1、1-4-2-1 周期函数命题方向 1 三角函数的周期1、求下列函数的周期来源:学优高考网 gkstk(1)y cos2x；(2)y sin x；12(3)y 2sin ；来源:学优高考网(x3 6)(4)y 2cos ；( 12x 1)(5)y |sin2x|.解析 (1)把 2x 看成一个新的变量 u，那么 cosu 的最小正周期是 2，这就是说当 u 增加到 u2 且至少增加到 u2 时，函数cosu 的值重复出现而 u22x22( x)，所以当自变量 x增加到 x 且至少增加到 x 时，函数值重复出现，因此ycos2 x 的周期为 .(2)如果令 t x，则 ysint 是周期函数，且周
2、期为 2.sin12 sin x，(12x 2) 12即 sin sin x.ysin x 的周期为 4.12x 4 12 12(3)2sin 2sin .(x3 6 2) (x3 6)即 2sin 2sin .来源:学优高考网 gkstk来源:学优高考网13x 6 6 (x3 6)y2sin 的周期是 6.(x3 6)(4)y 2cos 2cos ，( 12x 1) (12x 1)T 4.212(5)因为 y sin2x 的周期是 ，故 y|sin2x |的图象是将22ysin2 x 在 x 轴下方的部分折到 x 轴上方，并且保留 x 轴上方图象而得到的，因此周期 T .22、求下列函数的最
3、小正周期(1)y sin(3x )；3(2)y |cos(2x )|；6(3)y sin( x )来源:gkstk.Com2 4解析 (1) 3，T .23(2)函数 ycos(2x )的最小正周期为 ，而函数 y|cos(2 x6)|的图象是将函数 y cos(2x )的图象在 x 轴下方的部分对折到 x6 6轴上方，并且保留在 x 轴上方图象而得到的，由此可知所求函数的最小正周期为 T .2(3) ，T 2.2 22命题方向 2 函数周期性的规律1、已知定义在 R 上的函数 yf(x )满足 f(x)f(x 1)，求证：函数 yf(x )是周期函数证明 xR 时 f(x)f(x 1)f(x
4、1) f(x 1) 1 f (x2)f(x) f (x2)f (x2)函数 y (x)是一个周期函数，2 是它的一个周期2、探索 1：将例 2 中的条件 f(x)f(x1)改为 f(x) 其1fx 1它不变证明 f(x)1fx 1f(x1) 1fx 2f(x) f( x 2)11fx 2f(x)是以 2 为周期的周期函数3、探索 2：条件改为 f(x2) f(x2)呢？证明 令 x2t，则 xt2，于是由 f(x2)f(x2)，得f(t)f(t2)2 f(t4)f(t)f(t 4)f(x4) f(x)函数 y f(x)是周期函数，4 是一个周期命题方向 3 函数周期的应用1、设偶函数 f(x)
5、对任意的 xR，都有 f(x3) ，且当1fxx 3，2 时，f( x)2x ，则 f(113.5)的值是 ( )A B. C D.27 27 15 15解析 由于 f(x3)3 ，而 f(x3) ，则1fx 3 1fxf(x 6)f(x) ，即函数的周期为 6，于是 f(113.5)f (1960.5)f ( 0.5)， f(0.5) ，又函数为偶函数，因此1f3 0.5 1f2.5f(2.5)f(2.5)2(2.5)5，因此 f( 0.5) 1f2.5 1 5，也即 f(113.5) .选 D.15 152、设 f(x)是以 1 为一个周期的函数，且当 x(1,0) 时，f (x)2x 1，求 f( )的值72解析 f(x)是以 1 为一个周期的函数，f f ，(72) (72 4)从而 f f .(72) ( 12)又当 x(1,0)时，f(x)2x 1，f f 2 10.(72) ( 12) ( 12)
