1、1学案 22 简单的三角恒等变换导学目标： 1.能推出二倍角的正弦、余弦、正切公式，并熟练应用.2.能运用两角和与差的三角公式进行简单的恒等变换自主梳理1二倍角的正弦、余弦、正切公式(1)sin 2 _；(2)cos 2 _11_；(3)tan 2 _ ( 且 k )k2 4 22公式的逆向变换及有关变形(1)sin cos _cos ；sin 22sin (2)降幂公式：sin 2 _，cos 2 _；升幂公式：1cos _，1cos _；变形：1sin 2 sin 2 cos 2 2sin cos _.自我检测1(2010陕西)函数 f(x)2sin xcos x 是 ( )A最小正周期为
2、 2 的奇函数B最小正周期为 2 的偶函数C最小正周期为 的奇函数D最小正周期为 的偶函数2函数 f(x)cos 2 x2sin x 的最小值和最大值分别为 ( )A3,1 B2,2C3， D2，32 323函数 f(x)sin xcos x 的最小值是 ( )A1 B C. D112 124(2011清远月考)已知 A、 B 为直角三角形的两个锐角，则 sin Asin B ( )A有最大值 ，最小值 012B有最小值 ，无最大值12C既无最大值也无最小值D有最大值 ，无最小值12探究点一 三角函数式的化简例 1 求函数 y74sin xcos x4cos 2x4cos 4x 的最大值和最小
3、值2变式迁移 1 (2011泰安模拟)已知函数 f(x) .4cos4x 2cos 2x 1sin( 4 x)sin( 4 x)(1)求 f 的值；(1112)(2)当 x 时，求 g(x) f(x)sin 2 x 的最大值和最小值0， 4) 12探究点二 三角函数式的求值例 2 已知 sin( 2 )sin( 2 ) ， ( ， )，求 2sin2 tan 4 4 14 4 21 的值1tan 变式迁移 2 (1)已知 是第一象限角，且 cos ，求 的值513 sin 4cos 2 4 (2)已知 cos( ) ， 0， 4 35故可知 ，32 474sin( ) ， 4 45从而 cos
4、 2 sin(2 ) 22sin( )cos( ) 4 42( ) .45 35 2425sin 2 cos(2 ) 212cos 2( ) 412( )2 .35 725cos(2 ) (cos 2 sin 2 ) ( ) 4 22 22 2425 725 .31250例 3 解题导引 本题的关键是第(1)小题的恒等式证明，对于三角恒等式的证明，我们要注意观察、分析条件恒等式与目标恒等式的异同，特别是分析已知和要求的角之间的关系，再分析函数名之间的关系，则容易找到思路证明三角恒等式的实质就是消除等式两边的差异，有目的地化繁为简，左右归一或变更论证对于第(2)小题同样要从角的关系入手，利用两角
5、和的正切公式可得关系第(3)小题则利用基本不等式求解即可(1)证明 由 sin(2 )3sin ，得 sin( ) 3sin( ) ，即 sin( )cos cos( )sin 3sin( )cos 3cos( )sin ，sin( )cos 2cos( )sin ，tan( )2tan .(2)解 由(1)得 2tan ，即 2 x，tan tan 1 tan tan x y1 xy y ，即 f(x) .x1 2x2 x1 2x2(3)解 角 是一个三角形的最小内角，0 ，0 x ， 3 3设 g(x)2 x ，则 g(x)2 x 2 (当且仅当 x 时取“”)1x 1x 2 228故函数
6、 f(x)的值域为(0， 24变式迁移 3 证明 因为左边 2sin xcos xsin x cos x 1 sin x cos x 1 2sin xcos xsin2x cos x 1 22sin xcos xsin2x cos2x 2cos x 1 2sin xcos x 2cos2x 2cos x sin x1 cos xsin x 1 cos x 1 cos x 1 cos x 右边sin x 1 cos xsin2x 1 cos xsin x所以原等式成立课后练习区1D 0 ，3sin 2 sin ，6sin cos sin ，又sin 0，cos ，16cos( )cos( )co
7、s .162C 因为 ， 4 4所以 ( ) . 4 ( 4)所以 tan tan( 4) ( 4) .tan tan( 4)1 tan tan( 4) 3223B cos 2 12sin 2 ，12sin 2 .又 ，14 ( 4， 0)sin .124B f(x)2tan x 2tan x1 2sin2x212sin x 2cos xsin x 2sin xcos x 4sin 2x f 8.(12) 4sin 65C 由 cos 2B3cos( A C)20 化简变形，得 2cos2B3cos B10，cos B 或 cos B1(舍)129sin B .326247解析 因为 为第二象
8、限的角，又 sin ，35所以 cos ，tan ，45 sin cos 34所以 tan 2 .2tan 1 tan2 24771 2解析 y2cos 2xsin 2 xsin 2 x1cos 2 xsin 2 xcos 2 x1 sin 1，2 (2x 4)当 sin(2x )1 时，函数取得最小值 1 . 4 28.12解析 cos 2sin( 4)cos2 sin222 sin cos (sin cos ) ，222cos sin .129解 (1)sin 2 2sin cos ，cos ，(2 分)sin 22sin 原式 sin 402sin 20sin 802sin 4012 s
9、in 1602sin 80 .sin 180 2016sin 20 116(6 分)(2)原式 (9 分)3 4cos 2 2cos22 13 4cos 2 2cos22 1 tan 4 . 1 cos 2 2 1 cos 2 2 2sin2 2 2cos2 2(12 分)10解 f(x) sin xcos xcos xsin 3 ( 2 x) 12 sin 2x cos 2x132 12sin 1.(4(2x 6)分)(1)T ，故 f(x)的最小正周期为22.(6 分)10(2)因为 0 x ，所以 2 x . 2 6 6 56所以当 2x ，即 x 时， f(x)有最大值 0， 6 2 3(10 分)当 2x ，即 x0 时， f(x)有最小值 . 6 6 32(12 分)11解 (1) f( )2cos sin 2 4cos 3 23 3 31 2 .(4 分)34 94(2)f(x)2(2cos 2x1)(1cos 2x)4cos x3cos 2x4cos x13(cos x )2 ， xR.(1023 73分)因为 cos x1,1，所以，当 cos x1 时， f(x)取得最大值 6；当 cos x 时， f(x)取得最小值 .(14 分)23 73
