1、方程有解问题的常用处理办法湖南安仁一中 李春国（邮编 423600 电话 13257351617）（少年智力开发报数学专页湖南郴州工作站薛珠贵推荐 13087350858）方程 有解的问题实际上是求函数 零点的问题，判断方程0)(xf )(xfy有几个解的问题实际上就是判断函数 有几个零点的问题，这类问题通)(f常有以下处理办法：一、直接法通过因式分解或求根公式直接求方程 的根，此法一般适合于含有一元二次0)(xf（三次）的整式函数，或由此组合的分式函数。 例 1（2010 年福建理 4）函数 的零点个数为（ ）)(ln23)(xfA. 0 B. 1 C. 2 D. 3解：当 时，由 得 （舍
2、去） ， ；当 时，由x)(2xf 10xfln2)(得 ，所以函数 的零点个数为 2，故选 C。0ex)(xf二、图象法对于不能用因式分解或求根公式直接求解的方程 ，可以先转化为方程0)(xgf，再在同一坐标系中分别画出函数 和 的图象，两个图象)(xgfy交点的横坐标就是原函数的零点，有几个交点原函数就有几个零点。次法一般适合于函数解析式中既含有二次（三次）函数，又含有指数函数、对数函数或三角函数的函数类型。例 2（2008 年湖北高考题）方程 的实数解的个数是 32x解析：在同一坐标系中分别作出函数 和xf)(3)(2xg的图象，从图中可得它们有两个交点，即方程有两个实数解。三、导数法在
3、考查函数零点时，需要结合函数的单调性，并且适合用求导来求的函数，常用导数法来判定有无零点。例 3（2009 年天津高考题）设函数 ，则 （ ）)0(ln31)(xxf )(xfy y xOA. 在区间 内均有零点),1(eB. 在区间 内均无零点C. 在区间 内有零点，在区间 内无零点),(e),1(eD. 在区间 内无零点，在区间 内有零点1解析：令 ，令303)( xxxf 303)( xxf所以函数 在区间 上是减函数，在区间 上是增函数，在 处取得),( ,极小值，又 ，故选 D。03ln1 013)(,013)(,031)( efeff四、利用零点存在性定理利用该定理不仅要求函数 在
4、 上是连续的曲线，且 ，还必须)(xf,ba)(bfa结合函数的图象与性质（如单调性）才能确定函数有几个零点。例 4 设 ，求函数 在区间 上有零点的概12,84,321ba xf3)( )2,1(率。解： ，易知函数 在区间 上单调递增，若函数,baxf3)( ),(在区间 上有零点，则 ，即baxf3)(2,102)1(f。所以当 时， 或 ；当 时， 或0)281482a4b；当 时， 或 ；当 时， 或 ，故满足条件的事件有b8ab18个，其中基本事件有 个，故所求事件的概率为164C6p五、分离参数法例 5（2007 广东卷理 20）已知 是实数，函数 如果函数a,32axaxf在区
5、间 上有零点，求实数 的取值范围。xfy1,解法 1： 时， ，故0a 1,32xxf 0在区间 上有解032af 1,在区间 上有解xx)(2,在区间 上有解a31,1,231xya问题转化为求函数 在区间 上的值域。yx21,法一：设 ，令,231)(xg70)(4)(2 xxg随变化的情况如下表：,的值域为1,23)(xxg 1)(37xg其图象如图所示：由此可知可知： ，即 或7a2a法二： 3)2(47)3()2(6)3(22 xxy令 则51tt tyx1)273,(273)1,273()(g 0 +x513-7111-1y=1aOyx利用对勾函数性质可得 即 ，故 或137y13
6、7a273.1a解法 2： 在区间 上有解 在区间02axaxf ,2x上有解,与 且 的图象有交点ay123)(xh,2x由 0)12(4)(42)( 22 xh 73、 随 变化的情况如下表： y函数 的草图如下：123)(xg由图可知： 或 .7aa评注：利用函数处理方程解的问题，方法如下：（1）方程 在区间 上有解axf)(IIxfya),(与 的图象在区间 上有交点yI（2）方程 在区间 上有几个解 与 的图象在区间 上有几个交f)(I)(faI点x1)2,( )273,()2,73()1,(y+ + 0 5 27311-151 ay例 6 设函数 Raxxf ,2ln)(（1）若函
7、数 在 上存在单调递增区间，试求实数 的取值范围；,1 a（2）求函数的极值点。解：（1）函数 在 上存在单调递增区间 不等式 在 上有解)(xf2,0)(xf2,1在 上有解a1ma)21(xa令 ，结合对勾函数性质知 ，所以,2,)(xxg 49(xga（2）令 010102 axf于是问题转化为求一元二次方程 在 上的解！2),(解法一：用直接法直接求解因为 ，所以842a当 ，即 时，方程无解，所以没有极值点；02a 当 ，即 时，对应的 ，但在 的左右两侧842a2x2x导数值 均大于 0，所以没有极值点；)(xf当 时， ，但 ，2a842a021ax02x所以方程在 无解，没有极
8、值点；),(当 时， ，且 ，2a0842a021ax 022ax其中 是极大值点， 是极小值点。21x2综上所述， 时，没有极值点； 时，有极大值点 ，极aa21ax小值点 。22ax解法二：用零点存在性定理求解方程 在 上要有解，要么有一正根，一负根；要么有两个正根，012ax),(令 )(2g若方程有一正根，一负根，则应有 ，但事实上 ，所以矛盾！0)(g01)(g若方程有两个正根，则 202a所以，当 时方程有两个正根，即 和 为函2a21x22ax数 的极值点；当 时，方程没有正根，所以没有极)(xf值点。解法三：图象法由 ),0(,21012xax分别画出 和 的图象y由图可知当
9、时图象有两个交点，对应的方程有两个正根，2a即 和 为函数 的极值21x22ax)(xf点；当 时， 的左右两侧导数值 均大于 0，所以没有极值点；当a )(f时，两图象没有交点，方程没有正根，所以没有极值点。2评注：本题第（1）问是不等式有解问题，而第（2） 问是方程有解问题，采用了三种不同的方法来处理。例 7 已知 及 ，若,0)6sin()xxf 0,2cos)(axg222 y=aOyx，使 成立，求实数 的取值范围。Rxx10,)(10xgfa解：易知 的值域为 ， 的值域为)(f,22,由 得 的取值范围是 或 。,2a5例 8 已知函数 ，mxfxmf )21(,64)(221其
10、中 且R0（1）判断函数 的单调性；)(1f（2）若 ，求函数 的最值；2m)2,()()21xfxff（3）设函数 ，当 时，若对于任意的 ，总存在唯一),()(21fxgm),1x的 ，使得 成立，试求 的取值范围。,2)(21xg解：（1） 21)64()xf当 时， 在 和 上是减函数，在 上是增函数；0m1f,(),()2,(当 时， 在 和 上是增函数，在 上是减函数。)x)2（2） ，所以0,2m)(xf)(1xff x)21(642 mx)21(642m642由（1）知 在 上是减函数且 在 上也是减函数)(1xf),)(2xf),所以 在 上是减函数2当 时， ；当 时，x
11、16)()(2maxmff x16)(2minff（3） ，)(,1xgx1642xf由（1）知 在 上是减函数，所以 ，即1,2)2(,0)(11fxg16,0()mxg又 ，0,2mx)(2xg 22 )1()()1(2 xmxmxf 在 上是增函数，所以 ，即)(g),0f,02g对任意 ，总存在唯一的 ，使得 成立，,1x )(2x)(1x，故只需 ，即 ，6,0()2(m162m62m为此令 ，则 在 上是增函数，1)h2)(h),而且有 ， ，所以 时，087(40(h42故所求 的取值范围是 。m),2评注：一般地：分别定义在区间 和 上的函数 ，,ba,dc)(,xgf若 ，
12、，使 成立,1bax,2dcx)(21xgf,bafy)(gy例 9（2012 年南昌市一模第 21题）已知函数 在 处取到极值),()(2Rnmxf1x2.(1)求 的解析式；)(xf(2)设函数 .若对任意的 ，总存在唯一的 ( 为xagln,21,2ex自然对数的底)，使得 ，求实数 的取值范围.)(12fa解: （1） 22() )mmxnfx 由 在 处取到极值 2，故 ， 即 ,)(f0)1(f(f20(1)mn解得 ，经检验，此时 在 处取得极值.故1,4nm)(xf124()1xf（2）由（1）知 ，故 在 上单调递增，在 上单调递24()fx)(f,2),(减,由 ，故 的值
13、域为18(),(2)5ff )(xf8,5依题意 ，记1()gxa2,Mex21ex（）当 时， ， 在 上单调递减，依题意由 ，得1ae)(xg0)( 218()51aege，10ae（）当 时， ，当 时， ，当 时，2e1a2)1,(2aex()gx01(,)ea()gx0依题意得： （） 或 （）2)1(582ege58)1(2eg解不等式组（）得 ，而不等式组（）无解。 所以ea53 ea13（）当 时， ，此时 ， 在 上单调递增，2ea210)(xg)(M依题意得： 即 此不等式组无解 58)1(22eg58212eae综上，所求 取值范围为a130本题的解法还可以优化为以下解法
14、快速得解：（2）解： 2)1(,)(2eafaef若对任意的 ，总存在唯一的 ( 为自然对数的底 )，使得2,1x,12ex)(2fg（） 或 （）58)1(2ef 2)1(58ef不等式组（）无解；解不等式组（）得 ， 故所求 取值范围是305aa1305ae例 10 设函数 xexf)3()2求证：对任意 ，总存在 ，满足 ，并确定这样的 的t ,(0t20)1(3)(texf 0x个数。解析：由于 xexxefx 22)3()32()于是原问题转化为方程 在 内有解，并求解的个数。0)1(22t),(t方法一：令 3)(xg因为 ，)4(21622tt1)()()()tt（1）当 ，即
15、或 时，方程 在 内只有一解；0tgt0)(xg),2(t（2）当 ，即 时，方程 在 内有两解；0)(2minxgt41t)(x),(t（3）当 时，由 得 或 ，所以方程 在 内只1t 0)(2x10)(xg)1,2(有一解；（4）当 时，由 得 或 ，所以方程 在t 6)(2g2x3)(内也只有一解。),2(综上所述，对任意 ，总存在 ，满足 ，且2t ),2(0tx20)1(3)(texf或 时，有唯一的 适合题意；当 时，有两个 适合题意。12t40x41t0x方法二：如图所示，分别作出函数 和y2的图象，由图可知：2)1(3ty当 或 时，方程在 内有一解；4),2(t当 时，方程在 内有两解。t),(t 41-2 x2x1 tyxOy = 23x 1 2y = x2 x
