1、第九章 章末检测(时间：120 分钟 满分：150 分)一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分)1原点到直线 x2y50 的距离为( )A1 B. C2 D.3 52(2010安徽)过点(1,0)且与直线 x2y20 平行的直线方程是( )Ax2y10 Bx2y10C2xy20 Dx2y103直线 x2y30 与圆 C：(x2) 2(y 3) 29 交于 E、F 两点，则ECF 的面积为( )A. B. C2 D.32 34 5 3554(2011咸宁调研)已知抛物线 y24x 的准线与双曲线 y 21 (a0)交于 A、B 两点，x2a2点 F 为抛物线的焦点，若FA
2、B 为直角三角形，则双曲线的离心率是( )A. B. C2 D33 65已知圆的方程为 x2y 26x8y0，设该圆过点(3,5)的最长弦和最短弦分别为 AC和 BD，则四边形 ABCD 的面积为( )A10 B20 C30 D406 6 6 66(2011福建)设圆锥曲线 的两个焦点分别为 F1，F 2，若曲线 上存在点 P 满足|PF1|F 1F2|PF 2|432 ，则曲线 的离心率等于( )A. 或 B. 或 212 32 23C. 或 2 D. 或12 23 327两个正数 a、b 的等差中项是 ，一个等比中项是 ，且 ab，则双曲线 152 6 x2a2 y2b2的离心率 e 等于
3、 ( )A. B. C. D.32 152 13 1338若过点 A(4,0)的直线 l 与曲线(x 2) 2y 21 有公共点，则直线 l 的斜率的取值范围为( )A ， B( ， )3 3 3 3C. D. 33，33 ( 33，33)9(2011商丘模拟)设双曲线 1 的一条渐近线与抛物线 yx 21 只有一个公x2a2 y2b2共点，则双曲线的离心率为( )A. B5 C. D.54 52 510 “神舟七号”宇宙飞船的运行轨道是以地球中心，F 为左焦点的椭圆，测得近地点A 距离地面 m km，远地点 B 距离地面 n km，地球的半径为 k km，关于椭圆有以下三种说法：焦距长为 n
4、m；短轴长为 ；离心率 e .m kn kn mm n 2k以上正确的说法有( )A B C D11设 F1、F 2 是双曲线 1 (a0，b0) 的两个焦点，P 在双曲线上，x2a2 y2b2若 0， | | |2ac (c 为半焦距) ，则双曲线的离心率为 ( )PF1 PF2 PF1 PF2 A. B. C2 D.3 12 3 12 5 1212(2010浙江)设 F1、F 2 分别为双曲线 1(a0，b0)的左、右焦点若在双曲x2a2 y2b2线右支上存在点 P，满足|PF 2|F 1F2|，且 F2 到直线 PF1 的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为( )A3x4y
5、0 B3x5y0C4x3y0 D5x4y0二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分)13(2011安庆模拟)若一个圆的圆心在抛物线 y24x 的焦点处，且此圆与直线3x4y70 相切，则这个圆的方程为_14过椭圆 1 (ab0)的左顶点 A 作斜率为 1 的直线，与椭圆的另一个交点为x2a2 y2b2M，与 y 轴的交点为 B.若|AM| |MB| ，则该椭圆的离心率为 _15(2011江西)若椭圆 1 的焦点在 x 轴上，过点(1， )作圆 x2y 21 的切线，x2a2 y2b2 12切点分别为 A，B，直线 AB 恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是_16若方程
6、 1 所表示的曲线 C，给出下列四个命题：x24 t y2t 1若 C 为椭圆，则 14 或 t0)相交于两个不同的点A、B ，与 x 轴相交于点 C，记 O 为坐标原点(1)证明：a 2 ；3k21 3k2(2)若 2 ，求OAB 的面积取得最大值时的椭圆方程AC CB 21(12 分)(2011福建)已知直线 l：yxm，m R.(1)若以点 M(2,0)为圆心的圆与直线 l 相切于点 P，且点 P 在 y 轴上，求该圆的方程(2)若直线 l 关于 x 轴对称的直线为 l，问直线 l与抛物线 C：x 24y 是否相切？说明理由22(12 分)(2011山东)已知动直线 l 与椭圆 C： 1
7、 交于 P(x1，y 1)，Q(x 2，y 2)两x23 y22不同点，且OPQ 的面积 S OPQ ，其中 O 为坐标原点62(1)证明：x x 和 y y 均为定值21 2 21 2(2)设线段 PQ 的中点为 M，求|OM|PQ|的最大值(3)椭圆 C 上是否存在三点 D，E，G ，使得 SODE S ODG S OEG ？若存在，判62断DEG 的形状；若不存在，请说明理由第九章 章末检测1D 2.A 3.C 4.B 5.B6A 由|PF 1|F 1F2|PF 2|432，可设|PF 1|4k， |F1F2|3k， |PF2|2k，若圆锥曲线为椭圆，则 2a6k,2c3k， e .ca
8、 12若圆锥曲线为双曲线，则 2a4k2k2k,2c 3k，e .ca 327D 8.C 9.D10A 11.D 12.C13(x1) 2y 24 14.6315. 1x25 y24解析 由题意可得切点 A(1,0)切点 B(m，n)满足Error!解得 B( ， )35 45过切点 A，B 的直线方程为 2xy20.令 y0 得 x1，即 c1；令 x0 得 y2，即 b2.a 2b 2c 25，椭圆方程为 1.x25 y241617解 (1)k AB ，ABBC ，k CB .222l BC：y x2 .22 2故 BC 边所在的直线方程为 x y40.(3 分)2(2)在上式中，令 y0
9、，得 C(4,0)，圆心 M(1,0)又|AM|3，外接圆的方程为(x1) 2y 29.(6 分)(3)圆 N 过点 P(1,0) ，PN 是该圆的半径又 动圆 N 与圆 M 内切，|MN|3|PN|，即|MN|PN|32 |MP|.(8 分)点 N 的轨迹是以 M、P 为焦点，长轴长为 3 的椭圆a ，c1，b .32 a2 c2 54轨迹方程为 1.(10 分)x294y25418解 设 A(x1，y1)、B(x2，y2)(1)由Error! 得 ky2yk0， (2 分)y 1y21.又x 1y ，x 2y ，21 2x 1x2(y 1y2)21，x 1x2y 1y20.(4 分) x
10、1x2y 1y20，OA OB OAOB.(6 分)(2)如图，由(1)知 y1y 2 ，1ky1y21，|y 1y 2|y1 y22 4y1y2 2 ，(10 分)1k2 4 10k 2 ，k ，136 16即所求 k 的值为 .(12 分)1619解 (1)设 M 的坐标为(x， y)，P 的坐标为(x P，yP)，由已知得Error!P 在圆上，x 2( y)225，即轨迹 C 的方程为 1.(6 分)54 x225 y216(2)过点(3,0)且斜率为 的直线方程为 y (x3)，45 45设直线与 C 的交点为 A(x1，y1)，B(x2，y2)，将直线方程 y (x3)代入 C 的
11、方程，得45 1，即 x23x80.(8 分)x225 x 3225x 1 ，x2 .(10 分)3 412 3 412线段 AB 的长度为|AB| x1 x22 y1 y221 1625x1 x22 412541.(12 分 )41520(1)证明 依题意，由 yk(x1) ，得 x y1.1k将 x y1 代入 x23y 2a 2，1k消去 x，得 y2 y1a 20.(2 分)(1k2 3) 2k由直线 l 与椭圆相交于两个不同的点，得 4 0，4k2 (1k2 3)(1 a2)整理得 a23，即 a2 .(5 分)(1k2 3) 3k21 3k2(2)解 设 A(x1，y1)，B(x2
12、，y2)由 得 y1y 2 ，2k1 3k2由 2 ，C(1,0)，得 y12y 2，代入上式，得 y2 .(8 分)AC CB 2k1 3k2于是，S OAB |OC|y1y 2|12 |y2| ，(10 分)32 3|k|1 3k2 3|k|23|k| 32其中，上式取等号的条件是 3k21，即 k ，33由 y2 ，可得 y2 ， 2k1 3k2 33将 k ，y2 及 k ，y2 这两组值分别代入，均可解出 a25，所以，33 33 33 33OAB 的面 积取得最大值时的 椭圆方程是 x23y 25.(12 分 )21解 方法一 (1)依题意，点 P 的坐标为(0，m)因为 MPl，
13、所以 11，0 m2 0解得 m2，即点 P 的坐标为 (0,2)(3 分)从而圆的半径 r|MP| 2 ，2 02 0 22 2故所求圆的方程为(x2) 2y 28.(6 分)(2)因为直线 l 的方程为 yxm，所以直线 l的方程为 y xm.由Error! 得 x24x4m0. 4244m16(1m)当 m1 时，即 0 时，直线 l与抛物线 C 相切；当 m1 时，即 0 时，直线 l与抛物线 C 不相切(10 分)综上，当 m1 时，直线 l与抛物线 C 相切；当 m1 时，直线 l与抛物线 C 不相切 (12 分)方法二 (1)设所求圆的半径为 r，则圆的方程可设为(x 2) 2y
14、 2r 2.依题意，所求圆与直线 l：xym0 相切于点 P(0，m)，则Error! 解得Error!(4 分)所以所求圆的方程为(x2) 2y 28.(6 分)(2)同方法一22(1)证明 当直线 l 的斜率不存在时， P，Q 两点关于 x 轴对称，所以 x2x 1，y2y 1.因为 P(x1，y1)在椭圆上，因此 1.x213 y212又因为 SOPQ ，所以|x 1|y1| .62 62由得|x 1| ，|y1|1，62此时 x x 3，y y 2.21 2 21 2当直线 l 的斜率存在时，设直线 l 的方程为 ykxm，由题意知 m0，将其代入 1，得x23 y22(23k 2)x
15、26kmx 3(m 22) 0，其中 36k 2m212(23k 2)(m22)0，即 3k22m 2.(*)又 x1x 2 ，x1x2 ，6km2 3k2 3m2 22 3k2所以|PQ| 1 k2 x1 x22 4x1x2 .1 k2263k2 2 m22 3k2因为点 O 到直线 l 的距离为 d ，|m|1 k2所以 SOPQ |PQ|d12 121 k2263k2 2 m22 3k2 |m|1 k2 .又 SOPQ ，6|m| 3k2 2 m22 3k2 62整理得 3k222m 2，且符合(*)式， (2 分)此时 x x (x 1x 2)22x 1x221 2( )22 3，6k
16、m2 3k2 3m2 22 3k2y y (3x ) (3x )4 (x x )2，21 223 21 23 2 23 21 2综上所述，x x 3，y y 2，结论成立(4 分)21 2 21 2(2)解 方法一 当直线 l 的斜率不存在时，由(1)知|OM| |x 1| ，|PQ|2|y 1|2，62因此|OM|PQ| 2 .62 6当直线 l 的斜率存在时，由(1)知： ， k( )m mx1 x22 3k2my1 y22 x1 x22 3k22m ， 3k2 2m22m 1m|OM|2( )2( )2 (3 )x1 x22 y1 y22 9k24m2 1m2 6m2 24m2 12 1
17、m2|PQ|2(1k 2) 2(2 )，243k2 2 m22 3k22 22m2 1m2 1m2所以|OM| 2|PQ|2 (3 )2(2 )12 1m2 1m2(3 )(2 ) 2 .1m2 1m2 (3 1m2 2 1m22 ) 254所以|OM|PQ| ，当且仅当 3 2 ，52 1m2 1m2即 m 时，等号成立2综合得|OM|PQ|的最大值为 .(8 分)52方法二 因为 4|OM|2|PQ| 2(x 1x 2)2(y 1y 2)2(x 2x 1)2(y 2y 1)22(x x )21 2(y y )10.21 2所以 2|OM|PQ| 5.4|OM|2 |PQ|22 102即|O
18、M|PQ| ，当且仅当 2|OM|PQ| 时等号成立因此|OM|PQ|的最大值为 .52 5 52(3)解 椭圆 C 上不存在三点 D，E，G，使得 SODE S ODG S OEG .62证明：假设存在 D(u，v)，E(x1，y1)，G(x2，y2)满足 SODE S ODG S OEG ，62由(1)得 u2x 3， u2x 3， x x 3；v 2y 2，v 2y 2， y y 2，(10 分)21 2 21 2 21 2 21 2解得 u2x x ；v2y y 1，21 232 21 2因此 u，x1，x2 只能从 中选 取， v，y1，y2 只能从1 中选取62因此 D，E，G 只能在( ，1)这四点中选取三个不同点，62而这三点的两两连线中必有一条过原点，与 SODE S ODG S OEG 矛盾，62所以椭圆 C 上不存在满足条件的三点 D，E，G.(12 分)
