1、1.2 应用举例【选题明细表】知识点、方法 题号测量距离问题 1、2、3测量高度问题 7、8测量角度问题 4、6、9、11其他问题 5、10基础达标1.学校体育馆的人字形屋架为等腰三角形,如图,测得 AC的长度为4 m,A=30,则其跨度 AB的长为( D )(A)12 m (B)8 m (C)3 m (D)4 m解析:由正弦定理得 = ,由题意得 C=120,B=30,AB= = =4 (m).故选 D.2.如图,为了测量 A、B 两点间的距离,在地面上选择适当的点 C,测得 AC=100 m,BC=120 m,ACB=60,那么 A、B 的距离为( B )(A)20 m (B)20 m(C
2、)500 m (D)60 m解析:由余弦定理得AB2=AC2+BC2-2ACBCcos 60=1002+1202-2100120=12400,AB=20 (m),故选 B.3.(2014濮阳高二期末)如图所示,已知两座灯塔 A和 B与海洋观察站 C的距离都等于 a km,灯塔 A在观察站 C的北偏东 20,灯塔 B在观察站 C的南偏东 40,则灯塔 A与灯塔 B的距离为( B )(A)a km (B) a km(C) a km(D)2a km解析:由题意得ACB=120,AB2=a2+a2-2a2cos 120=3a2,AB= a.故选 B.4.在静水中划船的速度是每分钟 40 m,水流的速度
3、是每分钟 20 m,如果船从岸边 A处出发,沿着与水流垂直的航线到达对岸,那么船前进的方向指向河流的上游并与河岸垂直的方向所成的角为( B )(A)15 (B)30 (C)45 (D)60解析:如图,sinCAB= = ,CAB=30,故选 B.5.(2014临沂质量抽测)一货轮航行到 M处,测得灯塔 S在货轮的北偏东 15,与灯塔 S相距 20海里,随后货轮按北偏西 30的方向航行 30分钟到达 N处后,又测得灯塔在货轮的北偏东 45,则货轮的速度为( B )(A)20( + )海里/时(B)20( - )海里/时(C)20( + )海里/时(D)20( - )海里/时解析:由题意得SNM=
4、105,NSM=30, = ,MN= = ,货轮速度 v= = =20( - ).故选 B.6.张帅在操场上某点 B处测得学校的科技大楼 AE的顶端 A的仰角为,沿 BE方向前进 30 m至点 C处测得顶端 A的仰角为 2.继续前进 10 m至 D点,测得顶端 A的仰角为 4,则 等于 . 解析:画出示意图,在ABE 中,AC=BC=30 m,CD=DA=10 m,cosACD=cos 2= = =15.答案:157.如图,测量河对岸的塔高 AB时,可以选与塔底 B在同一水平面内的两个测点 C与 D.测得BCD=15,BDC=30,CD=30 米,并在点 C测得塔顶 A的仰角为 60,则塔高
5、AB= .解析:由题意可知在BCD 中,BCD=15,BDC=30,CD=30,则CBD=180-BCD-BDC=135.由正弦定理可得BC= = =15 .又在 RtABC 中,ABC=90,ACB=60,AB=BCtanACB=15 =15 (米).答案:15 米能力提升8.如图,某城市的电视台发射塔 CD建在市郊的小山上,小山的高 BC为 35米,在地面上有一点 A,测得 A,C间的距离为 91米,从 A观测电视发射塔 CD的视角(CAD)为 45,则这座电视台发射塔的高度 CD为 .解析:AB= =84,tanCAB= = = .由 =tan(45+CAB)= = .得 CD=169.
6、答案:169 米9.甲船在 A处观察到乙船在它的北偏东 60方向的 B处,两船相距a海里,乙船正向北行驶,若甲船速度是乙船速度的 倍,问甲船应取什么方向前进才能在最短时间内追上乙船?此时乙船行驶了多少海里?解:设甲船沿直线行驶与乙船同时到 C点,则 A、B、C 构成ABC,如图.设乙船速度为 v,则甲船速度为 v,设到达 C处用时为 t. 由题意,BC=vt,AC= vt,ABC=120.在ABC 中,由余弦定理得AC2=AB2+BC2-2ABBCcos 120,3v 2t2=a2+v2t2+avt.2v 2t2-avt-a2=0,解得 vt=- (舍去)或 vt=a.BC=a,在ABC 中
7、AB=BC=a,BAC=ACB=30,60-30=30.即甲船应取北偏东 30的方向去追乙船,此时乙船行驶了 a海里.10.如图,A、B、C、D 都在同一个与水平面垂直的平面内,B、D 为两岛上的两座灯塔的塔顶,测量船于水面 A处测得 B、D 两点的仰角分别为 75,30,于水面 C处测得 B、D 两点的仰角分别为 60,60,AC=0.1 km,试探究图中哪两点间距离与 BD相等,并求 BD(计算结果精确到 0.01 km, 1.414, 2.449) 解:在ACD 中,DAC=30,ADC=60-DAC=30,CD=AC,又BCD=180-60-60=60=ACB,ACBDCB,AB=DB
8、.在ABC 中,ABC=75-ACB=15.由正弦定理得 AB= sin 60= (km).BD= 0.33(km).即 A、B 两点距离与 BD相等,BD 约为 0.33 km.探究创新11.(2013年高考江苏卷)如图,游客从某旅游景区的景点 A处下山至C处有两种路径.一种是从 A沿直线步行到 C,另一种是先从 A沿索道乘缆车到 B,然后从 B沿直线步行到 C.现有甲、乙两位游客从 A处下山,甲沿 AC匀速步行,速度为 50 m/min.在甲出发 2 min后,乙从 A乘缆车到 B,在 B处停留 1 min后,再从 B匀速步行到 C.假设缆车匀速直线运动的速度为 130 m/min,山路
9、AC长为 1260 m,经测量,cos A= ,cos C= .(1)求索道 AB的长;(2)问:乙出发多少分钟后,乙在缆车上与甲的距离最短?(3)为使两位游客在 C处互相等待的时间不超过 3分钟,乙步行的速度应控制在什么范围内?解:(1)在ABC 中,因为 cos A= ,cos C= ,所以 sin A= ,sin C= .从而 sin B=sin-(A+C)=sin(A+C)=sin Acos C+cos Asin C= + = .由正弦定理 = ,得 AB= sin C= =1040(m).所以索道 AB的长为 1040 m.(2)假设乙出发 t min后,甲、乙两游客距离为 d,此时
10、,甲行走了(100+50t)m,乙距离 A处 130t m,所以由余弦定理得 d2=(100+50t)2+(130t)2-2130t(100+50t) =200(37t2-70t+50).由于 0t ,即 0t8,故当 t= (min)时,甲、乙两游客距离最短.(3)由正弦定理 = ,得 BC= sin A= =500(m).乙从 B出发时,甲已走了 50(2+8+1)=550(m),还需走 710 m才能到达 C.设乙步行的速度为 v m/min,由题意得-3 - 3,解得 v ,所以为使两位游客在 C处互相等待的时间不超过 3 min,乙步行的速度应控制在 , (单位:m/min)范围内.
