1、 圆锥曲线中的热点问题1.本部分主要以解答题形式考查，往往是试卷的压轴题之一，一般以椭圆或抛物线为背景，考查弦长、定点、定值、最值、范围问题或探索性问题，试题难度较大.2.求轨迹方程也是高考的热点与重点，若在客观题中出现通常用定义法，若在解答题中出现一般用直接法、代入法、参数法或待定系数法，往往出现在解答题的第(1)问中1 直线与圆锥曲线的位置关系(1)直线与椭圆的位置关系的判定方法：将直线方程与椭圆方程联立，消去一个未知数，得到一个一元二次方程若 0，则直线与椭圆相交；若 0，则直线与椭圆相切；若 0 时，直线与双曲线相交；当 0 时，直线与双曲线相切；当 b0)的离心率为 ，右焦点 (2
2、，0)，斜率为 1 的直线 lx2a2 y2b2 63 2与椭圆 G 交于 A，B 两点，以 AB 为底边作等腰三角形，顶点为 P(3,2)(1)求椭圆 G 的方程；(2)求PAB 的面积解 (1)由已知得 c2 ， .2ca 63解得 a2 ，又 b2a 2c 24.3所以椭圆 G 的方程为 1.x212 y24(2)设直线 l 的方程为 yx m.由Error!得 4x26mx3m 2120.设 A，B 的坐标 分别为( x1，y1)，(x2，y2)(x10.由根与系数的关系得，x 1x 2 ， 8 2bkk2x1x2 ， b2k2因为 x 轴是PBQ 的角平分线，所以 ，y1x1 1 y
3、2x2 1即 y1(x21) y 2(x11)0，(kx1b)(x 21)( kx2b)( x11) 0，2kx1x2 (bk)(x 1x 2)2b0 将，代入得 2kb2( k b)(82bk )2k 2b0，kb，此时 0，直线 l 的方程为 yk(x1) ，即直 线 l 过定点(1,0)考点三 圆锥曲线中的最值范围问题例 3 (2013浙江)如图，点P (0，1)是椭圆 C1： 1(ab0)x2a2 y2b2的一个顶点，C 1 的长轴是圆 C2：x 2y 24 的直径l 1，l 2 是过点P 且互相垂直的两条直线，其中 l1 交圆 C2 于 A，B 两点，l 2 交椭圆 C1 于另一点
4、D.(1)求椭圆 C1 的方程；(2)求ABD 面积取最大值时直线 l1 的方程解 (1)由题意得Error!所以椭圆 C1的方程为 y 21.x24(2)设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，D(x0，y0)由题意知直线 l1的斜率存在，不妨设其为 k，则直线 l1的方程为 ykx1.又圆 C2：x2y 24，故点 O 到直线 l1的距离d ，1k2 1所以|AB|2 2 .4 d24k2 3k2 1又 l2l 1，故直线 l2的方程为 xkyk0.由Error!消去 y，整理得 (4k 2)x28kx0，故 x0 .8k4 k2所以|PD| .8k2 14 k2设ABD 的面积为 S，则
5、 S |AB|PD|12 ，84k2 34 k2所以 S 324k2 3 134k2 3322 4k2 3 134k2 3 ，161313当且仅当 k 时取等号102所以所求直线 l1的方程为 y x1.102求最值及参数范围的方法有两种：根据题目给出的已知条件列出一个关于参数的函数关系式，将其代入由题目列出的不等式(即为消元)，然后求解不等式；由题目条件和结论建立目标函数， 进而转化为求函数的值域已知椭 圆 C1 与抛物线 C2 的焦点均在 x 轴上且 C1 的中心和 C2 的顶点均为坐标原点 O，从每条曲线上的各取两个点，其坐标如下表所示：x 1 6 4 3y 3 0 6 1(1)求 C1
6、，C 2 的标准方程；(2)过点 A(m,0)作倾斜角为 的直线 l 交椭圆 C1 于 C，D 两点，且椭圆 C1 的左焦点 F 在6以线段 CD 为直径的圆的外部，求 m 的取值范围解 (1)先判断出( ，0)在椭圆上， 进而断定点(1， 3)和(4，6)在抛物线上，故( ，1)在6 3椭圆上，所以椭圆 C1的方程为 1，抛物 线 C2的方程为 y29x.x26 y22(2)设 C(x1，y1)，D(x2，y2)，直线 l 的方程为 y (xm )，33由Error!消去 y 整理得 2x22mxm 260，由 0 得 4m 28(m 26)0 ，即2 0，FC FD 又 F(2,0) ，即
7、 (x 12， y1)(x22，y 2)FC FD x 1x22(x 1 x2)y 1y240.整理得 m(m3)0 ，即 m0.由可得 m 的取值范围是 (2 ， 3)(0,2 )3 31 求轨迹与轨迹方程的注意事项(1)求轨迹方程的关键是在纷繁复杂的运动变化中，发现动点 P 的运动规律，即 P 点满足的等量关系，因此要学会动 中求静， 变中求不变(2)求出轨迹方程后，应注意检验其是否符合题意，既要检验是否增解(即以该方程的某些解为坐标的点不在轨迹上)，又要检验是否丢解(即轨迹上的某些点未能用所求的方程表示)检验方法：研究运动中的特殊情形或极端情形2 定点、定值问题的处理方法定值包括几何量的
8、定值或曲线过定点等问题，处理时可以直接推理求出定 值，也可以先通过特定位置猜测结论后进行一般性证明 对于客观题，通过特殊值法探求定点、定值能达到事半功倍的效果3 圆锥曲线的最值与范围问题的常见求法(1)几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意 义，则考虑利用图形性质来解决；(2)代数法：若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立起目标函数，再求这个函数的最值，在利用代数法解决最 值与范围问题时 常从以下五个方面考虑：利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围 ；利用已知参数的范围，求新参数的范 围，解 这类问题的核心是在两个参数之 间建立等量关系；利用隐含或已知的不
9、等关系建立不等式，从而求出 参数的取值范围；利用基本不等式求出参数的取值范围；利用函数的值域的求法 ，确定参数的取值范围.设直线 l：yk(x1)与椭圆 x23y 2a 2(a0)相交于 A、B 两个不同的点，与 x 轴相交于点 C，记 O 为坐标原点(1)证明：a 2 ；3k21 3k2(2)若 2 ，求OAB 的面积取得最大值时的椭圆方程AC CB (1)证明 依题意，直 线 l 显然不平行于坐标轴，故 yk(x1)可化为 x y1.1k将 x y1 代入 x23y 2a 2，消去 x，1k得 y2 1a 20， (3 1k2) 2yk由直线 l 与椭圆相交于两个不同的点，得 4 (1a
10、2)0，4k2 (1k2 3)整理得 a23，(1k2 3)即 a2 .3k21 3k2(2)解 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)由，得 y1y 2 ，2k1 3k2因为 2 ，得 y12y 2，AC CB 代入上式，得 y2 . 2k1 3k2于是，OAB 的面 积 S |OC|y1y 2| |y2|12 32 .3|k|1 3k2 3|k|23|k| 32其中，上式取等号的条件是 3k21，即 k .33由 y2 ，可得 y2 . 2k1 3k2 33将 k ，y2 及 k ，33 33 33y2 这 两组值 分别代入，33均可解出 a25.所以，OAB 的面 积取得最大值的椭圆方程
11、是 x23y 25.(推荐时间：70 分钟) 来源:Z&xx&k.Com一、选择题1 已知方程 1(kR) 表示焦点在 x 轴上的椭圆，则 k 的取值范围是 ( )x2k 1 y23 kAk3 B11 Dk3) D. 1( x4)x29 y216 x216 y29答案 C解析 如图|AD| AE|8，|BF| BE|2， |CD| CF|，所以|CA |CB|826.根据双曲线定义，所求轨迹是以 A、B 为焦点， 实轴长为 6 的双曲线的右支，方程为 1( x3)x29 y2163 设 M(x0，y 0)为抛物线 C：x 28y 上一点，F 为抛物线 C 的焦点，以 F 为圆心，|FM|为半径
12、的圆和抛物线的准线相交，则 y0 的取值范围是 ( )A(0,2) B0,2C(2，) D2 ，)答案 C解析 依题意得：F(0,2)，准线方程为 y2，又以 F 为圆心，|FM|为半径的圆和抛物线的准线相交，且|FM| |y 02|，|FM |4，即|y 02|4 ，又 y00，y 02.4 若点 O 和点 F 分别为椭圆 1 的中心和左焦点，点 P 为椭圆上的任意一点，则x24 y23 的最大值为 ( )OP FP A2 B3 C6 D8答案 C解析 设 P(x0，y0)，则 1，即 y 3 ，x204 y203 20 3x204又因为 F(1,0)，所以 x 0(x01)y x x 03
13、OP FP 20 1420 (x0 2)22，14又 x02,2，即 2,6，OP FP 所以( )max6.OP FP 5 已知 中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，左、右焦点分别为 F1、F 2，且两条曲线在第一象限的交点为 P，PF 1F2 是以 PF1 为底边的等腰三角形，若|PF 1|10，椭圆与双曲线的离心率分别为 e1，e 2，则 e1e2 的取值范围是 ( )A(0，) B( ，)13C( ，) D( ，)15 19答案 B解析 设椭圆与双曲线的半焦距为 c，PF1r 1，PF2r 2.由题意知 r110，r 22c ，且 r1r2,2r2r1，2c10， .c225 c2 1
14、25c2 113二、填空题6 直线 ykx1 与椭 圆 1 恒有公共点，则 m 的取值范围是 _x25 y2m答案 m1 且 m5解析 方程 1 表示椭圆，x25 y2mm0 且 m5.直线 ykx1 恒过(0,1)点，要使直线与椭圆总有公共点， 应有： 1，m1，025 12mm 的取值范围是 m1 且 m5.7 设 F1、F 2 为椭圆 y 21 的左、 右焦点，过椭圆中心任作一直线与椭圆交于 P，Qx24两点，当四边形 PF1QF2 面积最大时， 1 2 的值等于_PF PF 答案 2解析 易知当 P，Q 分别在椭圆短轴端点时，四边形 PF1QF2面积最大此时，F 1( ，0)，F2(
15、，0)，不妨设 P(0 ,1)，3 3 1( ， 1)， 2( ， 1)，PF 3 PF 3 1 22.PF PF 8 已知抛物线方程为 y2 4x，直线 l 的方程为 xy40，在抛物线上有一动点 P 到 y轴的距离为 d1，P 到直线 l 的距离为 d2，则 d1d 2 的最小值为_答案 1522解析 过点 P 作抛物线的准线的垂线，垂足为 A，交 y 轴于 B，由抛物 线方程为 y24x得焦 点 F 的坐标为(1,0) ，准线为 x1， 则由抛物线的定义可得d1d 2|PA| AB|d 2|PF| 1d 2，|PF|d 2大于或等于焦点 F 点 P 到直线 l，即|PF| d2的最小值为
16、 ，|1 0 4|2 522所以 d1d 2的最小值为 1.5229 (2013安徽 )已知直线 ya 交抛物线 yx 2 于 A，B 两点若该抛物线上存在点 C，使得ACB 为直角，则 a 的取值范围为_答案 1，)解析 以 AB 为直径的圆的方程为 x2(ya) 2a，由Error!得 y2(1 2a)y a 2a0.即(ya )y(a1)0，由已知Error!解得 a1.三、解答题10已知直线 x2y 20 经过椭圆 C： 1( ab0) 的左顶点 A 和上顶点 D，椭x2a2 y2b2圆 C 的右顶点为 B，点 S 是椭圆 C 上位于 x 轴上方的动点，直线 AS，BS 与直线l：x
17、分别交于 M，N 两点103(1)求椭圆 C 的方程；(2)求线段 MN 的长度的最小值解 (1)如图，由题意得椭圆 C 的左顶点为 A(2,0)，上顶点为D(0,1)，即 a2 ，b1.故椭圆 C 的方程为 y 21.来源:学科网x24(2)直线 AS 的斜率显然存在且不为 0，设直线 AS 的方程为 yk (x 2)(k0)，解得 M( ， )，且将直线方程代入椭圆 C 的方103 16k3程，得(14k 2)x2 16k2x16k 240.设 S(x1，y1)，由根与系数的关系得( 2)x 1 .16k2 41 4k2由此得 x1 ，y1 ，即 S( ， )2 8k21 4k2 4k1
18、4k2 2 8k21 4k2 4k1 4k2又 B(2,0)，则直 线 BS 的方程为 y (x2) ，14k联立直线 BS 与 l 的方程解得 N( ， )103 13k|MN | 2 .|16k3 13k| 16k3 13k 16k313k 83当且仅当 ，即 k 时等号成立，故当 k 时，线段 MN 的长度的最小值为 .16k3 13k 14 14 8311在平面直角坐标系中，点 P(x，y)为动点，已知点 A( ，0) ，B( ，0) ，直线 PA 与2 2PB 的斜率之积为 .12(1)求动点 P 的轨迹 E 的方程；(2)过点 F(1,0)的直线 l 交曲线 E 于 M，N 两点，
19、设点 N 关于 x 轴的对称点为 Q(M、Q不重合)，求证：直线 MQ 过 x 轴上一定点来源:学*科*网 Z*X*X*K(1)解 由题知： .yx 2 yx 2 12化简得 y 21(y 0)x22(2)证明 方法一 设 M(x1，y1)，N(x2，y2)，Q(x2， y2)，l：xmy1，代入 y 21(y0)整理得x22(m22)y 22my 10.y1y 2 ，y1y2 ， 2mm2 2 1m2 2MQ 的方程 为 yy 1 (xx 1)，y1 y2x1 x2令 y0，得 xx 1y1x2 x1y1 y2my 11 12.my1y2 y1y1 y2 2my1y2y1 y2直线 MQ 过
20、定点 (2,0)方法二 设 M(x1，y1)，N(x2，y2)，Q(x2，y 2)，l：yk(x 1)，代入 y 21(y0)整理得x22(12k 2)x24k 2x2k 220，x1x 2 ，x1x2 ，4k21 2k2 2k2 21 2k2MQ 的方程 为 yy 1 (xx 1)，y1 y2x1 x2令 y0，得 xx 1y1x2 x1y1 y2x 1kx1 1x2 x1kx1 x2 2 2.2x1x2 x1 x2x1 x2 2直线 MQ 过定点 (2,0)12(2013课标全国)已知圆 M：(x1) 2y 21，圆 N： (x1) 2y 29，动圆 P 与圆 M外切并且与圆 N 内切，圆
21、心 P 的轨迹为曲线 C.(1)求 C 的方程；(2)l 是与圆 P，圆 M 都相切的一条直线，l 与曲线 C 交于 A、B 两点，当圆 P 的半径最长时，求|AB|.解 (1)设圆 P 的半径为 r，则|PM |1r ，|PN|3r，|PM |PN|4|MN|，P 的轨迹是以 M、N 为焦点的椭圆，左 顶点除外，且 2a4,2c2，a2，c 1，b 2a 2c 23.P 的轨迹曲线 C 的方程为 1(x2) x24 y23(2)由(1)知：2r(|PM | PN|)2|MN|24，圆 P 的最大半径为 r2.此时 P 的坐标为(2,0)圆 P 的方程为(x2) 2y 24.当 l 的方程为 x0 时，|AB|2 ，3设 l 的方程为 ykxb( kR)，Error!解之得：Error!或Error!.l 的方程为 y x ，y x .24 2 24 2联立方程Error!化简：7x 28x80x 1x 2 ，x1x2 ，87 87|AB| .1 k2x1 x22 4x1x2187
