1、高中数学高一年级必修五第一章 第 1.2.2 节 ：正、余弦定理在实际中的应用导学案命制学校：沙市五中 命制教师：高一数学组+k.Com学习目标1.使学生能够运用正弦定理，余弦定理等知识解决一些有关测量距离的实际问题。了解常用的测量相关术语，如坡度、仰角、俯角、方向角、方位角等。2.结合实际测量工具，能用正弦定理、余弦定理等知识解决生活中一些有关底部不可到达的物体高度的测量问题。3.通过有关角的研究，让学生根据题意能准确地画出平面示意图，灵活应用正弦定理和余弦定理解关于角度的问题。学习重点、难点重点：分析测量距离问题，高度问题，角度问题的实际背景，能应用正、余弦定理解决实际测量问题。能根据正、
2、余弦定理的特点找到已知条件和所求角的关系。弄清仰角、俯角、方位角、方向角的概念，将实际问题转化为数学问题。 难点：根据题意准确画出示意图（平面或立体图形） ，灵活应用正、余弦定理解决有关实际测量问题。学法指导通过巧妙的设疑，结合学生的实际情况，采用“提出问题引发思考探索猜想总结规律反馈训练”的教学过程，使学生能够运用正弦定理和余弦定理等知识解决一些与测量有关的实际问题，帮助学生掌握常规解法，能够通过类比解决实际问题。D知识链接本章引言中就提出经常萦绕着我们的这么一个问题:“遥不可及的月亮离我们地球究竟有多远呢？”在古代，天文学家没有先进的仪器就已经估算出了两者的距离，是什么神奇的方法探索到这个
3、奥秘的呢？今天我们将一起学习这个神奇的方法，出示课题：正、余弦定理在实际问题中的应用。E自主学习测量中的基本术语提出问题李尧出校门向南前进 200 米，再向东走了 200 米，回到自己家中问题 1：李尧家在学校的哪个方向？提示：东南方向问题 2：能否用角度再进一步确定其方位？提示：可以，南偏东 45或东偏南 45.导入新知实际测量中的有关名称、术语名称 来源: 学优高考网定义 图示基线 在测量上，根据测量需要适当确定的线段叫做基线仰角 在同一铅垂平面内，视线在水平线上方时与水平线的夹角俯角 在同一铅垂平面内，视线在水平线下方时与水平线的夹角基线 在测量上，根据测量需要适当确定的线段叫做基线方向
4、角从指定方向线到目标方向线的水平角(指定方向线是指正北或正南或正东或正西，方向角小于 90) 南偏西 60指以正南方向为始边，转向目标方向线形成的角方位角从正北的方向线按顺时针到目标方向线所转过的水平角化解疑难解三角形实际问题的一般步骤，在弄清题意的基础上作出示意图，在图形中分析已知三角形中哪些元素，需求哪些量用正、余弦定理解三角形是解题的关键环节F.合作探究测量高度问题例 1 如图，为了测量河对岸的塔高 AB，有不同的方案，其中之一是选取与塔底 B在同一水平面内的两个测点 C 和 D，测得 CD200 米，在 C 点和 D 点测得塔顶 A 的仰角分别是 45和 30，且CBD30，求塔高 A
5、B.解 在 RtABC 中，ACB 45 ，若设 ABh，则 BCh；在RtABD 中，ADB30 ，则 BD h.3在BCD 中，由余弦定理可得CD2BC 2BD 22BCBD cosCBD，即 2002h 2( h)22 h h ，3 332所以 h2200 2，解得 h200(h200 舍去)即塔高 AB200 米类题通法测量高度问题的要求及注意事项(1)依题意画图是解决三角形应用题的关键，问题中，如果既有方向角( 它是在水平面上所成的角) ，又有仰(俯) 角(它是在铅垂面上所成的角)，在绘制图形时，可画立体图形和平面图形两个图，以对比分析求解；(2)方向角是相对于在某地而言的，因此在确
6、定方向角时，必须先弄清楚是哪一点的方向角从这个意义上来说，方向角是一个动态角，在理解题意时，应把它看活，否则在理解题意时将可能产生偏差活学活用1.如图，A、B 是水平面上两个点，相距 800 m，在 A 点测得山顶 C 的仰角是 25，BAD110，又在点 B 测得ABD40，其中 D 点是点 C 在水平面上的垂足求山高 CD(精确到 1 m)解：在ABD 中，ADB 1801104030 ，由正弦定理得AD ABsin Bsin ADB 800sin 40sin 301 028.5(m)，在 Rt ACD 中， CDAD tan 25480(m)答：山高约为 480 m.测量角度问题例 2
7、如图，在海岸 A 处，发现北偏东 45方向，距 A 处( 1)n 3mile 的 B 处有一艘走私船，在 A 处北偏西 75的方向，距离 A 处 2 n mile 的 C 处的缉私船奉命以 10 n mile/h 的速度追截走私船此时，3走私船正以 10 n mile/h 的速度从 B 处向北偏东 30方向逃窜，问缉私船沿着什么方向能最快追上走私船？解 设缉私船用 t h 在 D 处追上走私船，则有 CD10 t，BD10t，3在ABC 中，AB 1，AC2，BAC 120 ，3由余弦定理，得BC2AB 2AC 22AB ACcos BAC( 1) 22 22( 1)2cos 1203 36，
8、BC ，6且 sin ABC sin BAC .ACBC 26 32 22ABC45.BC 与正北方向垂直CBD9030 120，在BCD 中，由正弦定理，得sin BCD ，BDsin CBDCD 10tsin 120103t 12BCD30.即缉私船沿东偏北 30方向能最快追上走私船类题通法解决追及问题的步骤(1)把实际问题转化为数学问题；(2)画出表示实际问题的图形，并在图中标出有关的角和距离，这样借助于正弦定理或余弦定理，就容易解决问题了；(3)最后把数学问题还原到实际问题中去活学活用2.某货船在索马里海域航行中遭海盗袭击，发出呼叫信号，如图，我海军护航舰在 A 处获悉后，立即测出该货
9、船在方位角为 45，距离为10 海里的 C 处，并测得货船正沿方位角为 105的方向，以 10 海里/小时的速度向前行驶，我海军护航舰立即以 10 海里/ 小时的速度前去营救，3求护航舰的航向和靠近货船所需的时间解：在ABC 中，根据余弦定理，有 AB2AC 2BC 22 ACBCcos 120，可得(10 t)210 2(10t) 221010tcos 120，3整理得 2t2t10，解得 t1 或 t (舍去) 12舰艇需 1 小时靠近货船此时 AB10 ，BC10，3又 AC10，所以CAB30，所以护航舰航行的方位角为 75.1.探 究 距 离 测 量 问 题测量距离问题分为三种类型：
10、两点间不可通又不可视，两点间可视但不可达，两点都不可达解决此问题的方法是：选择合适的辅助测量点，构造三角形，将问题转化为求某个三角形的边长问题，从而利用正、余弦定理求解【角度一】 两点不相通的距离如图所示，要测量一水塘两侧 A、B 两点间的距离，其方法先选定适当的位置 C，用经纬仪测出角 ，再分别测出 AC，BC 的长b，a，则可求出 A，B 两点间的距离即 AB .a2 b2 2abcos 若测得 CA400 m，CB600 m，ACB60，试计算 AB 长解：在ABC 中，由余弦定理得AB2AC 2BC 22AC BCcosACB，AB 2400 2600 22400600cos 6028
11、0 000.AB200 m.7即 A、B 两点间的距离为 200 m.7【角度二】 两点间可视但有一点不可到达如图所示，A，B 两点在一条河的两岸，测量者在 A 的同侧，且B 点不可到达，要测出 AB 的距离，其方法在 A 所在的岸边选定一点C，可以测出 AC 的距离 m，再借助仪器，测出ACB ， CAB ，在 ABC 中，运用正弦定理就可以求出 AB.若测出 AC60 m，BAC 75，BCA 45 ，则 A、B 两点间的距离为_解析：ABC180754560，所以由正弦定理得， ，ABsin C ACsin BAB 20 (m)ACsin Csin B 60sin 45sin 60 6即
12、 A、B 两点间的距离为 20 m.6答案：20 m6【角度三】 两点都不可到达如图，A，B 两点在河的同侧，且 A，B 两点均不可到达，测出AB 的距离，其方法测量者可以在河岸边选定两点 C，D，测得CDa，同时在 C，D 两点分别测得BCA ， ACD，CDB，BDA.在ADC 和BDC 中，由正弦定理分别计算出 AC 和 BC，再在ABC 中，应用余弦定理计算出 AB.若测得 CD km，ADBCDB30，ACD60，ACB45，求 A，B 两32点间的距离解：ADCADBCDB60 ，ACD60，DAC60，来源:学优高考网ACDC .32在BCD 中，DBC45，由正弦定理，得 BC
13、 sinBDC sin DCsin DBC 32sin 4530 .64在ABC 中，由余弦定理，得AB2AC 2BC 22AC BCcos 45 2 .34 38 32 64 22 38AB (km)来源:学优高考网64A，B 两点间的距离为 km.64G.课堂小结由学生整理学习了哪些内容？有什么收获？来源:gkstk.ComH达标检测一、选择题1从 A 处望 B 处的仰角为 ，从 B 处望 A 处的俯角为 ，则 ， 的关系为( )A B. C 90 D 180解析：选 B 根据题意和仰角、俯角的概念画出草图，如图知 ，故应选 B.2两灯塔 A， B 与海洋观察站 C 的距离都等于 a(km
14、)，灯塔 A 在 C 北偏东 30， B 在C 南偏东 60，则 A， B 之间距离为( )A. a km B. a km2 3C a km D2 a km解析：选 A ABC 中， AC BC a， ACB90，AB a.23有一长为 10 m 的斜坡，倾斜角为 75，在不改变坡高和坡顶的前提下，通过加长坡面的方法将它的倾斜角改为 30，则坡底要延长的长度(单位：m)是( )A5 B.10C10 D102 3解析：选 C 如图，设将坡底加长到 B时，倾斜角为 30，在 ABB中，利用正弦定理可求得 BB的长度在 ABB中， B30， BAB753045， AB10 m，由正弦定理，得BB 1
15、0 (m)ABsin 45sin 30102212 2坡底延伸 10 m 时，斜坡的倾斜角将变为 30.24一船自西向东匀速航行，上午 10 时到达一座灯塔 P 的南偏西 75距塔 68 海里的M 处，下午 2 时到达这座灯塔的东南方向的 N 处，则这只船的航行速度为( )A. 海里/小时 B.34 海里/小时1762 6C. 海里/小时 D34 海里/小时1722 2解析：选 A 如图所示，在 PMN 中， ，PMsin 45 MNsin 120 MN 34 ，6832 6 v (海里/小时)MN4 172 65.如图，甲船以每小时 30 海里的速度向正北方向航行，乙船按2固定方向匀速直线航
16、行，当甲船位于 A1处时，乙船位于甲船的北偏西105方向的 B1处，此时两船相距 20 海里，当甲船航行 20 分钟到达A2处时，乙船航行到甲船的北偏西 120方向的 B2处，此时两船相距10 海里，则乙船每小时航行 ( )2A10 海里 B.20 海里2 2C30 海里 D30 海里2解析：选 D 如图，连结 A1B2，在 A1A2B2中，易知 A1A2B260，又易求得A1A230 10 A2B2，213 2 A1A2B2为正三角形， A1B210 .2在 A1B1B2中，易知 B1A1B245， B1B 40020022010 200，2 222 B1B210 ，乙船每小时航行 30 海
17、里2 2二、填空题6某人从 A 处出发，沿北偏东 60行走 3 km 到 B 处，再沿正东方向行走 2 km 到3C 处，则 A， C 两地距离为_km.解析：如右图所示，由题意可知 AB3 ， BC2， ABC150.3由余弦定理，得AC227423 2cos 15049，3AC7.来源:学优高考网则 A， C 两地距离为 7 km.答案：77一蜘蛛沿东北方向爬行 x cm 捕捉到一只小虫，然后向右转 105，爬行 10 cm 捕捉到另一只小虫，这时它向右转 135爬行回它的出发点，那么 x_.解析：如图所示，设蜘蛛原来在 O 点，先爬行到 A 点，再爬行到 B 点，易知在 AOB 中， A
18、B10 cm， OAB75， ABO45，则 AOB60，由正弦定理知：x (cm)ABsin ABOsin AOB 10sin 45sin 60 1063答案： cm10638某船开始看见灯塔在南偏东 30方向，后来船沿南偏东 60方向航行 30 n mile后，看见灯塔在正西方向，则这时船与灯塔的距离为_ n mile.解析：如图所示， B 是灯塔， A 是船的初始位置， C 是船航行后的位置，则 BC AD， DAB30， DAC60，则在 Rt ACD 中，DC ACsin DAC30sin 6015 n mile，3AD ACcos DAC30cos 6015 n mile，则在 R
19、t ADB 中，DB ADtan DAB15tan 305 n mile，3则 BC DC DB15 5 10 n mile.3 3 3答案：10 3三、解答题9海岛 O 上有一座海拔 1 000 米的山，山顶上设有一个观察站 A，上午 11 时，测得一轮船在岛北偏东 60的 C 处，俯角 30，11 时 10 分，又测得该船在岛的北偏西 60的 B 处，俯角 60.则该船的速度为每小时多少千米？解：如图所示，设观察站 A 在水平面上的射影为 O，依题意 OB OAtan 30 (千33米)，OC OAtan 60 (千米)，3则 BC OB2 OC2 2OBOCcos 120 (千米)133
20、船速 v 2 (千米/小时)133 1060 3910甲船在 A 处观察到乙船在它的北偏东 60方向的 B 处，两船相距 a 海里，乙船正向北行驶，若甲船是乙船速度的 倍，问甲船应取什么方向前进才能在最短时间内追上乙3船？此时乙船行驶多少海里解：设甲沿直线与乙船同时到 C 点，则 A、 B、 C 构成一个 ABC，如图，设乙船速度为 v，则甲船速度为 v，到达 C 处用时为 t.3由题意 BC vt， AC vt， ABC120.3在 ABC 中，由余弦定理AC2 AB2 BC22 ABBCcos120，3 v2t2 a2 v2t2 avt.2 v2t2 avt a20，解得 vt (舍)或 vt a.a2 BC a，在 ABC 中 AB BC a， BAC ACB30.答：甲船应取北偏东 30的方向去追乙，此时乙船行驶 a 海里
