1、典 型 例 题1 基本概念及方程 【11】底面积 A0.2m0.2m 的水容器，水面上有一块无重密封盖板，板上面放置一个重量为 G13000N 的铁块，测得水深 h0.5m ，如图所示。如果将铁块加重为 G28000N，试求盖板下降的高度 h。【解】:利用体积弹性系数计算体积压缩率： Epv/)(0Bnp 为绝对压强。当地大气压未知，用标准大气压 Pap50132.代替。AG5101 076./Pap22 13因 01/p和 02/不是很大，可选用其中任何一个，例如，选用 02/p来计算体积弹性系数： aBpnE9020 102.)/(在工程实际中，当压强不太高时，可取 PE512487.6/
2、)(/ pvhmh55043.1064827【22】用如图所示的气压式液面计测量封闭油箱中液面高程 h。打开阀门 1，调整压缩空气的压强，使气泡开始在油箱中逸出，记下 U 形水银压差计的读数h 1150mm，然后关闭阀门 1，打开阀门 2，同样操作，测得 h 2210mm。已知 a1m，求深度 h 及油的密度 。 【解】水银密度记为 1。打开阀门 1 时，设压缩空气压强为 p1，考虑水银压差计两边液面的压差，以及油箱液面和排气口的压差，有 同样，打开阀门 2 时， 两式相减并化简得 代入已知数据，得 所以有 2 基本概念及参数 【13】测压管用玻璃管制成。水的表面张力系数 0.0728N/m，
3、接触角 8，如果要求毛细水柱高度不超过 5mm，玻璃管的内径应为多少？ 【解】由于 因此 【14】高速水流的压强很低，水容易汽化成气泡，对水工建筑物产生气蚀。拟将小气泡合并在一起，减少气泡的危害。现将 10 个半径 R10.1mm 的气泡合成一个较大的气泡。已知气泡周围的水压强 po6000Pa，水的表面张力系数 0.072N/m。试求合成后的气泡半径 R。 【解】小泡和大泡满足的拉普拉斯方程分别是 设大、小气泡的密度、体积分别为 、V 和 1、V 1。大气泡的质量等于小气泡的质量和，即 合成过程是一个等温过程，T=T 1 。球的体积为 V4/3R 3，因此 令 xR/R 1，将已知数据代入上
4、式，化简得 上式为高次方程，可用迭代法求解，例如， 以 xo = 2 作为初值，三次迭代后得 x2.2372846，误差小于 105 ，因此，合成的气泡的半径为 还可以算得大、小气泡的压强分布为 ， 。 【15】一重 W500N 的飞轮，其回转半径 30cm，由于轴套间流体粘性的影响，当飞轮以速度 600 转/分旋转时，它的减速度 0.02m/s 2。已知轴套长 L5cm，轴的直径 d2cm，其间隙 t=0.05mm，求流体粘度。 【解】：由物理学中的转动定律知，造成飞轮减速的力矩 MJ,飞轮的转动惯量 J 所以力矩 另一方面，从摩擦阻力 F 的等效力系看，造成飞轮减速的力矩为： 为线性分布。
5、 则 摩擦阻力矩应等于 M，即 T=M 即 所以 3 流体静力学【21】试求解图中同高程的两条输水管道的压强差 p1p 2，已知液面高程读数 z118mm，z 262mm，z 332mm，z 453mm，酒精密度为 800kg/m3。 【解】设管轴到水银面 4 的高程差为 ho，水密度为 ，酒精密度为 1，水银密度为 2，则 将 z 的单位换成 m，代入数据，得 【22】用如图所示的气压式液面计测量封闭油箱中液面高程 h。打开阀门 1，调整压缩空气的压强，使气泡开始在油箱中逸出，记下 U 形水银压差计的读数h 1150mm，然后关闭阀门 1，打开阀门 2，同样操作，测得 h 2210mm。已知
6、 a1m，求深度 h 及油的密度 。 【解】水银密度记为 1。打开阀门 1 时，设压缩空气压强为 p1，考虑水银压差计两边液面的压差，以及油箱液面和排气口的压差，有 同样，打开阀门 2 时， 两式相减并化简得 代入已知数据，得 所以有 【23】人在海平面地区每分钟平均呼吸 15 次。如果要得到同样的供氧，则在珠穆朗玛峰顶（海拔高度 8848m）需要呼吸多少次？ 【解】:海平面气温 T0=288,z=8848m 处的气温为 峰顶压强与海平面压强的比值为 峰顶与海平面的空气密度之比为 呼吸频率与空气密度成反比，即 ，【24】如图所示，圆形闸门的半径 R0.1m，倾角 45 o，上端有铰轴，已知 H
7、15m，H 21m，不计闸门自重，求开启闸门所需的提升力 T。 【解】设 y 轴沿板面朝下，从铰轴起算。在闸门任一点，左侧受上游水位的压强 p1，右侧受下游水位的压强 p2，其计算式为 平板上每一点的压强 p1p 2 是常数，合力为（p 1p 2）A，作用点在圆心上，因此 代入已知数据，求得 T871.34N 。 【25】盛水容器底部有一个半径 r2.5cm 的圆形孔口，该孔口用半径R4cm、自重 G2.452N 的圆球封闭，如图所示。已知水深 H20cm，试求升起球体所需的拉力 T。 【解】用压力体求铅直方向的静水总压力 Fz： 由于 ， 因此 ， ， ， 【26】如图所示的挡水弧形闸门，已
8、知 R2m，30 o，h5m，试求单位宽度所受到的静水总压力的大小。 【解】水平方向的总压力等于面 EB 上的水压力。铅直方向的总压力对应的压力体为CABEDC 。 【27】如图所示，底面积为 bb0.2m0.2m 的方口容器，自重 G40N，静止时装水高度 h0.15m，设容器在荷重 W200N 的作用下沿平面滑动，容器底与平面之间的摩擦系数 f0.3，试求保证水不能溢出的容器的最小高度。 【解】解题的关键在于求出加速度 a。如果已知加速度，就可以确定容器里水面的斜率。 考虑水、容器和重物的运动。系统的质量 M 和外力分别为 因此，系统的重力加速度为 代入数据得 a = 5.5898 m/s
9、2 容器内液面的方程式为 坐标原点放在水面（斜面）的中心点，由图可见，当 xb/2 时，zHh，代入上式， 可见，为使水不能溢出，容器最小高度为 0.207m。【28】如图所示，液体转速计由一个直径为 d1的圆筒、活塞盖以及与其连通的直径为 d2两支竖直支管构成。转速计内装液体，竖管距离立轴的距离为 R，当转速为 时，活塞比静止时的高度下降了 h，试证明： 【解】活塞盖具有重量，系统没有旋转时，盖子处在一个平衡位置。旋转时，盖子下降，竖管液面上升。 设系统静止时，活塞盖如实线所示，其高度为 h1，竖管的液面高度设为 H1。此时，液体总压力等于盖子重量，设为 G： 旋转时，活塞盖下降高度为 h，
10、两支竖管的液面上升高度为 H。 液体压强分布的通式为 将坐标原点放在活塞盖下表面的中心，并根据竖管的液面参数确定上式的积分常数 C。当rR，zH 1-h1H + h 时，pp a， 因此，液体压强分布为 旋转时，液体压力、大气压力的合力应等于盖子重量，即 因盖子下表面的相对压强为 代入 G 式并进行积分，得到 代入上式，化简得 由图中看出，活塞盖挤走的液体都进入两支竖管，因此 所以有 【29】如图所示，U 形管角速度测量仪，两竖管距离旋转轴为 R1和 R2，其液面高差为 h，试求 的表达式。如果 R10.08m，R 20.20m，h0.06m，求 的值。 【解】两竖管的液面的压强都是 pa（当
11、地大气压） ，因而它们都在同一等压面上，如图虚线所示。设液面方程为 不妨设竖管中较低的液面到转盘的高度差为 h。现根据液面边界条件进行计算。 当 rR 1，zh 及 rR 2，z hh 时 ； 两式相减得 所以 【210】航标灯可用如图所示模型表示：灯座是一个浮在水面的均质圆柱体，高度 H0.5m，底半径 R0.6m，自重 G1500N，航灯重 W=500N，用竖杆架在灯座上，高度设为 z。若要求浮体稳定，z 的最大值应为多少？ 【解】浮体稳定时要求倾半径 r 大于偏心距 e，即 re 先求定倾半径 r J/V，浮体所排开的水的体积 V 可根据吃水深度 h 计算。 ，再求偏心距 e，它等于重心
12、与浮心的距离。设浮体的重心为 C，它到圆柱体下表面的距离设为 hC ，则 根据浮体稳定的要求有 化简得 r，h 的值已经算出，代入其它数据，有 z1.1074m 【211】如图所示水压机中，已知压力机柱塞直径 D25cm，水泵柱塞直径d5cm，密封圈高度 h2.5cm，密封圈的摩擦系数 f0.15，压力机柱塞重G981N，施于水泵柱塞上的总压力 P1=882N，试求压力机最后对重物的压力F。【解】：P 1所形成的流体静压力 压力机柱塞上的总压力 静压力作用在密封圈上的总压力为 p Dh ，方向与柱塞垂直。所以密封圈上的摩擦力故压力机对重物的压力为 4 流体运动的基本概念及方程【31】已知平面流
13、动的速度分布为 ， 试计算点（0，1）处的加速度。 【解】先将极坐标的速度分量换算成直角坐标的速度，然后再求直角坐标中的加速度。 将， ， 代入，得 所以有： 在点（0，1）处， ， 算得 ， 【32】验证下列速度分布满足不可压缩流体的连续性方程： （1）， （2）， （3），【解】:（1），（2）（3）从速度分布的表达式看出，用极坐标比较方便。当然，使用直角坐标也可以进行有关计算，但求导过程较为复杂。 ，【33】已知平面流场的速度分布为 ， ， 试求 t1 时经过坐标原点的流线方程。 【解】对于固定时刻 to，流线的微分方程为 积分得 这就是时刻 to 的流线方程的一般形式。 根据题意，t
14、o1 时，x0， y0，因此 C2 【34】如图所示的装置测量油管中某点的速度。已知油的密度为800kg/m 3，水银密度为 13600 kg/m 3，水银压差计的读数h60mm，求该点的流速 u。 【解】我们分析管流中的一条流至测压管管口的流线，即如图中的流线 10。这条流线从上游远处到达“L”形管口后发生弯曲，然后绕过管口，沿管壁面延伸至下游。流体沿这条流线运动时，速度是发生变化的。在管口上游远处，流速为 u。当流体靠近管口时，流速逐渐变小，在管口处的点 0，速度变为 0，压强为 po，流体在管口的速度虽然变化为 0，但流体质点并不是停止不动，在压差作用下，流体从点 0 开始作加速运动，速
15、度逐渐增大，绕过管口之后，速度逐渐加大至 u。 综上分析，可以看到，流体沿流线运动，在点 1，速度为 u，压强为 p，在点 0，速度为0，压强为 po，忽略重力影响，沿流线的伯努利方程是 由此可见，只要测出压差为 pop，就可以求出速度 u。 不妨设压差计的右侧水银面与流线的高差为 l。由于流线平直，其曲率半径很大，属缓变流，沿管截面压强的变化服从静压公式，因此， 式中， 和 分别是油和水银的密度。将已知数据代入计算，h 的单位应该是用 m 表示，h0.06m，得速度为 u4.3391m/s 。【35】矿山排风管将井下废气派入大气。为了测量排风的流量，在排风管出口处装有一个收缩、扩张的管嘴，其
16、喉部处装有一个细管，下端插入水中，如图所示。喉部流速大，压强低，细管中出现一段水柱。已知空气密度1.25kg/m 3，管径 d1400mm，d 2600mm，水柱 h45mm，试计算体积流量Q。 【解】截面 11 的管径小，速度大，压强低；截面 22 接触大气，可应用伯努利方程，即 利用连续方程，由上式得 此外细管有液柱上升，说明 p1 低于大气压，即 式中，是水的密度，因此 由 d1400mm，d 2600mm 可以求出 A1 和 A2，而 、h 皆已知，可算得 【36】如图所示，水池的水位高 h4m，池壁开有一小孔，孔口到水面高差为 y，如果从孔口射出的水流到达地面的水平距离 x2m，求
17、y 的值。如果要使水柱射出的水平距离最远，则 x 和 y 应为多少？ 【解】孔口的出流速度为 流体离开孔口时，速度是沿水平方向的，但在重力作用下会产生铅直向下的运动，设流体质点从孔口降至地面所需的时间为 t，则 消去 t，得 ，即解得 如果要使水柱射出最远，则因为 x 是 y 的函数，当 x 达到极大值时，dx/dy 0，上式两边对 y 求导，得 【37】如图所示消防水枪的水管直径 d10.12m，喷嘴出口直径 d20.04m，消防人员持此水枪向距离为 l12m，高 h15m 的窗口喷水，要求水流到达窗口时具有 V310m/s 的速度，试求水管的相对压强和水枪倾角 。 【解】解题思路：已知 V
18、3 利用截面 22 和 33 的伯努利方程就可以求出 V2。而利用截面 11 和 22 的伯努利方程可以求出水管的相对压强 p1p a。水流离开截面 22 以后可以视作斜抛运动，利用有关公式就可以求出倾角 。 对水射流的截面 22 和截面 33，压强相同， 将 h、V 3 代入得 V219.8540m/s。对于喷嘴内的水流截面 11 和截面 22，有 式中，p 2p a。利用连续方程，则有 喷嘴出口水流的水平速度和铅直速度分别是 V2cos 和 V2sin，利用斜抛物体运动公式，不难得到上抛高度 h 和平抛距离 l 的计算公式分别为 消去时间 t 得到 代入数据，又 上式化为 【38】如图所示
19、，一个水平放置的水管在某处出现 30 o的转弯，管径也从 d10.3m 渐变为 d20.2m，当流量为 Q0.1m 3/s 时，测得大口径管段中心的表压为 2.94104Pa，试求为了固定弯管所需的外力。 【解】用 p表示表压，即相对压强，根据题意，图示的截面 11 的表压p1p 1p a 2.94104Pa，截面 22 的表压 p2可根据伯努利方程求出。而固定弯管所需的外力，则可以利用总流的动量方程求出。 取如图所示的控制体，截面 11 和 22 的平均流速分别为 弯管水平放置，两截面高程相同，故 总流的动量方程是 由于弯管水平放置，因此我们只求水平面上的力。对于图示的控制体，x，y 方向的
20、动量方程是 代入数据，得 ， 【39】宽度 B1 的平板闸门开启时，上游水位 h12m，下游水位h20.8m，试求固定闸门所需的水平力 F。 【解】应用动量方程解本题，取如图所示的控制体，其中截面 11 应在闸门上游足够远处，以保证该处流线平直，流线的曲率半径足够大，该截面上的压强分布服从静压公式。而下游的截面 22 应选在最小过流截面上。由于这两个截面都处在缓变流中，总压力可按平板静水压力计算。控制体的截面 11 上的总压力为 1/2gh 1Bh1 ，它是左方水体作用在控制面 11 上的力，方向从左到右。同样地，在控制面 22 上地总压力为 1/2gh 2Bh2，它是右方水体作用在控制面 2
21、2 上的力，方向从右到左。另外，设固定平板所需的外力是 F，分析控制体的外力时，可以看到平板对控制体的作用力的大小就是 F，方向从右向左。 考虑动量方程的水平投影式： 流速和流量可根据连续性方程和伯努利方程求出： 由以上两式得 ； 将已知数据代入动量方程，得 我们还可以推导 F 的一般表达式。 上面已经由连续方程和伯努利方程求出速度 V2，因而 将此式代入动量方程得 【310】如图所示，从固定喷嘴流出一股射流，其直径为 d，速度为 V。此射流冲击一个运动叶片，在叶片上流速方向转角为 ，如果叶片运动的速度为u，试求： （1）叶片所受的冲击力； （2）水流对叶片所作的功率； （3）当 u 取什么值
22、时，水流作功最大？ 【解】射流离开喷嘴时，速度为 V，截面积为 A= d2/4，当射流冲入叶片时，水流相对于叶片的速度为 Vu，显然，水流离开叶片的相对速度也是 Vu。而射流截面积仍为 A。采用固结在叶片上的动坐标，在此动坐标上观察到的水流运动是定常的，设叶片给水流的力如图所示，由动量方程得 叶片仅在水平方向有位移，水流对叶片所作功率为：当 V 固定时，功率 P 是 u 的函数。令： 因此，当 uV/3 时，水流对叶片所作的功率达到极大值。【311】如图所示，两股速度大小同为 V 的水射流汇合后成伞状体散开，设两股射流的直径分别为 d1 和 d2，试求散开角 与 d1、d 2 的关系。如果 d
23、2 0.7d 1， 是多少度？不计重力作用。【解】射流暴露在大气中，不考虑重力影响，根据伯努利方程，各射流截面的流速相等。汇合流是一个轴对称的伞状体，其截面积逐渐减小，但汇合流量总是不变的，它等于两个射流量 Q1 和 Q2 之和。 作用在水体上的外力和为零，根据动量方程， 可以求出张角 与 d1、d 2 的关系。 当 d2 0.7d 1 时, cos0.3423 ，70 o 【312】如图所示，气体混合室进口高度为 2B，出口高度为 2b，进、出口气压都等于大气压，进口的速度 u0 和 2 u0 各占高度为 B，出口速度分布为 气体密度为 ，试求气流给混合室壁面的作用力。【解】利用连续性方程求
24、出口轴线上的速度 um： 用动量方程求合力 F： 【313】如图所示，旋转式洒水器两臂长度不等， l11.2m， l21.5m，若喷口直径 d25mm，每个喷口的水流量为 Q310 3 m3/s，不计摩擦力矩，求转速。 【解】水流的绝对速度等于相对速度及牵连速度的矢量和。本题中，相对速度和牵连速度反向，都与转臂垂直。 设两个喷嘴水流的绝对速度为 V1 和 V2，则 ； 根据动量矩方程，有 以 V1、V 2 代入上式，得 5 相似原理及量纲分析【41】液体在水平圆管中作恒定流动，管道截面沿程不变，管径为 D，由于阻力作用，压强将沿流程下降，通过观察，已知两个相距为 l 的断面间的压强差 p 与断
25、面平均流速 V，流体密度 ，动力粘性系数 以及管壁表面的平均粗糙度 等因素有关。假设管道很长，管道进出口的影响不计。试用 定理求 p 的一般表达式。 【解】列出上述影响因素的函数关系式 函数式中 N7 ；选取 3 个基本物理量，依次为几何学量 D、运动学量 V 和动力学量 ，三个基本物理量的量纲是 其指数行列式为 说明基本物理量的量纲是独立的。可写出 N3734 个无量纲 项： ， ，根据量纲和谐原理，各 项中的指数分别确定如下（以 1为例）：即 解得 x11，y 10，z 10，所以， ， ，以上各 项根据需要取其倒数，但不会改变它的无量纲性质，所以 求压差 p 时，以， 代入，可得 ； 令
26、：，最后可得沿程水头损失公式为 上式就是沿程损失的一般表达式。【42】通过汽轮机叶片的气流产生噪声，假设产生噪声的功率为 P，它与旋转速度 ，叶轮直径 D，空气密度 ，声速 c 有关，试证明汽轮机噪声功率满足 【解】由题意可写出函数关系式 现选 ，D， 为基本物理量，因此可以组成两个无量纲的 项：，基于 MLT 量纲制可得量纲式联立上三式求得 x13，y 11，z 15 所以，故有一般常将 c/D 写成倒数形式，即 D/c ，其实质就是旋转气流的马赫数，因此上式可改写为 【43】水流围绕一桥墩流动时，将产生绕流阻力 FD，该阻力和桥墩的宽度 b（或柱墩直径 D） 、水流速度 V、水的密度 、动
27、力粘性系数 及重力加速度 g 有关。试用 定理推导绕流阻力表示式。 【解】依据题意有 现选 、V、b 为基本物理量，由 定理，有 ，对于 1 项，由量纲和谐定理可得 求得 x11，y 12，z 12 ； 故 对于 2 项，由量纲和谐原理可得 解得 x21，y 21，z 21 ；故 对于 3 项，由量纲和谐定理可得 6 管流损失和水力计算【5-1】动力粘性系数 0.072 kg/（ m.s）的油在管径 d0.1 m 的圆管中作层流运动，流量 Q310 3 m3/s，试计算管壁的切应力 o 。 【解】管流的粘性切应力的计算式为 在管流中，当 r 增大时，速度 u 减小，速度梯度为负值，因此上式使用负号。 圆管层流的速度分布为
