1、第四章 平面图形及其位置关系第 34 课时 平面内两直线的位置关系教学目标1.掌握 “两点确定一条直线、两点之间的所有连线中，线段最短”等几何性质。2.掌握平行、垂直定义，理解平行、垂直的性质，会利用性质解决生活中的实际问题。3.七巧板的拼图及应用教学重点 1.掌握平行、垂直定义，理解平行、垂直的性质，会利用性质解决生活中的实际问题。教学难点 1.会画已知直线的平行线和垂线,2.垂线段最短性质的应用,3.平行、垂直定义，平行、垂直的性质及其应用。教学方法建议启发式教学，精讲多练，动手操作，在应用中渗透数学思想方法，讲练结合提高能力。课堂精讲例题 搭配课堂训练题 课后作业A 类 （ 1 道 （6
2、）道 （4）道B 类 （3）道 （4）道 （4）道选材程度及数量C 类 （2）道 （3）道 （3）道一、知识梳理1.平行的定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。平行线性质：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线互相平行。2.垂直定义：如果两条直线相交成直角，那么这两条直线互相垂直。互相垂直的两条直线的交点叫做垂足。垂直性质：平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。直线外一点与直线上各点连接的所有连线中，垂线段最短。/ 956过点 A 作直线 CD 的垂线，垂足为 O 点，线段 AO 的长度叫做点 A 到直线 CD 的距离。
3、3.基本性质(1)经过两点有且只有一条直线 （两点确定一条直线）(2)两点之间，线段最短（3）经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。（4）垂线段最短。(5)平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直4.七巧板的制作：七巧板由 5 块三角形，1 块正方形，一块平行四边形组成。二、课堂精讲例题例 1 平行线定义的理解及其辨析和画法1.下列说法错误的是（ ）A.直线 ab，若 c 与 a 相交，则 b 与 c 也相交B.直线 a 与 b 相交，c 与 a 相交，则 bcC.直线 ab，bc ,则 acD.直线 AB 与 CD 平行，则 AB 上所有点都在 CD 同侧【难度分级】A【试题来
4、源】经典试题【解析】掌握平行、垂直定义及其性质。理解直线是向两端无限延长的。并教给学生依据题意画图的方法。正确的是( B ) . 2.如图，在方格纸上： （1） 已有的四条线段中，哪些是互相平行的？（2） 过点 M 画 AB 的平行线。 （3）过点 N 画 GH 的平行线。 【难度分级】B 【试题来源】经典试题【解析】让学生掌握画图方法，在方格纸上找平行线，也可以借助于三角板画平行线，还可以用量角器画平行线。得出（1）ABCD （2） （3）略例 2 垂直定义的理解及其应用例 1. 如右上图，AOC 和BOD 都是直角，且AOB=150 ，求COD 的度数。【难度分级】B【试题来源】经典试题【
5、解析】利用方程的思想数形结合解决几何问题。设COD=x，AOC 和BOD 都是直角，所以都是90，则AOD=BOC=（90- x）则 90+（90- x）=150则 x=30所以COD =30【方法归纳】：利用垂直定义找出 90角，然后再看角的和差形式，建立等量关系列方程。例 3 角的计算与角平分线定义综合应用1.如图,O 为直线 AB 上一点,AOC = BOC,OC 是AOD 的平分线. (1)求COD 的度数; (2)试判13断 OD 与 AB 的位置关系. OCADB【难度分级】B【试题来源】中考试题【解析】(1)解:AOC= BOC, X|k |b| 1 . c|o |m13又AOC
6、+BOC=180,即AOC +3AOC= 180,AOC=45.又OC 是AOD 的平分线, AOC=COD =45.(2)AOC+COD=90,BOD=180-90=90, OD AB.【针对性训练 A 级】1.如右上图中互相平行的线段有（ ）组。A. 3 B. 4 C. 5 D. 72.如图,某工厂 P 旁边有一条河流,在河岸 AB 的什么地方建泵站抽水供工厂使用,才能尽量节约铺设的管道?请试着说出其中的理由?/ 958AP BOCADB3.如图,已知AOB=COD=90,AOD=150, 则BOC=_.4.已知线段 AB,延长 AB 到 C，使 BC= 31AB，D 为 AC 的中点，若
7、 AB9cm，则 DC 的长为 。5.如图二-3 中，AOB=180，AOC=90，DOE=90，则图中相等的角有对，分别为_；两个角的和为 90的角有_对；两个角的和为 180的角有_对6.如上图右四，在长方体中，与棱 AB 平行的棱有 条，它们分别是 ；与棱 CG 平行的棱有 条，它们分别是 ；与棱 AD 平行的棱有 条，它们分别是 .棱AB 和棱 CG 既不 ，也不 .来例 4 垂直定义、角的平分线定义及其应用 X k b 1 . c o m如图,OAOB、OCOD,OE 是 OD 的反向延长线. (1)试说明AOC=BOD .(2)若BOD=50,求AOE . OCAE DB【难度分级
8、】C【试题来源】经典试题【解析】(1)证明:OAOB,OCOD,OE 是 OD 的反向延长线,AOB=90, COD=COE=90.AOC=AOB-BOC =90- BOC,BOD =COD-BOC =90-BOC, AOC=BOD.(2)解法 1:BOD=50由(1)知,AOC =BOD=50,AOE =COE -AOC= 90-50=40解法 2：AOB=90，由平角定义得出AOE+BOD=90. 又BOD=50，AOE=40方法点拨：依据题意，结合图形，找出已知角和求证角之间的和差关系，严谨推理，准确计算。【针对性训练 B 级】1.如图，已知AOB，画图并回答： _O _A_B画AOB
9、的平分线 OP； 在 OP 上任取两点 C、D，过 C、D 分别画 OA、OB 的垂线，交 OA 于 E，F，交 OB 于 G、H，量出 CE，CG，DF ，DH 的长，由此可得到的结论是什么？过 C 作 MCOB 交 OA 于 M2.如图所示是七巧板，下列说法错误的是（ ）OCADBA F L O E G H B 图 2 C A.AOB 是直角 B.FLH 是钝角C.FLO 是平角 D.HEF 是锐角3.下列时刻中,时针与分针互相垂直的是( )A.2 点 20 分; B.3 点整; C.12 点 10 分; D.5 点 40 分4.如图 4,AOCO,BODO,BOC=30,求AOD 的度数
10、 . 例 5 角的计算及分类讨论思想的应用已知 OCOB ,垂足为 O,COB 与AOC 之差为 60,试求AOB 的度数. 【难度分级】CO CABO CAB【试题来源】经典试题【解析】只有数学语言陈述，没有图形,有两种情况. OA 在BOC 外部, OCOB,BOC=90.图 4/ 960COB-AOC=60,AOC=COB-60=90-60=30,AOB=BOC+ AOC=90+30=120. OA 在BOC 内部,如答题: OCOB,BOC =90.BOC-AOC=60,AOB=BOC-AOC=60.此题AOB 等于 120或 60.方法点拨：没有图形时，要分类讨论不同情况下角的位置及
11、其大小，可以与线段的分类讨论相类比学习。【针对性训练 C 级】1.如图，OA 丄 OB，OC 丄 OD，OE 为BOD 的平分线， BOE=1718，求AOC 的度数图 （ 7）A EDBFGC2.如图（7） ，从 A 到 B 最短的路线是（ ）A. AGEB B.ACEB C.ADGEB D.A FEB3.已知 OAOC，AOB： AOC =2：3，则BOC 的度数为（ ）A.30 B.150 C.30 或 150 D.以上都不对专题检测【专题针对性训练 A 级】1.在同一平面内,两条相交直线公共点的个数是_;两条平行直线的公共点的个数是_;两条直线重合,公共点有_个.2.下列推理中，错误的
12、是( )A.在 m、n、p 三个量中，如果 m=n, n=p，那么 m=p.B. 在A、B、C、D 四个角中，如果A=B， C= D，A=D ，那么B= C；C. a、b、c 是同一平面内的三条直线，如果 ab，bc ，那么 ac；D. a、b、c 是同一平面内的三条直线，如果 a 丄 b，b 丄 c，那么 a 丄 c；3.直线 a 外有一定点 A，A 到 a 的距离是 5，P 是直线 a 上的任意一点，则( )A.AP5； B.AP5； C.AP=5； D.AP54.下列说法中正确的是( )A、8 时 45 分，时针与分针的夹角是 30B、6 时 30 分，时针与分针重合C、3 时 30 分
13、，时针与分针的夹角是 90D、3 时整，时针与分针的夹角是 90【专题针对性训练 B 级】1.如图（6） ，把一张长方形的纸按图那样折叠后，B、D 两点落在 B、D点处，若得AOB=70 则BOG 的度数为 。图 （ 6） DBA OC G DB图 （ 8）OBDACFGHLEFCDAEO B2.如图直线 a，b，c 交于 O，122，3130，则4 的度数是（ ） 。A. 30 B. 60 C. 20 D. 153.如图（8） ，与 OH 相等的线段有（ ）A. 8 B. 7 C. 6 D. 44.如上右图，直线 AB、CD、EF 都经过点 O，且 ABCD，COE=35 0，求DOF、BO
14、F 的度数。【专题针对性训练 C 级】1.如下图左一：已知AOB= 21BOC, COD =AOD=3AOB, 求AOB 和COD 的度数。2.如图,点 P 是AOB 内一点,(1)作 PCOA,PDOB,垂足分别为 C、D;(2)量出 PC、PD 的长(精确到 1mm).(3)P 到 OA、OB 的距离中 ,P 离谁最近? (4)量出CPD 的度数.(5)AOB 与CPD 有什么数量关系? (6)由此可得到什么规律?3.如下右图三,已知 A、O、E 三点在一条直线上,OB 平分 AOC,AOB+DOE=90,试问:COD 与DOE 之间有怎样的关系?说明理由./ 962OAPBOCA EDB
15、针对性训练及专题检测答案【针对性训练 A 级】1.D 2. 过 P 作 PQAB,Q 为垂足,如答图,则 Q 为泵站位置,根据是垂线段最短 .APQB3. 30 4.6 cm 5.5 AOC=BOC， BOC=DOE，DOE=AOC，AOD= COE, DOC= BOE4， 36. 3 DC、EF、GH 3 BF、AE、DH 3 BC、FG、EH 平行 相交【针对性训练 B 级】1.如图： 画AOB 的平分线 OP，可以采用度量法，也可以采用尺规作图法等方法来作图，作法略 在 OP 上任取两点 C、D，过 C、D 分别画 OA、OB 的垂线，可以采用直角三角尺作法，也可以采用尺规作图法，还可以
16、采用量角器度量法等方法来作，作法略 量出 CE，CG，DF，DH 的长， （因 C、D 是任取的两点，所以 CE，CG，DF ，DH 的长具有随意性。故其测量结果略） ，由此可得到的结论是 CE=CG；DF=DH 即角平分线上的点到角两边的距离相等 过 C 作 MCOB 可以采用平推法（即用直尺和三角尺平推的方法） ，也可以采用作MCO=COG 的方法等来作图。2、D 3、B 4、解法一:AOCO,AOC=90,AOB=AOC-BOC =90-30=60.同理,可求 COD=60,AOD=AOB+BOC+COD =60+30+60=150.解法二:AOCO,BODO,AOC=BOD =90,A
17、OD=AOC+BOD- BOC=90+90-30=150.【针对性训练 C 级】1. 解：OE 为BOD 的平分线 2BOE=BODBOE=1718 BOD=3436OA 丄 OB，OC 丄 OD AOB=COD=90AOB+COD+AOC+ BOD=360AOC =145 242、D 3、C【专题针对性训练 A 级】1.1 个;0 个;无数个 2. D 3.B 4.D【专题针对性训练 B 级】1.55 2.A 3. B 4.DOF=35,BOF=125【专题针对性训练 C 级】1.AOB=40,COD=120 2.(1) (2) (4)略 (3)P 离 OB 最近.(5)AOB+CPD=180.(6)规律是:如果一个角的两边与另一个角的两边垂直, 那么这两个角相等或和为 180.3.解:COD=DOE理由:OB 平分AOC,AOB =BOC .A、O、E 三点在一条直线上,AOE=180.AOB+DOE=90,BOC+COD=90,COD=90-BOC, DOE=90-AOB,DOE=COD
