1、示范教案整 体 设 计教学分析 幂函数作为一类重要的函数模型，是学生在系统地学习了指数函数、对数函数之后研究的又一类基本的初等函数学生已经有了学习指数函数和对数函数的图象和性质的学习经历，幂函数概念的引入以及图象和性质的研究便水到渠成因此，学习过程中，引入幂函数的概念之后，尝试放手让学生自己进行合作探究学习本节通过实例，让学生认识到幂函数同样也是一种重要的函数模型，通过研究 yx，yx 2，yx 3，yx 1 ，y 等21x函数的性质和图象，让学生认识到幂指数大于零和小于零两种情形下，幂函数的共性：当幂指数 0 时，幂函数的图象都经过点(0,0)和(1,1)，且在第一象限内函数单调递增；当幂指
2、数 0 时，幂函数的图象都经过点(1,1)，且在第一象限内函数单调递减且以两坐标轴为渐近线在方法上，我们应注意从特殊到一般地去进行类比研究幂函数的性质，并注意与指数函数进行对比学习将幂函数限定为五个具体函数，通过研究它们来了解幂函数的性质其中，学生在初中已经学习了 yx，yx 2，yx 1 等三个简单的幂函数，对它们的图象和性质已经有了一定的感性认识现在明确提出幂函数的概念，有助于学生形成完整的知识结构学生已经了解了函数的基本概念、性质和图象，研究了两个特殊函数：指数函数和对数函数，对研究函数已经有了基本思路和方法因此，教材安排学习幂函数，除内容本身外，掌握研究函数的一般思想方法是另一目的，另
3、外，应让学生了解利用信息技术来探索函数图象及性质是一个重要途径学习中学生容易将幂函数和指数函数混淆，因此在引出幂函数的概念之后，可以组织学生对两类不同函数的表达式进行辨析三维目标 1通过生活实例引出幂函数的概念，会画幂函数的图象2通过观察图象，了解幂函数图象的变化情况和性质，加深学生对研究函数性质的基本方法和流程的经验，培养学生概括抽象和识图能力，使学生体会到生活中处处有数学，激发学生的学习兴趣3了解几个常见的幂函数的性质，通过这几个幂函数的性质，总结幂函数的性质4通过画图比较，使学生进一步体会数形结合的思想，利用计算机等工具，了解幂函数和指数函数的本质差别，使学生充分认识到现代技术在人们认识
4、世界的过程中的作用，从而激发学生的学习欲望5应用幂函数的图象和性质解决有关简单问题，培养学生观察分析归纳能力6了解类比法在研究问题中的作用，渗透辩证唯物主义观点和方法论，培养学生运用具体问题具体分析的方法去分析和解决问题的能力重点难点 教学重点：从五个具体的幂函数中认识幂函数的概念和性质教学难点：根据幂函数的单调性比较两个同指数的指数式的大小课时安排 1 课时教 学 过 程导入新课 思路 1.(1)如果张红购买了每千克 1 元的水果 w 千克，那么她需要付的钱数 p(元)和购买的水果量 w(千克) 之间有何关系？根据函数的定义可知，这里 p 是 w 的函数(2)如果正方形的边长为 a，那么正方
5、形的面积 Sa 2，这里 S 是 a 的函数(3)如果正方体的边长为 a，那么正方体的体积 Va 3，这里 V 是 a 的函数(4)如果正方形场地面积为 S，那么正方形的边长 a ，这里 a 是 S 的函数21(5)如果某人 t s 内骑车行进了 1 km，那么他骑车的速度 vt 1 km/s，这里 v 是 t 的函数以上是我们生活中经常遇到的几个数学模型，你能发现以上几个函数解析式有什么共同点吗？( 右边指数式，且底数都是变量 )(适当引导：从自变量所处的位置这个角度)( 引入新课，书写课题：幂函数)思路 2.我们前面学习了三类具体的初等函数：二次函数、指数函数和对数函数，这一节课我们再学习
6、一种新的函数幂函数，教师板书课题：幂函数推进新课 Error!Error!问题 ：给出下列函数： yx，yx ，yx 2，yx 1 ，yx 3，考察这些解析式的特12点，总结出来，是否为指数函数？问题 ：根据 ，如果让我们起一个名字的话，你将会给他们起个什么名字呢？请给出 一个一般性的结论问题 ：我们前面学习指对数函数的性质时，用了什么 样的思路？研究幂函数的性质呢？问题 ：画出 yx，yx ，yx 2，yx 1 ，yx 3 五个函数图象，完成下列表格12问题 ：通过对以上五个函数图象的观察，哪个象限一定有幂函数的图象？哪个象限一定没有幂函数的图象？哪个象限可能有幂函数的图象，这时可以通过什么
7、途径来判断？问题 ：通过对以上五个函数图象的观察和填表，你能类比出一般的幂函数的性质吗？活动：考虑到学生已经学习了指数函数与对数函数，对函数的学习、研究有了一定的经验和基本方法，所以教学流程又分两条线，一条以内容为明线，另一条以研究函数的基本内容和方法为暗线，教学过程中同时展开，学生相互讨论，必要时，教师将解析式写成指数幂形式，以启发学生归纳，学生作图，教师巡视，学生小组讨论，得到结论，必要时，教师利用几何画板演示讨论结果：通过观察发现这些函数的变量在底数位置，解析式右边都是幂，因为它们的变量都在底数位置上，不符合指数函数的定义，所以都不是指数函数由于函数的指数是一个常数，底数是变量，类似于我
8、们学过的幂的形式，因此我们称这种类型的函数为幂函数，如果我们用字母 来表示函数的指数，就能得到一般的式子，即幂函数的定义：一般地，形如 yx (xR)的函数称为幂函数，其中 x 是自变量， 为常数如 yx 2，y ，yx 3 等都是幂函数，幂函数与指数函数、对数函数一样，都是基21本初等函数我们研究指对数函数时，根据图象研究函数的性质，由具体到一般；一般要考虑函数的定义域、值域、单调性、奇偶性；有时也通过画函数图象，从图象的变化情况来看函数的定义域、值域、单调性、奇偶性等性质，研究幂函数的性质也应如此学生用描点法，也可应用函数的性质，如奇偶性、定义域等，画出函数图象利用描点法，在同一坐标系中画
9、出函数 yx，y ，yx 2，yx 3，yx 1 的图象21列表：x 3 2 1 0 1 2 3 yx 3 2 1 0 1 2 3 y 21 0 1 1.41 1.73 yx 2 9 4 1 0 1 4 9 yx 3 27 8 1 0 1 8 27 yx 1 1312 1 1 12 13 描点、连线画出以上五个函数的图象，如下图让学生通过观察图象，分组讨论，探究幂函数的性质和图象的变化规律，教师注意引导学生用类比研究指数函数、对数函数的方法研究幂函数的性质通过观察图象，完成表格第一象限一定有幂函数的图象；第四象限一定没有幂函数的图象；而第二、三象限可能有，也可能没有图象，这时可以通过幂函数和定
10、义域和奇偶性来判断幂函数 yx 的性质(1)所有的幂函数在(0，)都有定义，并且图象都过点(1,1)(原因：1 x1)(2)当 0 时，幂函数的图象都通过原点，并且在 (x 2) ，313所以函数 yx 是偶函数23因此函数的图象关于 y 轴对称列出函数在0，) 上的对应值表：x 0 1 2 3 4 y 0 1 1.59 2.08 2.52 作这个函数在上的图象，如下图所示 由它的图象可以看出，这个函数在区间(，0 上是减函数，在区间0，)上是增函数变式训练证明幂函数 f(x) 在x ，x1 x2x1 x2因为 x1x 20， 0，所以 0.x1 x2x1 x2x1 x2所以 f(x1)f(x
11、 2)，即 f(x) 在0 ，)上是增函数x点评：证明函数的单调性要严格按步骤和格式书写，利用作商的方法比较大小，f(x 1)与 f(x2)的符号要一致 .思路 2例 1 判断下列函数哪些是幂函数y0.2 x；yx 3 ；yx 2 ；y .51x活动：学生独立思考，讨论回答，教师巡视引导，及时评价学生的回答根据幂函数的定义判别，形如 yx (xR)的函数称为幂函数，变量 x 的系数为 1，指数 是一个常数，严格按这个标准来判断解： y0.2 x 的底数是 0.2，因此不是幂函数；yx 3 的底数是变量，指数是常数，因此是幂函数；yx 2 的底数是变量，指数是常数，因此是幂函数；y 的底数是变量
12、，指数是常数，因此是幂函数51点评：判断函数是否是幂函数要严格按定义来判断.变式训练判别下列函数中有几个幂函数？yx ；y2x 2；y ；yx 2x；y x3.3132解：的底数是变量，指数是常数，因此 是幂函数； 的变量 x2 的系数为 2，因此不是幂函数；的变量是和的形式，因此也不是幂函数；的变量 x3 的系数为 1，因此不是幂函数.例 2 函数 y(x 22x) 的定义域是( )Ax|x0 或 x2 B(，0) (2， )C(，0 2，) D(0,2)解析：函数 y(x 22x) 化为 y ，要使函数有意义需 x22x0，即 x221 1x2 2x或 x0，所以函数的定义域为x|x2 或
13、 x0 答案：B点评：注意换元法在解题中的应用.变式训练函数 y(1x 2) 的值域是( )1AC(0,1) D活动：学生独立解题，先思考，然后上黑板板演，教师巡视指导函数的值域要根据函数的定义域来求函数可化为根式形式，偶次方根号的被开方数大于零，转化为等式或不等式来解，可得定义域，这是复合函数求值域问题，利用换元法解析：令 t1x 2，则 y ，t因为函数的定义域是x|1 x1，所以 0t1.所以 0y1.答案：DError!1下列函数中，是幂函数的是( )Ay2x By2x 3Cy Dy2 x1x2下列结论正确的是( )A幂函数的图象一定过原点B当 0 时，幂函数 yx 是减函数C当 0
14、时，幂函数 yx 是增函数D函数 yx 2 既是二次函数，也是幂函数3下列函数中，在(，0)上是增函数的是( )Ayx 3 Byx 2Cy Dy1x 234已知某幂函数的图象经过点(2， )，则这个函数的解析式为_2答案：1.C 2.D 3.A 4.y 21xError!分别在同一坐标系中作出下列函数的图象，通过图象说明它们之间的关系yx 1 ，y x2 ，yx 3 ； yx ，yx ；21 31yx ，yx 2，yx 3； y ，yx .活动：学生思考或交流，探讨作图的方法，教师及时提示，必要时，利用几何画板演示解：利用描点法，在同一坐标系中画出上述四组函数的图象如下图甲、乙、丙、丁 甲乙丙
15、丁观察上图甲得到：函数 yx 1 、yx 2、 yx 3 的图象都过点(1,1)，且在第一象限随 x 的增大而下降，函数在区间(0，) 上是单调减函数，且向右无限接近 x 轴，向上无限接近 y 轴，指数越小，向右无限接近 x 轴的图象在下方，向上离 y 轴越远观察上图乙得到：函数 yx 、yx 的图象都过点(1,1)，且在第一象限随 x 的增大而下降，函数在21 31区间(0， )上是单调减函数，且向右无限接近 x 轴，向上无限接近 y 轴，指数越小，向右无限接近 x 轴的图象在下方，向上离 y 轴越远观察上图丙得到：函数 yx、yx 2、yx 3 的图象过点(1,1)、(0,0 )，且在第一
16、象限随 x 的增大而上升，函数在区间Error!课本习题 33 A 3、4.设 计 感 想幂函数作为一类重要的函数模型，是学生在系统地学习了指数函数、对数函数之后研究的又一类基本的初等函数，课本内容较少，但高考内容不少，应适当引申，所以设计了一些课本上没有的题目类型，以扩展同学们的视野，同时由于作图的内容较多，建议抓住关键点作图，要会熟练地运用计算机或计算器作图，强化对知识的理解备 课 资 料历史上数学计算方面的三大发明你知道数学计算方面的三大发明吗？这就是阿拉伯数字、十进制和对数研究自然数遇到的第一个问题是计数法和进位制的问题，我们采用的十进制是中国人的一大发明在商代中期的甲骨文中已有十进制
17、，其中最大的数是 3 万，印度最早到六世纪末才有十进制但是，目前使用的计数法和阿拉伯数字 1,2,3,4,5,6,7,8,9,0 是印度人最早开始使用，后来传到阿拉伯，由阿拉伯人传到欧洲，并被欧洲人所接受十进制位置计数法的诞生，是自然数发展史上的一次飞跃，同一个数字由于它所在的位置不同而有不同的值无穷多个自然数可以用有限个符号来驾驭，所有的自然数都可以方便清楚地表示出来16 世纪前半叶，由于实际的需要，对计算技术的改进提出了前所未有的要求这一时期计算技术最大的改进是对数的发明和应用，它的产生主要是由于天文和航海计算的迫切需要为了简化天文航海方面所遇到的繁杂数值计算，自然希望将乘除法归结为简单的
18、加减法苏格兰数学家纳皮尔(Napier，J.15501617) 在球面天文学的三角学研究中，首先发明了对数方法.1614 年他在题为奇妙的对数定理说明书一书中，阐述了他的对数方法，对数的使用价值为纳皮尔的朋友英国数学家布里格斯(Birggs，H.15611630) 所认识，他与纳皮尔合作，并于 1624 年出版了对数算术一书，公布了以 10 为底的 14 位对数表，并称以 10 为底的对数为常用对数常用对数曾经在简化计算上为人们做过重大贡献，而自然对数以及以 e 为底的指数函数成了研究科学、了解自然的必不可少的工具恩格斯曾把对数的发明与解析几何的创始，微积分学的建立并称为 17 世纪数学的三大成就法国著名的数学家、天文学家拉普拉斯曾说：“对数的发明以其节省劳力而延长了天文学家的寿命 ”一直到 18 世纪 ，瑞士数学家欧拉(Euler，L.17071783)才发现了指数与对数的关系，他指出“对数源出于指数” ，这个见解很快被人们所接受(设计者：邓新国)
