1、第二章 平面向量(A)(时间：120 分钟 满分：150 分)一、选择题(本大题共 12 小题 ，每小题 5 分，共 60 分)1与向量 a(1， )的夹角为 30的单位向量是( )3A( ， )或(1， ) B( ， )12 32 3 32 12C(0,1) D(0,1) 或( ， )32 122设向量 a(1,0)，b( ， )，则下列结论中正确的是( )12 12A|a| |b| Bab22Cab 与 b 垂直 Dab3已知三个力 f1(2，1)，f 2(3,2)，f 3(4，3)同时作用于某物体上一点，为使物体保持平衡，现加上一个力 f4，则 f4 等于( )A(1，2) B(1，2)
2、C(1,2) D(1,2)4已知正方形 ABCD 的边长为 1， a， b， c，则 abc 的模等于( )AB BC AC A0 B2 C. D22 2 25若 a 与 b 满足|a| |b|1， a，b60 ，则 aaab 等于( )A. B. C 1 D212 32 326若向量 a(1,1)，b(1， 1)，c(1,2) ，则 c 等于( )A a b B. a b12 32 12 32C. a b D a b32 12 32 127若向量 a(1,1)，b(2,5)，c(3 ，x )，满足条件(8ab)c30，则 x( )A6 B5 C4 D38向量 (4，3)，向量 (2，4) ，
3、则ABC 的形状为( )BA BC A等腰非直角三角形 B等边三角形C直角非等腰三角形 D等腰直角三角形9设点 A(1,2)、B(3,5) ，将向量 按向量 a( 1，1) 平移后得到 为( )AB A B A(1,2) B(2,3)C(3,4) D(4,7)10若 a( ，2)，b(3,5)，且 a 与 b 的夹角是钝角，则 的取值范围是( )A. B.(103， ) 103， )C. D.( ， 103) ( ， 10311在菱形 ABCD 中，若 AC2，则 等于( )CA AB A2 B2C| |cos A D与菱形的边长有关AB 12如图所示，已知正六边形 P1P2P3P4P5P6，
4、下列向量的数量积中最大的是( )A. B. P1P2 P1P3 P1P2 P1P4 C. D. P1P2 P1P5 P1P2 P1P6 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12答案二、填空题(本大题共 4 小题 ，每小题 5 分，共 20 分)13已知向量 a(2，1)，b(1，m)，c(1,2) ，若( ab)c，则 m_.14已知向量 a 和向量 b 的夹角为 30，| a|2，|b| ，则向量 a 和向量 b 的数量积3ab_.15已知非零向量 a，b，若|a| |b|1，且 ab，又知(2a3b)( ka4b)，则实数 k 的值为_16. 如图所示，半圆的直径 AB2
5、，O 为圆心，C 是半圆上不同于 A，B 的任意一点，若 P为半径 OC 上的动点，则( ) 的最小值是_PA PB PC 三、解答题(本大题共 6 小题 ，共 70 分)17(10 分) 已知 a，b，c 在同一平面内 ，且 a(1,2)(1)若|c| 2 ，且 c a，求 c；5(2)若|b| ，且(a2b)(2ab) ，求 a 与 b 的夹角5218(12 分) 已知|a|2，| b| 3，a 与 b 的夹角为 60，c5a3b，d3akb，当实数 k 为何值时，(1)cd；(2)cd.19(12 分) 已知|a|1，ab ，(ab)(ab) ，求：12 12(1)a 与 b 的夹角；(
6、2)ab 与 ab 的夹角的余弦值20(12 分) 在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 A(1， 2)，B(2,3)，C(2，1) (1)求以线段 AB、AC 为邻边的平行四边形的两条对角线的长；(2)设实数 t 满足( t ) 0，求 t 的值AB OC OC 21(12 分) 已知正方形 ABCD，E、F 分别是 CD、AD 的中点，BE、CF 交于点 P.求证：(1)BECF；(2)APAB.22(12 分) 已知向量 、 、 满足条件OP1 OP2 OP3 0，| | | |1.OP1 OP2 OP3 OP1 OP2 OP3 求证：P 1P2P3 是正三角形第二章 平面向量( A)答
7、案1D 2.C3D 根据力的平衡原理有 f1f 2f 3f 40，f 4(f 1f 2f 3)(1,2)4D |abc | |2 |2| |2 .AB BC AC AC AC 25B 由题意得 aaab| a|2|a|b|cos 601 ，故选 B.12 326B 令 ca b，则Error! Error! c a b.12 327C a(1,1)，b(2,5)，8ab(8,8) (2,5)(6,3)又(8ab)c30，(6,3)(3，x)183x30.x4.8C (4 ，3)， (2，4) ，BA BC ( 2，1) ，AC BC BA (2,1)(2,4)0，CA CB C90，且 | |
8、 ，| |2 ，| | |.CA 5 CB 5 CA CB ABC 是直角非等腰三角形9B (3,5)(1,2) (2,3) ，平移向量 后得 ， (2,3)AB AB A B A B AB 10A ab310 .当 a 与 b 共线时， ， .此时，a 与 b 同向，103 3 25 65 .10311B 如图，设对角线 AC 与 BD 交于点 O， . ( )AB AO OB CA AB CA AO OB 202，故选 B.12A 根据正六边形的几何性质 ， ， ， ，P1P2 P1P3 6 P1P2 P1P4 3 ， ， ， .P1P2 P1P5 2 P1P2 P1P6 23 0， 0，
9、P1P2 P1P6 P1P2 P1P5 | | | |cos | |2，P1P2 P1P3 P1P2 3P1P2 6 32P1P2 | |2| |cos | |2.比较可知 A 正确P1P2 P1P4 P1P2 P1P2 3 P1P2 131解析 a(2，1)，b( 1，m)，ab(1，m1)(ab) c，c ( 1,2)，2(1)(m 1)0.m 1.143解析 ab| a|b|cos 302 cos 303.3156解析 由(2a3b)(ka4b) 2ka 212b 22k120，k6.1612解析 因为点 O 是 A，B 的中点，所以 2 ，设| |x，则PA PB PO PC | |1
10、x(0x 1)PO 所以( ) 2 2x(1x)2( x )2 .PA PB PC PO PC 12 12当 x 时，( ) 取到最小值 .12 PA PB PC 1217解 (1)c a，设 c a，则 c( ，2)又|c |2 ， 2，c(2,4)或( 2，4)5(2) (2ab)，( a2b)(2ab)0.(a 2b)|a | ，| b| ，ab .552 52cos 1，180.ab|a|b|18解 由题意得 ab|a|b|cos 60 23 3.12(1)当 c d，cd，则 5a3b(3 ak b)35，且 k3，k .95(2)当 c d 时，cd0，则(5 a3b)(3akb)
11、0.15a 23kb 2(9 5k)ab0，k .291419解 (1)(ab)( ab) |a|2|b| 21|b| 2 ，| b|2 ，|b| ，12 12 22设 a 与 b 的夹角为 ，则 cos . 45.ab|a|b|12122 22(2)|a|1，|b | ，22|a b |2a 2 2abb 21 2 .| ab| ，12 12 12 22又|a b |2a 2 2abb 21 2 .| ab| ，12 12 52 102设 ab 与 ab 的夹角为 ，则 cos .即 ab 与 ab 的a ba b|a b|a b|1222 102 55夹角的余弦值为 .5520解 (1)
12、(3,5) ， (1,1) ，AB AC 求两条对角线的长即求| |与| |的大小AB AC AB AC 由 (2,6)，得| |2 ，AB AC AB AC 10由 (4,4)，得| |4 .AB AC AB AC 2(2) (2， 1)，( t ) t 2，易求 11， 25，OC AB OC OC AB OC OC AB OC OC 由( t ) 0 得 t .AB OC OC 11521证明 如图建立直角坐标系 xOy，其中 A 为原点，不妨设 AB2，则 A(0,0)，B (2,0)，C(2,2)，E(1,2)， F(0,1)(1) (1,2)(2,0)( 1,2)，BE OE OB
13、 (0,1)(2,2) ( 2，1)，CF OF OC 1 (2)2(1)0，BE CF ，即 BECF.BE CF (2)设 P(x，y)，则 ( x，y1) ， (2，1) ，FP CF ， x2(y1) ，即 x2y2.FP CF 同理由 ，得 y2x4，代入 x2y2.BP BE 解得 x ，y ，即 P .65 85 (65，85) 2 2 24 2，AP (65) (85) AB | | | |，即 APAB.AP AB 22证明 0， ，OP1 OP2 OP3 OP1 OP2 OP3 ( )2( )2，OP1 OP2 OP3 | |2| |22 | |2，OP1 OP2 OP1 OP2 OP3 ，OP1 OP2 12cosP 1OP2 ，OP1 OP2 |OP1 |OP2 | 12P 1OP2120.同理，P 1OP3P 2OP3120 ，即 、 、 中任意两个向量的OP1 OP2 OP3 夹角为 120，故 P 1P2P3 是正三角形
