 又 ,103),( hEFO的距离为到直线原点43|212hSEF,23)(

8、4322当 .,面积的最大值为所以时等号成立 OEF63.已知椭圆 C2:14yx，过点 M(0, 1)的直线 l 与椭圆 C 相交于两点 A、 B.（）若 l 与 x 轴相交于点 P，且 P 为 AM 的中点，求直线 l 的方程；（）设点 (0,)2N，求 |ANB的最大值. 63. （）解：设 A(x1, y1)，因为 P 为 AM 的中点，且 P 的纵坐标为 0，M 的纵坐标为 1，所以 102y，解得1y，又因为点 A(x1, y1)在椭圆 C 上，所以 214x，即 14x，解得132x，则点 A 的坐标为 3(,)或 (,)，所以直线 l 的方程为40y，

9、或 430xy. （）设 A(x1, y1)，B(x 2, y2)，则 121(,),(,),NAxyNBxy所以 1,N，则 211|()当直线 AB 的斜率不存在时，其方程为 0x， (,)0,)，此时 |NAB；当直线 AB 的斜率存在时，设其方程为 yk，由题设可得 A、 B 的坐标是方程组 214x的解，消去 y 得 2(4)30kx所以 22122()1(4)0,kkkx，则 1228yx，所以222|()(1)14(4)kkNAB，当 0k时，等号成立 , 即此时 |NAB取得最大值 1. 综上，当直线 AB 的方程为 0x或 1y时， |N有最大值 1. 50.已知点 A 是

10、抛物线 y22px（p0）上一点，F 为抛物线的焦点，准线 l 与 x 轴交于点K，已知AK AF，三角形 AFK 的面积等于 8（1）求 p 的值；（2）过该抛物线的焦点作两条互相垂直的直线 l1， l2，与抛物线相交得两条弦，两条弦的中点分别为 G，H.求GH的最小值50.解：（）设 0,Axy，因为抛物线的焦点 , ,022ppFlxKAMl准线的方程为：作于，则 0,MxAKAKMA又得，即为等腰直角三角形，000, ,22ppxyxx,即，而点 A 在抛物线上，200,.x,于是.2009032720090327又2018,4.2AFKpSy

11、故所求抛物线的方程为 28yx.6 分（2）由 x8，得 ),(，显然直线 1l， 2的斜率都存在且都不为 0.设 1l的方程为 ky，则 2l的方程为 )(xky.48.椭圆的中心为原点 O，焦点在 y轴上，离心率 63e，过 (0,1)P的直线 l与椭圆交于A、 B两点，且 2PB，求 A面积的最大值及取得最大值时椭圆的方程48.解：设椭圆的方程为 ),0(12baxy直线 l的方程为 1kxy，),(),(21xByA、2231,36ace，则椭圆方程可化为 12by即 22byx，联立 132kxy得 03)(2k （*）有 ,221而由已知 PBA有 21x，代入得 223k所以 |

12、3|23| 21 kxxOPSAB ，当且仅当 3k时取等号由 22x得 x，将 3,3xk代入（*）式得 352b所以 AOB面积的最大值为 3，取得最大值时椭圆的方程为 152xy46.已知椭圆的右焦点为 F，上顶点为 A，P 为 C 上任一点，MN21:0)xyCab（ 1是圆的一条直径，若与 AF 平行且在 y 轴上的截距为的直线恰2:(3) 32l好与圆相切。（1）已知椭圆的离心率；1（2）若的最大值为 49，求椭圆 C 的方程.PMN146.解：（1）由题意可知直线 l 的方程为，因为直线与圆0)23(ccybx相切，所以 =1，既从而1)3(:22yxc 2d

13、,2a;e（2）设则),(yxp)0(122cyc 222) NCPCMPN又 )(173(1)3(222 cycyx 当此时椭圆方程为,4,9max)2c 解得时， 1632yx当解得但,9217)3(302CPNM时， 5c故舍去。,25c综上所述，椭圆的方程为 1632yx25.已知椭圆21:(0)Cab的离心率为 3，直线 l: 2yx与以原点为圆心、以椭圆的短半轴长为半径的圆相切.（I）求椭圆 1的方程；（II）设椭圆的左焦点为 1F，右焦点 2，直线 1l过点 F且垂直于椭圆的长轴，动直线 2l垂直于点 P，线段垂直平分线交 2于点 M，求点的轨迹 2C的方

14、程；（III）设 2C与 x轴交于点 Q，不同的两点 SR,在 2C上，且满足 0,QRS求QS的取值范围.25.解：（）22231, ,3cabe ab直线220: yxyxl 与圆相切， ,2 32a 椭圆 C1 的方程是 132（）MP=MF 2，动点 M 到定直线 1:1xl的距离等于它到定点 F1（1，0）的距离，动点 M 的轨迹是 C 为 l1 准线，F 2 为焦点的抛物线点 M 的轨迹 C2 的方程为 xy42（）Q（0，0），设 ),4(),(212ySyR,4),4(2212SyR 0 0)(16)(121yy ,121y，化简得 )16(2y 43535612 y当且

15、仅当 ,16,212yy时等号成立 644)8(4)(| 222 yQS ，又当 |5|8,64min22 QSSy，故时，的取值范围是 ),588. 8.已知点 P（4，4），圆 C：与椭圆 E：有2()(3)xym21(0)xyab一个公共点 A（3，1），F 1、F 2 分别是椭圆的左、右焦点，直线 PF1 与圆 C 相切（）求 m 的值与椭圆 E 的方程；（）设 Q 为椭圆 E 上的一个动点，求的取值范围APQ【解】（）点 A 代入圆 C 方程，得 m3，m 12(3)15圆 C：设直线 PF1 的斜率为2xyk，则 PF1：，(4)k即 0xy直线 PF1 与圆

16、 C 相切，2|04|5k解得 1,k或QPOyxF1AC F2当 k 时，直线 PF1 与 x 轴的交点横坐标为，不合题意，舍去12 361当 k 时，直线 PF1 与 x 轴的交点横坐标为4，c4F 1（4，0），F 2（4，0） 2aAF 1AF 2 ，，a 218，b 22椭圆 E 的方程为：56238xy（），设 Q（x，y），，(1,3)AP (3,1)Axy)36x ，即，而，186xy18218y2(18xy2(3)|3|xyxy则的取值范围是0， 36 的取值范围是2(3)6x6，6 的取值范围是12，0 APQy12. 12.已知直线与曲线交于不同的两

17、点，1:xl:C12byax)0,(bBA,为坐标原点O（）若，求证：曲线是一个圆；|BA（）若，当且时，求曲线的离心率的取值范ba210,6Ce围【解】（）证明：设直线与曲线的交点为lC),(),(21yxBA 即：|OBA221yxyx21 在上221yxB, ，2ba12ba两式相减得：即： )(2121yx12ba2ba曲线是一个圆C（）设直线与曲线的交点为，l ),(),(21xBA0曲线是焦点在轴上的椭圆 CxOBA 即： 121yx2121xy将代入整理得：02baxb)( 22 ab ， 221bx221)(bax在上 BA,l 1)

18、1(21211 xxy又 221xy02x2 2)(ba 01)(2ba22ba 2cc 024c 1)(22a 112)(22 aae 0,64,43,223,e15.已知动点 A、B 分别在 x 轴、y 轴上，且满足|AB|=2，点 P 在线段 AB 上，且设点 P 的轨迹方程为 c。).(是不为零的常数tP（1）求点 P 的轨迹方程 C；（2）若 t=2，点 M、N 是 C 上关于原点对称的两个动点（M、N 不在坐标轴上），点 Q坐标为求QMN 的面积 S 的最大值。),32(15.【解】（1）设 ),(,0),(yxPbBaA分为轨迹方程点即由题意知则

19、分即 41)(4)1(: )()(2| ,0,1)()( 2), 22222 tytxCPttbaABtytxytxbtaPBtA（2）t=2 时， 69422yx为1212 12121211211194 8|3|3|7|3| )0(, .(),(yxxS xyyxhMNQxyyMNyxQMN 分分距离为到点的方程为设直线则则设分的最大值为等号成立时即当且仅当分而又 122,439492164912 1122 2121QMNQMNSyxyxyxxyS25.已知椭圆21:(0)xyCab的离心率为 3，直线 l: 2yx与以原点为圆心、以椭圆 1C的

20、短半轴长为半径的圆相切.（I）求椭圆的方程；（II）设椭圆的左焦点为 1F，右焦点 2，直线 1l过点 F且垂直于椭圆的长轴，动直线 2l垂直 1于点 P，线段垂直平分线交 2于点 M，求点的轨迹 2C的方程；（III）设 2C与 x轴交于点 Q，不同的两点 SR,在 2C上，且满足 0,QRS求QS的取值范围.25.解：（）22231, ,3cabe ab直线220: yxyxl 与圆相切， ,2 32a 椭圆 C1 的方程是 132（）MP=MF 2，动点 M 到定直线 1:1xl的距离等于它到定点 F1（1，0）的距离，动点 M 的轨迹是 C 为 l1 准线，F 2 为焦点的抛

21、物线点 M 的轨迹 C2 的方程为 xy42（）Q（0，0），设 ),4(),(212ySyR,4),4(2212SyR 0 0)(16)(121yy ,121y，化简得 )16(2y 43535612 y当且仅当 ,16,212yy时等号成立 644)8(4)(| 222 yQS ，又当 |5|8,64min22 QSSy，故时，的取值范围是 ),5837.已知点 ,点 (其中 )，直线、都是圆(0)Bt,)Ct0tPBC:M的切线12yx（）若面积等于 6，求过点的抛物线的方程；PBCP)0(2pxy（）若点在轴右边，求面积的最小值yBC37.解：(1) 设，由已知，),(pyP0px，)6,3(,6421pPxSppPBC 设直线 PB 与圆 M 切于点 A， 01又，5,2,)2( PMAPBC6,564px3y2(2) 点 B（0，t），点，)40(t进一步可得两条切线方程为：，48215:,21: txtyPCtxyPB，，482521txttxt pp 42tp，，30,40pp或38,0ppx，又时，，162PBCxS2t16PBCS面积的最小值为

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