1、 1辅导讲义年 级：初三 辅导科目：数学 教学内容一、同步知识梳理知识点 1：圆的定义圆的定义有以下两种：（1）在同一平面内，一条线段 OP 绕它固定的一个 O 旋转一周，另一个 P 所经过的封闭曲线叫做圆。定点 O 就是圆心，线段 OP 就是圆的半径。以点 O 为圆心的圆，记作“O” ，读作“圆 O”。这是圆的描述性定义，由定义也可以看出：确定圆的两个条件是圆心和半径，圆心确定圆的位置，圆的半径确定圆的大小；要注意圆是指“圆周” ，而非“圆面” 。（2）平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆。定点叫做圆心，定长叫做半径。这是圆的点集定义，它包括两个方面的含义：圆上各点到定点（即圆
2、心）的距离等于定长（即半径 r） ；到定点距离等于定长的点都在圆上。思考：点与圆的位置关系：如果O 的半径为 r，点 P 到圆心的距离为 d，那么点 P 在圆内 ；点 P 在圆上 ；点 P 在圆外 .思考：同圆，等圆的概念题型 1：圆的定义例 1：半径相等如图，已知 CD 是O 的直径，EOD78，AE 交O 于点 B，且 ABOC，求A 的度数解析 EOD 78与未知角 A 构成了内、外角关系，而E 也是未知角，且 ABOC 这一已知条件不能直接用，故可考虑用“同圆半径相等”来解2解 连接 OB.ABOC ，OB OC，ABOB. AAOB.又OBOE，EOBEAAOB2A.DOE EA3A
3、，A26. 点评 利用“同圆的半径相等”构造等腰三角形解题是本题得解的关键检测题 1：如图，在ABC 中，ACB=90，A=40；以 C 为圆心、CB 为半径的圆交 AB于点 D，求ACD 的度数例 2：点和圆的位置关系已知线段 AB 的长为 4cm，试用阴影表示到点 A 不小于 3cm，且到点 B 小于 2cm 的点的集合解 根据题意作出图形，如图所示，其中阴影部分即为所求点评 解决这类问题的关键是正确掌握点和圆的位置关系检测题 2：如图，已知矩形 ABCD 的边 AB3cm，AD4cm.(1)以点 A 为圆心， 4cm 为半径作 A，则点 B、C 、D 与A 的位置关系如何？(2)若以点
4、A 为圆心作 A，使 B、C 、D 三点中至少有一点在圆内，且至少有一 点在圆外，则A 的半径 r 的取值范围是多少？解 (1)AB 3cm4cm，点 B 在A 内AD4cm，点 D 在A 上又AC 5cm 4cm，点 C 在A 外32 42(2)AB 3cm，AD4cm，AC5cm，也就是说，B 点到圆心 A 的距离 3cm 是最短距离，C 点到圆心 A 的距离 5cm 是最长距 离使 B，C ，D 三点中至少有一点在圆内且至少有一点在圆外，A 的半径 r 的取值范 围是3cmr5cm.点评 (1)点与圆的位置关系，与点到圆心的距离(d)，圆的半径(r) 之间的大小关系有着紧密联系，是“数”
5、与“形”的结合(2)判断点和圆的位置关系，主要是把点到圆心的距离(d)与圆的半径(r) 的大小进行比较当 dr 时，点在圆内；当dr 时，点在圆上；当 dr 时，点在圆外知识点 2：圆中的基本线段定义BACD31：连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径2：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每条弧都叫做半圆大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧3：顶点在圆心的角叫做圆心角4：圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆能够互相重合的两个圆叫做等圆在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧5：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量
6、相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等例 1：下列说法中正确的是_(填序号)圆是轴对称图形，每一条直径都是它的对称轴；在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它所对的两条弧也相等；平分弦的直径垂直于这条弦；垂直于弦的直径平分这条弦解析 圆是轴对称图形，它的对称轴是经过圆心的每条直线而不是直径，所以不正确；因为一条弦对两条弧，所以也不正确；因为直径是弦，所以也不正确答案 点评 对于概念辨析题，进行比较或举出反例是解决这一类题的关键检测题 1：下列说法中，正确的有_(填序号)弦是直径；半圆是弧，但弧不一定是半圆；半径相等的两个半圆是等弧；直径是圆中最长的弦解析 直径经过圆心，弦不一定是直径，故错误
7、是正确的答案 点评 (1)注意易混淆概念的区别与联系，通过比较进行解题(2)要注意运用数形结合思想，看到概念联想有关图形，看到图形联想有关概念知识点 3：1：垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧2：圆周角:顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于该弧所对的圆心角的一半3:直径(或半圆)所对的圆周角是直角90的圆周角所对的弦是直径;例 1：如图，已知O 中 的度数是 度数的 2 倍，则 AB 与 2CD 的关系是( )AB CDAAB2CD BAB2CD CAB2CD D无法确定解析 取 的中点 E，连接 AE、BE，由题意知 ，AEBEC
8、D.在ABE 中，AEBEAB，即AB AE BE CD2CDAB.答案 C4点评 同圆或等圆中，等弧对等弦但不能把这一结论推广成弧与所对的弦成正比例关系检测 1：如图，ABC 内接于O，A=30，若 BC=4cm，则O 的直径为（ ）A6cm B8cm C10cm D12cm例 2：如图，已知 的半径为 ， 是直径 同侧圆周上的两点， 的度数为 ， 的度数为 ，动OARCD， ABAC96ABD36点 在 上，求 的最小PBPC解：连接 DC，根据题意以及垂径定理，得弧 CD 的度数是 120，则COD=120 度作 OECD 于 E，则DOE=60，则 DE= R，CD R323测试题 2
9、 ：已知：如图， 是 的直径，点 是半圆上一个三等分点，点 是 的中点， 是 上一动点，MNO ABANPMN的半径为 ，则 的最小值是_O 1PAB例 1：如图，AB 是半圆的直径，D 是 的中点，ABC40，求A 的度数AC解 连接 BD.D 是 的中点，AC .ABDCBD ABC20.AD DC125AB 是半圆的直径，ADB90.又ABD20，A 180ABDADB70.点评 (1)构造直径所对的 90圆周角是解决与圆相关问题的常用辅助线，这样为勾股定理的运用、相似三角形的产生创造了条件(2)“90的圆周角所对的弦是直径”是确定一个圆的圆心的重要方法例 2：已知：如图，四边形 ABC
10、D 是O 的内接四边形，BOD=140，则DCE= 07. 例 3 ：已知：如图， 为 的直径， 交 于点 ， 交 于点 ABO ABC， O DACO 45EBAC， （1）求 的度数；EC（2）求证： D例 4：如图，O 直径 AB 和弦 CD 相交于点 E，AE=2，EB=6，DEB=30，求弦 CD 长BACEDO一、专题精讲 半径相等 例 1：与勾股定理结合如图，两正方形彼此相邻且内接于半圆，若小正方形的面积为 ，则该半圆的半径为_216cm例 2：与中心对称图形结合如图， 的直径 AB=4，半径 ,D 为 上一点， ,垂足分别为 E,F，求 EF 的长。OAOCAB,DEOCFAB
11、AOECDB6例 3：用于几何证明已知：如图，BD、CE 是ABC 的高，试说明点、 C、D 、E 在同一个圆上二、专题精讲 垂径定理 例 1：求弦求半径在半径为 5cm 的圆中，弦 ABCD，AB6cm，CD8cm，求弦 AB 与弦 CD 之间的距离解析 要求两弦之间的距离，可以过圆心作弦的垂线段，这样把半径、弦长、弦心距转化到一个直角三角形中，从而求得解 分两种情况：当弦 AB、CD 在圆心的同侧，如图所示，过 O 作 OEAB，垂足为 E，交 CD 于点 F，连接 OA、OC，再由垂径定理可得：AEEB AB3cm，CFFD CD 84(cm)12 12 12在 Rt OAE 中，OE
12、4(cm)OA2 AE2 52 32同理 OF3cm.AB 与 CD 之间的距离 EFOEOF431(cm)当弦 AB、CD 在圆心 O 的异侧时，如图所示，同可求得 OE4cm ，OF 3cm ，则弦 AB 与 CD 之间的距离EFOEOF437(cm)弦 AB 与 CD 之间的距离是 1cm 或 7cm.点评 图形位置关系的确定是几何的重要方向，应考虑到图形的所有可能情况，全面地思考问题BACDE7例 2：几何证明如图，点 O 是RPS 的平分线 PQ 上一点，以 O 为圆心的圆分别交角的两边于 A，B 和 C，D，PQ 交O 于E，F.(1)求证：PBPD ；(2)若O 逐渐向左移动，当
13、点 P 与点 O 重合时，如图所示，PB PD 成立吗？若O 继续向左沿直线 PQ 移动，直至点 P 与点 F 重合时停止(除去点 P 与点 F 重合时的情况)，PBPD 仍成立吗？若不成立，请说明理由；若成立，请加以证明解析 (1)过 O 分别作 OMPR 于点 M，ONPS 于点 N，易得 OMON，由弦心距相等可得弦相等，即ABCD，再由垂径定理可得结论；(2)开始点 P 在线段 OE 上，但不与点 O，E 重合(如图所示)，再向左移动，点O 与点 P 重合(如图所示)，再移动，点 P 在线段 OF 上，但不与点 O，F 重合(如图所示)证明 (1)过点 O 分别作 OMPR 于点 M，
14、ONPS 于点 N.又PQ 平分RPS ，OMON.ABCD ，RtPOM RtPON.PMPN.由垂径定理可得 BM AB，DN CD.12 12又ABCD ，BM DN. PMBMPNDN，即 PBPD.(2)当点 P 与点 O 重合时，如图所示，显然有 PBPD.当点 P 在线段 OF 上(不与点 O，F 重合)时，如图所示过点 O 作 OMAB 于点 M，作 ONCD 于点 N.证法同(1)，可证 PBPD.点评 解决这类问题的关键是要动中求静，静中思动，使一般问题从特殊情况中寻找规律、得出结论例 3：实际应用如图所示，已知油面宽 AB300mm，弓形 APB 的高 PQ225mm，求
15、油槽的内径及油的最大深度解析 油槽的内径就是油槽横截面的内径，油的最大深度就是劣弧 AB 的中点到 AB 的距离，将此实际问题转化为数学问题，就是在圆中已知弦长及弓形的高，求半径，利用垂径定理确定劣弧的中点、弦的中点及圆心后，就可利用直角三角形求解解 表示油所在的圆弧，弦 AB 表示油面，P 为优弧 APB 的中点，ACB则 PQAB ，Q 为垂足8设点 O 为油槽横截面的圆心，延长 PQ 交 于点 C，AB根据垂径定理知 C 是 的中点，且 PQ 过圆心 O，AB则 QC 表示油的最大深度，连接 OA，设 OAOCR，由题设得 AB300mm，PQ 225mm，AQ AB 300150(mm
16、)，OQPQPO(225 R)mm.12 12在 Rt OAQ 中，由勾股定理得 OA2OQ2AQ2，即 R2(225R)21502，解得 R162.5mm，直径 2R2162.5325(mm)，QCPCPQ2RPQ 325225100(mm)，即油槽的内径为 325mm，油的最大深度是 100mm.点评 将实际问题转化为数学问题是解决本题的关键设未知数，建立方程是本题所体现的重要数学思想三、学法提炼1、专题特点：难度大，技巧性强，针对中考2、解题方法：（1）半径相等看角看弧，再看角 求弦求半径，作垂径，连半径，构直角，用勾股（2）求解方法：勾股，相似证明方法：全等，相似（3）证明两线段相等：
17、有交点，证等腰，无交点，证全等3、注意事项： （1）不要怕难，否则大脑立马停止工作（2）理解概念，记住方法（3）理清条件，对应模块，寻找方法（4）注意检查是否全面，答案是否合理能力培养衔接中考：例 1： 如 图 ， 在 以 O 为 圆 心 的 两 个 同 心 圆 中 ， 大 圆 的 弦 AB 是 小 圆 的 切 线 ， P 为 切 点 ， 如 果 AB=8cm， 小圆 半 径 为 3cm， 那 么 大 圆 半 径 为 （ 5cm ）解 ： 如 图 ：9连 接 OA， OP， AB 是 大 O 的 切 线 ， OP AB，且 OP=3， AP=4，在 Rt OAP 中 ， OA= =502 大
18、圆 的 半 径 是 5cm故 答 案 为 ： 5点 评 ： 本 题 考 查 的 是 切 线 的 性 质 ， 利 用 切 线 的 性 质 得 到 直 角 三 角 形 ， 在 直 角 三 角 形 中 用 勾 股 定 理 计 算 求 出 大圆 的 半 径 例2：如 图 ， 点 C 在 O 上 ， 将 圆 心 角 AOB 绕 点 O 按 逆 时 针 方 向 旋 转 到 A OB ， 旋 转 角 为 （ 0 180） 若 AOB=30， BCA =40， 则 =（ 110）解 答 ： 解 ： BCA =40， AOB=30， BOA =2 BCA =80， = AOB+ BOA =110点 评 ： 此
19、题 主 要 考 查 了 圆 周 角 定 理 ： 在 同 圆 或 等 圆 中 ， 同 弧 或 等 弧 所 对 的 圆 周 角 相 等 ， 都 等 于 这 条 弧 所 对 的圆 心 角 的 一 半 例 3如图，在半径为 5cm 的O 中，圆心 O 到弦 AB 的距离为 3cm，则弦 AB 的长是（ ）A4cm B6cm C8cm D10cm解题思路：在一个圆中，若知圆的半径为 R，弦长为 a，圆心到此弦的距离为 d，根据垂径定理，有 R2=d2+（ 2a）2，所以三个量知道两个，就可求出第三个答案 C例 4、如图，A、B、C、D 是O 上的三点，BAC=30，则BOC 的大小是( )A、60 B、
20、45 C、30 D、15解题思路：运用圆周角与圆心角的关系定理，答案：A10例 5、如图，点 O 是ABC 的内切圆的圆心， 若BAC=80，则BOC=（ ）A130 B100 C50 D65解题思路：此题解题的关键是弄清三角形内切圆的圆心是三角形内角平分线的交点，答案 A例 6、如图，AB 是O 的直径，BC 是弦，ODBC 于 E，交BC于 D(1)请写出五个不同类型的正确结论；(2)若 BC=8，ED2，求O 的半径解题思路：运用圆的垂径定理等内容解：(1)不同类型的正确结论有：BE=CE ;弧 BD=弧 CD BED=90BOD=A;ACOD，ACBC;OE2+BE2=OB2;SABC
21、BCOE;BOD 是等腰三角形，BOEBAC;(2)ODBC， BECE=12BC=4设O 的半径为 R，则 OE=OD-DE=R-2 在 RtOEB 中，由勾股定理得OE2BE2=OB2，即(R-2)242=R2解得 R5O 的半径为 5二、能力点评学法升华知识收获11圆的定义是什么？垂径定理是什么？圆周角定理是什么？二、 方法总结1、垂径定理应用于什么样的问题？2、如何做圆周角的几何题？三、 技巧提炼1、圆里面有哪些辅助线可以作？2、可以说说圆里面的几个公式吗？课后作业（圆的测试题）一、选择题：1如图， A、 B、 C是 O上的三点，且 A是优弧 BAC上与点 、点 不同的一点，若 BOC
22、是直角三角形，则 必是( ) .A.等腰三角形 B.锐角三角形 C.有一个角是 30的三角形 D.有一个角是 45的三角形2在ABC 中，已知C=90，BC=3，AC=4 ，则它的内切圆半径是（ ）A B1 C2 D 323.如图，四边形 CD为O 的内接四边形， E是 B延长线上的一点，已知 10BOD，则 E的度数为（ ）A40 B60 C50 D 804.如图，AB 是半圆 O 的直径，点 P 从点 O 出发，沿 AB的路径运动一周设 P为 s，运动时间为 t，则下列图形能大致地刻画 s与 t之间关系的是（ ）二、填空题：5如图，A 是O 的圆周角，A=40，则OBC 的度数为_6如图，
23、以点 P 为圆心的圆弧与 X 轴交于 A，B 两点，点 P 的坐标为（4，2）点 A 的坐标为（2，0）则点 B 的坐标为_7已知O 是 BC 的内切圆，且 50C，则 OC为_度 CB AO（第 5 题图）AOBCADOB C EB CAO（第 7 题）PAO BstOsO t Ost OstABCD（第 6 题图）ABCDEPO（第 8 题图）128.如图，A、B、C 是0 上的三点，以 BC 为一边，作CBD=ABC，过 BC 上一点 P，作 PEAB 交 BD 于点E若AOC=60 ，BE=3 ，则点 P 到弦 AB 的距离为_ 三、解答题：9如图，AB 是O 的直径，C 是弧 BD 的中点，CE AB ，垂足为 E，BD 交 CE 于点 F（1）求证： F；（2）若 2D，O 的半径为 3，求 BC 的长
