1、教学设计本章复习（一）从容说课本章通过生产实际和社会生活中的实际引入了等差数列与等比数列这两种特殊数列的概念、有关知识和方法.重点研究了等差数列与等比数列的通项公式、基本性质、前 n 项和公式以及用上述知识解决生产实际与社会生活中有关的实际问题.数列在现实世界中无处不在，等差数列与等比数列是其中的两种特殊的数列，发现数列的等差关系或等比关系是首先遇到的问题，也是学习中需要培养的最基本的能力.只有在观察和思考过程中迅速发现等差关系或等比关系，才能进一步地建立等差数列或等比数列的数学模型，接下来再用等差数列或等比数列的通项公式和有关的性质分析问题和解决问题.数列实际上是特殊的函数，是定义在正整数集
2、 N*(或它的有限集1，2，3，n) 上的函数.数列的项实际上是定义域为正整数集 N*(或它的有限集1，2，3，n) 的函数当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值.学习中学会用函数的观点认识数列，是理解数列的概念和性质的有效途径.尤其对等差数列与等比数列这两种特殊数列，更需要清楚地认识到它们与一次函数与指数函数的对应关系.进而，还可以将知识拓展到等差数列的前 n项和与二次函数的关系.数列的通项公式描述的是数列的第 n 项与序号 n 之间的函数关系，它是研究数列性质的载体，也是联系问题的已知条件与所要解决的问题的桥梁.它是分析问题与解决问题过程中最受关注的目标.等差数列与等比数列的通项公式的
3、推导，采用了不完全归纳法；等差数列与等比数列的前 n 项和公式的推导分别采用了“倒序相加”和“ 错位相减 ”的方法；本章在有关的问题的探索过程中还蕴含着更多的数学思想方法，如函数与方程的思想、数形结合的思想、转化与化归的思想、算法的思想、分类讨论的思想方法等等.所有蕴含这些思想方法的问题，都是培养和提高学生的数学素养的极好素材，需要我们潜心探究，以更好地体现新课程标准的 理念.学习过程中，用数列这个数学模型研究和解决生产实际与社会生活中的现实问题，是本章的一个重要内容，通过对 “教育储蓄问题”“住房贷款问题” 等问题的探究，既巩固了数学知识，又培养了学生的人生观和价值观，收到的效果是不可估量的
4、，这类问题值得我们高度重视.数列学习中，学生将在理解概念和性质的基础上，结合对具体教学实例的分析，体验数列这个数学模型在解决问题中的特殊作用；通过合作交流、独立思考、自主探索，发展有条理的思考与表达能力，提高逻辑思维能力.数列，特别是等差数列与等比数列，既有知识性，又有趣味性和实用性，在物理、化学、生物等学科，以及经济、天文、历法等领域，都有它的身影.我们应当适当地引导学生拓展知识的空间，更好地应用知识，乃至于更好地提高思想水平和能力水平.在实例的选择中，我们要把握这样一些原则：亲和原则.选取的例子要贴近学生 ，或者来自学生的生活实践，或者使用学生所学过的数学.趣味性原则.选取的实例一般要有丰
5、富的背景，本身要有趣味 性.基础性原则.问题本身并不难，但要蕴涵丰富的思想方法.本节课作为本章的小结，旨在和学生一起站在全章的高度，以问题解决为主线，以典型例习题为操作平台，以巩固知识、发展能力、提高素养为目的对本章作全面的复习总结，帮助学生进一步提高对数列的理解和认识，优化知识结构.鉴于本节课是复习课，小结应主要由学生来完成，教师帮助其完善和补充，练习题也放手由学生来完成，教师做好组织者和引导者的工作.教学重点 1.系统化本章的知识结构；2.提高对几种常见类型的认识；3.优化解题思路和解题方法，提升数学表达的能力.教学难点 解题思路和解题方法的优化.教具准备 多媒体课件，投影胶片，投影仪等三
6、维目标一、知识与技能1.进一步理解数列基础知识和方法，能清晰地构思解决问题的方案；2.进一步学习有条理地、清晰地表达数学问题，提高逻辑思维能力；3.加强对等差数列与等比数列的性质的理解，提高“知三求二”的熟练程度；4.在理解的基础上进一步熟练地构建数列模型解决实际问题.二、过程与方法1.通过实例，发展对解决具体问题的过程与步骤进行分析的能力；2.通过独立思考、合作交流、自主探究的过程，发展应用数列基础知识的能力；3.在解决具体问题的过程中更进一步地感受数列问题中蕴含的思想方法.三、情感态度与价值观1.通过具体实例，感受和体会数列在解决具体问题中的意义和作用，认识数列知识的重要性； 2.感受并认
7、识数列知识的重要作用，形成自觉地将数学知识与实际问题相结合的 思想；3.在解决实际问题过程中形成和发展正确的价值观.教学过程导入新课数列是高中代数的重要内容之一，也是高考考查的重点.它的主要内容主要有两个方面：第一方面是数列的基本概念，如等差数列的定义、等比数列的定义、通项公式、等差中项、等比中项、数列的性质以及数列的前 n 项和公式等；第二方面是数列的运算和实际应用，即运用通项公式、前 n 项和公式以及数列的性质求一些基本量，运用数列的基础知识探究与解决实际问题.应用本章知识要解决的主要问题有：(1)对数列概念理解的题目； (2)等差数列和等比数列中五个基本量 a1,an,d(q),n,Sn
8、“知三求二”的问题；(3)数列知识在实际方面的应用.在解决上述问题时，一是要用函数观点来分析解决有关数列问题；二是要运用方程的思想来解决“知三求二” 的计算问题；三是能自觉地运用等差、等比数列的特征来化简计算；四是树立应用意识，能用数列有关知识解决生产生活中的一些问题.推进新课师出示多媒体课件一：(请同学们自己将框中的公式补充完整)师 等差数列与等比数列的通项公式与前 n 项和公式都不止一种形式，请同学们在总结的时候不要忘记它们中的任何一种形式.回顾与思考1.知识的发生发展过程：师 你能从函数的观点认识数列吗？你能体会学习数列与学习实数之间的异同吗？等差数列与等比数列的通项公式反映了什么函数关
9、系？它们的图象各有什么特点呢？生 思考.师 请看下面的结构框图(出示多媒体课件二 )：师 请同学们理解并解释框图的结构及其含义.2.通项公式与前 n 项和公式的推导中的思想方法：师 你能清楚地说出等差数列、等比数列的通项公式与前 n 项和公式的一种推导方法吗？每一个公式的推导能说出几种方法吗？生 回忆学习过程中自己已经掌握的方法，并积极发言.师 在它们的前 n 项和公式的推导中，请大家特别注意其中的两种推导方法：等差数列的前 n 项和公式推导中的“倒序相加法”与“ 叠加法 ”；等比数列的前 n 项和公式推导中的“错位相减法”与“ 叠乘法 ”；另外，还应该知道，对于任何数列a n，S n 与 a
10、n 有以下关系： an=S1,n=1,Sn-Sn-1,n1.师 你知道这个公式在解决问题中有哪些作用吗？生 思考，回答.3.应用本章知识要解决的主要问题：师 你明确应用本章知识要解决哪些问题吗？生 应用本章知识要解决的主要问题有：(1)对数列概念理解的题目；(2)等差数列和等比数列中五个基本量 a1,an,d(q),n,Sn“知三求二”的问题；(3)数列知识在生产实际和社会生活中的应用.师 肯定学生的回答，必要时给予补充.师 出示投影胶片 1：例题 1.【例 1】 设a n是公比为 q 的等比数列，S n 是它的前 n 项和.若S n是等差数列，求q的值.合作探究师 这是一个关于等差数列与等比
11、数列的基本概念和 基本性质的基本题，起点比较低，入手的路子宽.你如何想？生 独立思考，列式、求解.师 组织学生交流不同的解题思路，概括出典型的解题方法的过程.参考答案如下：(投影胶片 2)解法一：利用定义，S n是等差数列，a n=Sn-S n-1=S2-S1=a2.a1qn-1=a1q.a10,q n-2=1.q=1.解法二：利用性质，S n是等差数列，a n=Sn-S n-1=S n-1-S n-2=an-1,a1qn-1=a1qn-2.a10,q0,q=1.解法三：利用性质，2S 2=S1+S3，2( a1+a2)=a1+a1+a2+a3,即 a2a 3.q=1.师 点评：还可以用求和公
12、式、反证法等.师 出示投影胶片 3：例题 2.【例 2】 设数列a n的前 n 项和为 Snn 22n4( nN).(1)写出这个数列的前三项；(2)证明数列除去首项后所成的数列 a2，a 3，a n，是等差数列 .合作探究师 第 1 个问题很容易思考，请同学们独立完成.生 迅速作答.解：（1）a 1=S1=7,a2=S2-S1=22+22+4-7=5,a3=S3-S2=32+23+4-(7+5)=7,即 a1=7,a2=5,a3=7.师 第 2 个问题是要证明一个数列是等差数列，这里的关键是要注意条件中的“除去首项后”，你能把握好这个条件的运用吗？生 自主探究，组织数学语言，准确表达推理过程
13、.参考答案：(投影胶片 4)（2） n1，,1nS当 n 1 时，a nS n-Sn-1n 22n4- 2n1.a n1 -a n2( 定值),即数列a n除去首项后所成的数列是等差数列.师 点评：a nS 1,n=1,Sn-Sn-1,n1 是一个重要的关系式，要充分发挥它的作用.还有其他不同的证法，请同学们多交流.师 出示投影胶片 5：例题 3.【例 3】 有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是 16，第二个数与第三个数的和是 12，求这四个数.合作探究师 三个数成等差数列，在设法上应根据条件的特殊性考虑特殊的设法，同样，三个数成等比数列，也要注意
14、兼顾前三个数已经设出来的形式.生 积极思考，列式探究，踊跃发言.师 观察学生的思考情况，指点学生寻找合理的思路.归纳、概括、总结学生的解题结果，给出如下两种典型解法.投影胶片 6解法一：设四个数依次为 a-d，a，ad， ，ad2)(依题意有 (a-d) 16, 2)(a(ad) 12, 由式得 d 12- 2a.将式代入 式整理得 a2-13a360.解得 a14，a 29.代入 式得 d14，d 2-6.从而所求四个数为 0，4，8，16 或 15，9，3，1.投影胶片 7解法二：设四个数依次为 x，y，12-y，16-x ，依题意有 2)1()6(,2yxy由式得 x3y-12.将式代入
15、 式得 y(16-3y12)(12-y) 2.整理得 y2-13y360,解得 y14，y 29,代入 式得 x10，x 215.从而得所求四个数为 0，4，8，16 或 15，9，3，1.师 点评：本题若采用其他设求知量的方法列方程，解题过程会是怎么样的呢？请同学们课外探究一下，并在本题上述设求知量的方法的基础上，思考四个数成等差数列的常见设法，以及四个数成等比数列的常见设法.师 出示投影胶片 8：例 4.【例 4】 设等差数列a n的前 n 项和为 Sn，已知 a312， S120，S 130，（1）求公差 d 的取值范围；（2）指出 S1，S 2，S 12 中哪一个值最大，并说明理由 .
16、合作探究分析：本题的条件形式上比较特殊，属于同学们不太熟悉的面孔，思考应该从最熟悉的角度入手.师 引导：第 1 个问题，目标是关于 d 的范围的问题，故应当考虑到合理的选用等差数列的前 n 项和的哪一个公式.其次，条件 a312 可以得出 a1 与 d 的关系，列式中可以用来代换掉另一个量，起到减少求知量的作用.生 在教师的引导下，列出式子，将问题化归为一个关于 d 的不等式.参考答案：投影胶片 9解：（1）依题意有 S1212a 1 1211d0,2S1313a 1 1312d0,2即 2a 111d0,a16d0. 由 a312，得 a112-2d, 将式分别代入式得 247d0 且 3d
17、0， d-3 为所求.724师 对第 2 个问题的思考，可以有较多的角度，请同学们合作探究，交流你们的想法，寻找更好的思路.生 积极活动，在交流中受到启发，得到自己的成功的解法.师 收集、整理出学生的不同思路 ，公布优秀的思考方 法和解题过程，归纳出如下几种解法： 投影胶片 10（2）解法一：由(1)知 d0，a 1a 2a 3a 12a 13，因此，若在 1n12 中存在自然数 n，使得 a n0，a n1 0，则 Sn 就是 S1，S 2， S12 中的最大值，由于 S12=12a1+ 1211d=6(2a1+11d)6(a 6a 7)0，S 13=13a1+ 1312d=13(a1+6d
18、)2 213a 70,a6 0， a70，故在 S1，S 2，S 12 中，S 6 最大.投影胶片 11解法二：S nna 1 n(n-1)dn(12-2d) (n2-n)d .)45)(222d 0， 最小时，S n 最大，2)(dn而当 d-3 时，有 6 6.5，且 nN，72445d当 n 6 时，(n- )2 最小，即 S6 最大.投影胶片 12解法三：由 d0，可知 a1a 2a 3a 12a 13， 因此，若在 1n12 中存在自然数 n，使得 an0，a n1 0，则 Sn 就是 S1，S 2，S 12 中的最大值，由 S120，S 130，有12a 1 1211d0a 15d
19、- 0;2213a1 1312d0a 16d0.a6 0， a70，故在 S1，S 2，S 12 中，S 6 最大.投影胶片 13解法四：同解法二得 S n (n- )2- .d45dd 0，故 Sn 的图象是开口向下的一条抛物线上的一些点，注意到 S00，且S120，S 130，知该抛物线与横轴的一个交点是原点，一个在区间(12，13)内，于是抛物线的顶点在(6，6.5)内，而 nN，知 n6 时，有 S 6 是 S1，S 2，S 12 中的最大值.课堂小结本节学习了如下内容：1.第二章“数列” 一章知识和方法的概括性回顾与思考.2.运用中典型例题的探究.布置作业1.独立完成复习参考题 A
20、组题 .2.开展探究活动，思考更深刻的数列知识运用的问题.板书设本章复习(一)本章知识结构 典型例题剖析回顾与思考 例 1 例 3例 2 例 4习题详解(课本第 75 页复习参考题)A 组1.（1）B；（2）B；（3）B ；（4）A.2.（1）a n= ；1（2）a n=1+ ；2)(（3）a n=(10n-1) ；97(4) ，或 .)1(nancos1以上各题的通项公式不一定唯一.3.4.如果 a,b,c 成等差数列，则 b=5；如果 a,b,c 成等比数列，则 b1 或 b-1.5.an 按顺序输出的值为：12，36，108，324，972.SUM=86 093 436.6.138.1(
21、1+0.13%)8=1 396.3.7.从 12 月 20 日到次年的 1 月 1 日，共 13 天，每天领取的奖品价值呈等差数列分布.d=10,a1=100.由 Sn=a1n+ d 得 S13=10013+ 10=2 0802 000，所以第二2)(213种领奖方式获奖受益更多.9.15 天.10.(1)S2=an+1+an+2+a2n=(a1+nd)+(a2+nd)+(an+nd)=a1+a2+an+nnd=S1+n2d.S3=a2n+1+a2n+2+a3n=(a1+2nd)+(a2+2nd)+(an+2nd)=a1+a2+an+n2nd=S1+2n2d.容易验证 2S2=S1+S3，所以
22、 S1,S2,S3 也是等差数列，公差为 n2d.（2）S 2=a n+1+an+2+a 2n=(a1qn)+(a2)qn+(an)qn=(a1+a2+an)qn=S1qn.S3=a2n+1+a2n+2+a3n=(a1q2n)+(a2q2n)+(anq2n)=(a1+a2+an)q 2n=S1q 2n.容易验证：S 22=S1S3，所以 S1,S2,S3 也是等比数列，公比为 qn.11.a1=f(x+1)=(x+1)2-4(x+1)+2=x2-2x-1,a3=f(x-1)=(x-1)2-4(x-1)+2=x2-6x+7,因为a n是等差数列，所以 a1,a2,a3 也是等差数列，所以 2a2=a1+a3,
