1、双曲线方程典例分析江西省永丰中学 刘 忠一、求双曲线的标准方程求双曲线的标准方程 或 （a、b0），通常是利用双曲线的有关概念及性质再 结合其它知识直接求出 a、b 或利用待定系数法.例 1 求与双曲线 有公共渐近线，且过点 的双曲线的共轭双曲线方程.解 令与双曲线 有公共渐近线的双曲线系方程为 ，将点 代入，得 ，双曲线方程为 ，由共轭双曲线的定义，可得此双曲线的共轭双曲线方程为 .评 此例是“求与已知双曲线共渐近线的双曲线方程 ”类型的题 .一般地，与双曲线 有公共渐近线的双曲线的方程可设为 （kR ，且 k0）；有公共焦点的双曲线方程可设为 ，本题用的是待定系数法.例 2 双曲线的实半轴
2、与虚半轴长的积为 ，它的两焦点分别为 F1、F2 ，直线 过 F2 且与直线 F1F2 的夹角为 ，且 ， 与线段 F1F2 的垂直平分线的交点为 P，线段 PF2 与双曲线的交点为 Q，且 ，建立适当的坐标系，求双曲线的方程.解 以 F1F2 的中点为原点，F1 、F2 所在直线为 x 轴建立坐标系，则所求双曲线方程为 （a0，b0），设 F2（c，0），不妨设 的方程为 ，它与 y 轴交点 ，由定比分点坐标公式，得 Q 点的坐标为 ，由点 Q 在双曲线上可得 ，又 ， ， ，双曲线方程为 .评 此例用的是直接法.二、双曲线定义的应用1、第一定义的应用例 3 设 F1、F2 为双曲线 的两个
3、焦点，点 P 在双曲线上，且满足F1PF2=900，求F1PF2 的面积.解 由双曲线的第一定义知， ，两边平方，得 .F1PF2=900 ， ， ， .2、第二定义的应用例 4 已知双曲线 的离心率 ，左、右焦点分别为 F1、F2，左准线为 l，能否在双曲线左支上找到一点 P，使 是 P 到 l 的距离 d 与 的比例中项？解 设存在点 ，则 ，由双曲线的第二定义，得 ， ， ，又 ，即 ，解之，得 ， ， ， 矛盾，故点 P 不存在.评 以上二例若不用双曲线的定义得到焦半径 、 或其关系，解题过程将复杂得多.三、双曲线性质的应用例 5 设双曲线 （ ）的半焦距为 c，直线 l 过（a， 0
4、）、（0，b ）两点，已知原点到 的距离为 ，求双曲线的离心率.解析 这里求双曲线的离心率即求 ，是个几何问题，怎么把题目中的条件与之联系起来呢？如图 1， ， ， ，由面积法知 ab= ，考虑到 ，知 即 ，亦即 ，注意到 ab 的条件，可求得 .四、与双曲线有关的轨迹问题例 6 以动点 P 为圆心的圆与A ： 及B： 都外切，求点 P 的轨迹方程.解 设动点 P（x，y），动圆半径为 r，由题意知 ， ， . . ， ，据 双曲线的定义知，点 P 的轨迹是以 A、B 为焦点的双曲线的右支，方程为 ： .例 7 如图 2，从双曲线 上任一点 Q 引直线 的垂线，垂足为 N，求线段 QN 的中
5、点 P 的轨迹方程.解析 因点 P 随 Q 的运动而运动，而点 Q 在已知双曲线上，故可从寻求 Q 点的坐标与 P 点的坐标之间的关系入手，用转移法达到目的 .设动点 P 的坐标为 ，点 Q 的坐标为 ，则 N 点的坐标为 .点 N 在直线 上， 又PQ 垂直于直线 ， ，即 联立 、解得 .又点 N 在双曲线 上， ，即 ，化简，得点 P 的轨迹方程为： .五、与双曲线有关的综合题例 8 已知双曲线 ，其左右焦点分别为 F1、F2 ，直线 l 过其右焦点 F2 且与双曲线 的右支交于 A、B 两点，求 的最小值.解 设 ， ，（ 、 ）.由双曲线的第二定义，得， ， ，设直线 l 的倾角为 ，l 与双曲线右支交于两点 A、B ， .当 时，l 的方程为 ，代入双曲线方程得.由韦达定理得： . .当 时，l 的方程为 ， ， .综所述，知所求最小值为 .
