1、教学设计3.2.2 函数模型的应用实例第 1 课时整体设计教学目标知识与技能：(1)通过实例“汽车的行驶规律” ，理解一次函数、分段函数的应用，提高学生的读图能力(2)通过“马尔萨斯的人口增长模型” ，使学生学会指数型函数的应用，了解函数模型在社会生活中的广泛应用过程与方法：在实际问题的解决中，发展学生科学地提出问题、分析问题的能力，体会数学与物理、人类社会的关系情感、态度与价值观：通过学习，体会数学在社会生活中的应用价值，培养学生的兴趣和探究素养重点、难点教学重点：分段函数和指数型函数的应用教学难点：函数模型的体验与建立教学过程导入新课思路 1(情境导入)在课本第三章的章头图中，有一大群喝水
2、、嬉戏的兔子，但是这群兔子曾使澳大利亚伤透了脑筋.1859 年，有人从欧洲带进澳洲几只兔子，由于澳洲有茂盛的牧草，而且没有兔子的天敌，兔子数量不断增加， 不到 100 年，兔子们几乎占领了整个澳大利亚，数量达到75 亿只可爱的兔子变得可恶起来，75 亿只兔子吃掉了相当于 75 亿只羊所吃的牧草，草原的载畜率大大降低，而牛、羊是澳大利亚的主要牲口这使澳大利亚人头痛不已，他们采用各种方法消灭这些兔子，直至二十世纪五十年代，科学家采用载液瘤病毒杀死了百分之九十的野兔，澳大利亚人才算松了一口气与之相应，图中话道出了其中的意蕴：对于一个种群的数量，如果在理想状态(如没有天敌、食物充足等)下，那么它将呈指
3、数增长；但在有限制的环境中，种群数量一般符合对数增长模型上一节我们学习了不同的函数模型的增长差异，这一节我们将进一步讨论不同函数模型的应 用思路 2.(直接导入)上一节我们学习了不同的函数模型的增长差异，这一节我们将进一步讨论不同函数模型的应用推进新课Error!提出问题(1)我市有甲、乙两家乒乓球俱乐部，两家设备和服务都很好，但收费方式不同甲家每张球台每小时 5 元；乙家按月计费，一个月中 30 小时以内(含 30 小时) 每张球台 90 元，超过 30 小时的部分每张球台每小时 2 元小张准备下个月从这两家中的一家租一张球台开展活动，其活动时间不少于 15 小时，也不超过 40 小时设在甲
4、家租一张 球台开展活动 x 小时的收费为 f(x)元(15 x40) ，在乙家租一张球台开展活动 x 小时的收费为 g(x)元(15 x 40) ，试求 f(x)和 g(x)(2)A，B 两城相距 100 km，在两地之间距 A 城 x km 处的 D 地建一核电站，给 A，B两城供电，为保证城市安全核电站距城市的距离不得少于 10 km.已知供电费用与供电距离的平方和供电量之积成正比，比例系数 0.25.若 A 城供电量为 20 亿度/月，B 城为 10亿度/ 月把月供电总费用 y 表示成 x 的函数，并求定义域(3)分析以上实例属于那种函数模型讨论结果：(1)f (x)5x(15x40)
5、；g(x)Error!(2)y5x 2 (100x)2(10x 90) 52(3)分别属于一次函数模型、分段函数模型、二次函数模型Error!例 1 一辆汽车在某段路程中的行驶速率与时间的关系如图 1 所示 图 1(1)求图 1 中阴影部分的面积，并说明所求面积的实际含义；(2)假设这辆汽车的里程表在汽车行驶这段路程前的读数为 2 004 km，试建立行驶这段路程时汽车里程表读数 s(km)与时间 t(h)的函数解析式，并作出相应的图象活动：学生先思考讨论，再回答教师可根据实际情况，提示引导图中横轴表示时间，纵轴表示速度，面积为路程；由于每个时间段速度不同，汽车里程表读数 s(km)与时间 t
6、(h)的函数为分段函数解：(1)阴影部分的面积为 501801901751 651360.阴影部分的面积表示汽车在这 5 小时内行驶的路程为 360 km.(2)根据图 1，有 sError!这个函数的图象如图 2 所示 图 2变式训练电信局为了满足客户不同需要，设有 A，B 两种优惠方 案，这两种方案应付话费( 元)与通话时间(分钟) 之间关系如图 3 所示(其中 MNCD) (1)分别求出方案 A，B 应付话费 (元)与通话时间 x(分钟) 的函数表达式 f(x)和 g(x)；(2)假如你是一位电信局推销人员，你是如何帮助客户选择 A，B 两种优惠方案的？并说明理由 图 3解：(1)两种优
7、惠方案所对应的函数解析式：g(x)201()30xfx， ， ， ， 503150.x， ， ，(2)当 f(x)g(x)时， x10 50，x 200.310当客户通话时间为 200 分钟时，两种方案均可；当客户通话时间为 0x200 分钟，g(x)f(x)，故选择方案 A；当客户通话时间为 x200 分钟时，g(x)f(x)，故选方案 B.点评：在解决实际问题过程中，函数图象能够发挥很好的作用，因此，我们应当注意提高读图的能力另外，本题用到了分段函数，分段函数是刻画实际问题的重要模型.例 2 人口问题是当今世界各国普遍关注的问题认识人口数量的变化规律，可以为有效控制人口增长提供依据早在 1
8、798 年，英国经济学家马尔萨斯(T.R.Malthus，17661834)就提出了自然状态下的人口增长模型：yy 0ert，其中 t 表示经过的时间，y 0 表示 t0 时的人口数，r 表示人口的年平均增长率下表是 19501959 年我国的人口数据资料：年份 1950 1951 1952 1953 1954 1955 1956 1957 1958 1959人数/ 55 56 57 58 60 61 62 64 65 67 万人 196 300 482 796 266 456 828 563 994 207(1)如果以各年人口增长率的平均值作为我国这一时期的人口增长率( 精确到 0.000
9、1)，用马尔萨斯人口增长模型建立我国在这一时期的具体人 口增长模型，并检验所得模型与实际人口数据是否相符；(2)如果按表的增长趋势，大约在哪一年我国的人口达到 13 亿？解：(1)设 19511959 年的人口增长率分别为 r1，r 2，r 3，r 9.由 55 196(1r 1)56 300，可得 1951 年的人口增长率为 r10.020 0.同理可得，r 20.021 0，r 30.022 9，r 40.025 0，r 50.019 7，r 60.022 3，r 7 0.027 6，r 80.022 2，r 90.018 4.于是，19511959 年期间，我国人口的年平均增长率为r(r
10、 1r 2 r 9)90.022 1.令 y055 196，则我国在 19501959 年期间的人口增长模型为 y55 196e 0.022 1t，t N .根据表中的数据作出散点图，并作出函数 y55 196e 0.022 1t(tN)的图象(图 4) 图 4由图可以看出，所得模型与 19501959 年的实际人口数据基本吻合(2)将 y130 000 代入 y55 196e 0.022 1t，由计算器可得 t 38.76.所以，如果按表的增长趋势，那么大约在 1950 年后的第 39 年(即 1989 年) 我国的人口就已达到 13 亿由此可以看到，如果不实行计划生育，而是让人口自然增长，
11、今天我国将面临难以承受的人口压力.变式训练一种放射性元素，最初的质量为 500 g，按每年 10%衰减(1)求 t 年后，这种放射性元素质量 的表达式；(2)由求出的函数表达式，求这种放射性元素的半衰期( 剩留量为原来的一半所需的时间叫做半衰期)(精确到 0.1.已知 lg 20.301 0，lg 30.477 1)解：(1)最初的质量为 500 g.经过 1 年后，500(110%)5000.9 1；经过 2 年后，5000.9(110%) 5000.9 2；由此推知，t 年后，5000.9 t.(2)解方程 5000.9 t250，则 0.9t0.5，所以 t 6.6(年)，lg 0.5l
12、g 0.9 lg 22lg 3 1即这种放射性元素的半衰期约为 6.6 年.Error!某电器公司生产 A 型电脑.1993 年这种电脑平均每台的生产成本为 5 000 元，并以纯利润 20%确定出厂价从 1994 年开始，公司通过更新设备和加强管理，使生产成本逐年降低到 1997 年，尽管 A 型电脑出厂价仅是 1993 年出厂价的 80%，但却实现了 50%纯利润的高效益(1)求 1997 年每台 A 型电脑的生产成本；(2)以 1993 年的生产成本为基数，求 1993 年至 1997 年生产成本平均每年降低的百分数( 精确到 0.01，以下数据可供参考： 2.236， 2.449)5
13、6活动：学生先思考讨论，再回答教师根据实际情况，提示引导出厂价单位商品的成本单位商品的利润解：(1)设 1997 年每台电脑的生产成本为 x 元，依题意，得x(150%)5 000(120%)80%，解得 x3 200( 元)(2)设 1993 年至 1997 年间每年平均生产成本降低的百分率为 y，则依题意，得 5 000(1 y)43 200，解得 y1 1 ，y 21 (舍去)所以 y1 0.1111% ，255 255 255即 1997 年每台电脑的生产成本为 3 200 元，1993 年至 1997 年生产成本平均每年降低约为 11%.点评：函数与方程的应用是本章的重点，请同学们体
14、会它们的关联性Error!某家电企业根据市场调查分析，决定调整产品的生产方案：准备每周(按 120 个工时计算)生产空调、彩电、冰箱共 360 台，且冰箱至少生产 60 台已知生产这些家电产品每台所需工时和每台产值如下表：家电名称 空调 彩电 冰箱每台所需工时 12 13 14每台产值(千元) 4 3 2问每周应生产空调、彩电、冰箱各多少台，才能使周产值最高？最高产值是多少？(以千元为单位)解：设每周生产空调、彩 电、冰箱分别为 x 台、y 台、z 台，每周产值为 f 千元，则 f4x3y2z，其中Error!Error!由可得 y3603x ，z2x ，代入得Error!则有 30x120.
15、故 f4x3(3603x )22 x1 080x，当 x30 时，f max1 080301 050.此时 y3603x 270，z2x 60.答：每周应生产空调 30 台，彩电 270 台，冰箱 60 台，才能使每周产值最高，最高产值为 1 050 千元点评：函数、方程、不等式有着密切的关系，它们相互转化组成一个有机的整体请同学们借助上面的实例细心体会Error!本节重点学习了函数模型的实例应用，包括一次函数模型、二次函数模型、分段函数模型等；另外还应关注函数、方程、不等式之间的相互关系活动：学生先思考讨论，再回答教师提示、点拨，及时评价引导方法：从基本知识和基本技能两方面来总结Error!
16、课本习题 3.2A 组 5,6.设计感想本节设计从有趣的故事开始，让学生从故事中体会函数模型的选择，然后通 过几个实例介绍常用函数模型接着通过最新题型，训练学生由图表转化为函数解析式的能力，从而解决实际问题本节的每个例题的素材贴近现代生活，都是学生非常感兴趣的问题，很容易引起学生的共鸣第 2 课时作者：王仁海，瓯海中学教师，本教学设计获浙江省教学设计大赛省一等奖整体设计教学分析本节课选自普通高中课程标准实验教科书数学 1 必修(A 版) 第三章的“3.2.2 函数模型的应用实例” ，即建立拟合函数模型解决实际问题函数模型的应用是中学数学的重要内容之一，它主要包含三个方面：利用给定的函数模型解决
17、实际问题，建立确定性函数模型解决问题，建立拟合函数模型解决实际问题而建立拟合函数模型解决实际问题是其重点，也是难点函数模型的应用教学，既有不可替代的位置，又有重要的现实意义本节通过实例来说明函数模型的应用，是因为函数模型本身就来源于现实，能给学生提供更多从实际问题中发现或建立数学模型的机会，并体会数学在实际问题中的应用价值因此在中学教学中有重要的地位学情分析学生在学习本节内容之前，已经学习了函数的图象和性质，理解了函数的图象与性质之间的关系，尤其是学习了 3.2.1 几类不同的函数增长模型和 3.2.2 函数模型的应用实例学会了如何利用给定的函数模型解决实际问题，建立确定性函数模型解决问题，已
18、经具备了一定的函数模型应用能力这为理解建立拟合函数模型解决实际问题提供了基础，也为深入理解如何建立合适的拟合函数模型提供了依据但学生对于动态数据认识薄弱，对于综合应用函数图象与性质尚不够熟练，这些都给学生选择合适的模型造成一定的困难因此，在教学时应该为学生创设熟悉的问题情境，充分利用学生熟悉的函数图象来选择合适的模型引导学生观察、计算、思考和理解问题的本质教学目标知识与技能：了解函数拟合的基本思想，学会建立拟合函数模型解决实际问题过程与方法：借助信息技术，利用数据画出函数图象，从拟合简单的一次函数模型入手，掌握多角度观察函数图象的技能，探究出各种合适的拟合函数模型在建构知识的过程中体会数形结合
19、的思想与从特殊到一般的归纳思想情感、态度与价值观：体验探究的乐趣，体验函数是描述变化规律的基本数学模型，培养学生分析解决问题的能力重点与难点重点：将实际问题化为函数模型，建立合适的拟合函数模型解决简单的实际问题难点：如何建立适当的函数模型来解决实际问题教学过程设计思想一、创设应用情境，引出问题前面我们学习过两种函数模型的应用，分别是利用给定函数模型解决实际问题，建立确定性的函数模型解决问题，那么在既没有给出函数模型又无法建立确定性函数模型的情况下，又该如何解决实际问题呢？二、组织探究例 1 下表是我校从实施研究性学习以来，高一年级段学生的研究性学习小论文在我市每年一次的评比中获奖的相关数据.年
20、份 1 2 3 4 5篇数 14 21 27 35 41请描点画出获奖篇数随年份变化的图象，并写出一个能基本反映这个变化现象的函数解析式设计意图以学生熟悉的实际问题为背景，激活学 生的原有知识，形成学生的“再创造”欲望，让学生在熟悉的环境中发现新知识，使新知识和原知识形成联系，同时也体现了数学的应用价值探究：(1)组织学生读、议，小组讨论该如何分析题目？列表c1 c2 c3 c4 c5 c61 142 213 274 355 41描点 图 1根据点的分布特征，可以考虑以一次函数 ykxb(k0)作为描绘篇数与年份的变化趋势取(1,14) ，(4,35) ，有 Error!解得Error!这样，
21、我们就得到函数模型 y7x7.作出此模型函数图象如下：图 2根据上述图象，我们发现这个函数模型与已知数据的拟合程度较好，这说明它能较好地反映我校获奖篇数与年份的变化趋势.变式训练我校自实施研究性学习以来，全校三个年级段学生的研究性学习小论文在我市每年一次的评比中第 1 年、第 2 年、第 3 年的获奖篇数分别是 52,61,68.为了预测以后每年的获奖篇数，甲同学选择了模型 yax 2bxc，乙同学选择了模型 y pqxr，其中 y 为篇数，x 为年份a，b，c， p，q，r 都是常数结果第 4 年、第 5 年、第 6 年的获奖篇数分别为74、78、83，你认为谁选择的模型较好？探究组织学生读、议，小组讨论分析、解决问题解：(1)列表c1 c2 c3 c4 c5 c61 522 613 684 745 786 83(2)画散点图 图 3(3)确定函数模型由前三组数据，用计算器确定函数模型：甲：y 1x 212x 41；
