1、2012 年全国各地中考数学压轴题精选（解析版 2130）21 （2012绍兴）如图，矩形 OABC 的两边在坐标轴上，连接 AC，抛物线 y=x24x2 经过A，B 两点（1）求 A 点坐标及线段 AB 的长；（2）若点 P 由点 A 出发以每秒 1 个单位的速度沿 AB 边向点 B 移动，1 秒后点 Q 也由点A 出发以每秒 7 个单位的速度沿 AO，OC ，CB 边向点 B 移动，当其中一个点到达终点时另一个点也停止移动，点 P 的移动时间为 t 秒当 PQAC 时，求 t 的值；当 PQAC 时，对于抛物线对称轴上一点 H，HOQ POQ，求点 H 的纵坐标的取值范围考点： 二次函数综
2、合题。804869 专题： 压轴题；动点型；分类讨论。分析： （1）已知抛物线的解析式，将 x=0 代入即可得 A 点坐标；由于四边形 OABC 是矩形，那么 A、B 纵坐标相同，代入该纵坐标可求出 B 点坐标，则 AB 长可求（2）Q 点的位置可分：在 OA 上、在 OC 上、在 CB 上 三段来分析，若 PQAC时，很显然前两种情况符合要求，首先确定这三段上 t 的取值范围，然后通过相似三角形（或构建相似三角形） ，利用比例线段来求出 t 的值，然后由 t 的取值范围将不合题意的值舍去；当 PQAC 时， BPQBAC，通过比例线段求出 t 的值以及 P、Q 点的坐标，可判定 P 点在抛物
3、线的对称轴上，若 P、H 1 重合，此时有H 1OQ=POQ，显然若做点H1 关于 OQ 的对称点 H2，那么亦可得到H 2OQ=POQ，而题干要求的是HOQPOQ，那么 H1 点以下、 H2 点以上的 H 点都是符合要求的解答： 解：（1）由抛物线 y=x24x2 知：当 x=0 时，y=2，A（ 0， 2） 由于四边形 OABC 是矩形，所以 ABx 轴，即 A、B 的纵坐标相同；当 y=2 时，2=x 24x2，解得 x1=0，x 2=4，/ 232B（4，2） ，AB=4（2）由题意知：A 点移动路程为 AP=t，Q 点移动路程为 7（t1）=7t 7当 Q 点在 OA 上时，即 07
4、tt2，1t 时，如图 1，若 PQAC，则有 RtQAPRtABC = ，即 ，t= ，此时 t 值不合题意当 Q 点在 OC 上时，即 27t76， t 时，如图 2，过 Q 点作 QDABAD=OQ=7（t1） 2=7t9DP=t（7t9）=9 6t若 PQAC，则有 RtQDPRtABC， ，即 = ，t= ， ，t= 符合题意当 Q 点在 BC 上时，即 67t78， t 时，如图 3，若 PQAC，过 Q 点作 QGAC，则 QGPG，即 GQP=90QPB90 ，这与QPB 的内角和为 180矛盾，此时 PQ 不与 AC 垂直综上所述，当 t= 时，有 PQAC当 PQAC 时，
5、如图 4，BPQ BAC， = ， = ，解得 t=2，即当 t=2 时，PQAC此时 AP=2，BQ=CQ=1，P（ 2， 2） ，Q（4， 1） 抛物线对称轴的解析式为 x=2，当 H1 为对称轴与 OP 的交点时，有H 1OQ=POQ，当 yH 2 时， HOQPOQ作 P 点关于 OQ 的对称点 P，连接 PP交 OQ 于点 M，过 P作 PN 垂直于对称轴，垂足为 N，连接 OP，在 RtOCQ 中，OC=4，CQ=1 OQ= ，SOPQ=S 四边形 ABCDSAOPSCOQSQBP=3= OQPM，PM= ，PP=2PM= ，NPP=COQRtCOQRtNPP ，PN= ，PN=
6、，P（ ， ） ，直线 OP的解析式为 y= x，OP与 NP 的交点 H2（2， ） 当 yH 时， HOPPOQ综上所述，当 yH2 或 yH 时，HOQPOQ/ 234点评： 函数的动点问题是较难的函数综合题，在解题时要寻找出关键点，然后正确的进行分段讨论，做到不重复、不漏解22 （2012济宁）如图，抛物线 y=ax2+bx4 与 x 轴交于 A（4，0） 、B（ 2，0）两点，与 y轴交于点 C，点 P 是线段 AB 上一动点（端点除外） ，过点 P 作 PDAC，交 BC 于点 D，连接 CP（1）求该抛物线的解析式；（2）当动点 P 运动到何处时，BP 2=BDBC；（3）当PC
7、D 的面积最大时，求点 P 的坐标考点： 二次函数综合题。804869 专题： 压轴题；转化思想。分析： （1）该抛物线的解析式中有两个待定系数，只需将点 A、B 的坐标代入解析式中求解即可（2）首先设出点 P 的坐标，由 PDAC 得到BPDBAC，通过比例线段可表示出BD 的长；BC 的长易得，根据题干给出的条件 BP2=BDBC 即可求出点 P 的坐标（3）由于 PDAC，根据相似三角形BPD、BAC 的面积比，可表示出BPD 的面积；以 BP 为底，OC 为高，易表示出 BPC 的面积， BPC、 BPD 的面积差为PDC 的面积，通过所列二次函数的性质，即可确定点 P 的坐标解答：解
8、：（1）由题意，得 ，解得 ，抛物线的解析式为 y= x4；（2）设点 P 运动到点（x，0）时，有 BP2=BDBC，令 x=0 时，则 y=4，点 C 的坐标为（0，4） PDAC，BPDBAC， BC= ，AB=6，BP=x（2）=x+2BD= = = BP2=BDBC，（ x+2） 2= ，解得 x1= ，x 2=2（2 不合题意，舍去） ，点 P 的坐标是（ ，0） ，即当点 P 运动到（ ，0）时，BP 2=BDBC；（3）BPDBAC， ， SBPC= （x+2）4 ，当 x=1 时，S BPC 有最大值为 3即点 P 的坐标为（1，0）时，PDC 的面积最大/ 236点评： 该
9、题综合了相似三角形、图形面积的求法等知识，难度系数大， （3）题中，将所求三角形的面积进行适当的转化是解题的关键所在23 （2012资阳）抛物线 的顶点在直线 y=x+3 上，过点 F（ 2，2）的直线交该抛物线于点 M、N 两点（点 M 在点 N 的左边） ，MAx 轴于点 A，NBx 轴于点 B（1）先通过配方求抛物线的顶点坐标（坐标可用含 m 的代数式表示） ，再求 m 的值；（2）设点 N 的横坐标为 a，试用含 a 的代数式表示点 N 的纵坐标，并说明 NF=NB；（3）若射线 NM 交 x 轴于点 P，且 PAPB= ，求点 M 的坐标考点： 二次函数综合题。804869 专题：
10、压轴题。分析： （1）利用配方法将二次函数整理成顶点式即可，再利用点在直线上的性质得出答案即可；（2）首先利用点 N 在抛物线上，得出 N 点坐标，再利用勾股定理得出NF2=NC2+FC2，进而得出 NF2=NB2，即可得出答案；（3）求点 M 的坐标，需要先求出直线 PF 的解析式首先由（2）的思路得出MF=MA，然后连接 AF、FB，通过证明 PFAPBF，利用相关的比例线段将PAPB 的值转化为 PF 的值，进而求出点 F 的坐标和直线 PF 的解析式，即可得解解答： 解：（1）y= x2+x+m= （x+2） 2+（m 1）顶点坐标为（ 2，m1）顶点在直线 y=x+3 上，2+3=m
11、1，得 m=2；（2）点 N 在抛物线上，点 N 的纵坐标为： a2+a+2，即点 N（a， a2+a+2）过点 F 作 FCNB 于点 C，在 RtFCN 中，FC=a+2，NC=NBCB= a2+a，NF2=NC2+FC2=（ a2+a） 2+（a+2） 2，=（ a2+a） 2+（a 2+4a）+4，而 NB2=（ a2+a+2） 2，=（ a2+a） 2+（a 2+4a）+4NF2=NB2，NF=NB；（3）连接 AF、BF，由 NF=NB，得NFB= NBF，由（2）的结论知，MF=MA，MAF=MFA，MAx 轴，NBx 轴，MANB，AMF+BNF=180MAF 和NFB 的内角
12、总和为 360，2MAF+2NBF=180， MAF+NBF=90，MAB+NBA=180，FBA+FAB=90，又FAB+MAF=90 ，FBA=MAF=MFA，又FPA= BPF，PFAPBF， = ，PF 2=PAPB= ，过点 F 作 FGx 轴于点 G，在 RtPFG 中，PG= = ，PO=PG+GO= ，P（ ，0）设直线 PF：y=kx+b，把点 F（2，2） 、点 P（ ，0）代入 y=kx+b，解得 k= ，b= ，直线 PF：y= x+ ，解方程 x2+x+2= x+ ，/ 238得 x=3 或 x=2（不合题意，舍去） ，当 x=3 时，y= ，M（ 3， ） 点评：
13、考查了二次函数综合题，在该二次函数综合题中，融入了勾股定理、相似三角形等重点知识， （3）题通过构建相似三角形将 PAPB 转化为 PF 的值是解题的关键，也是该题的难点24 （2012南京）如图， A、B 是O 上的两个定点，P 是 O 上的动点（P 不与 A、B 重合） 、我们称APB 是 O 上关于点 A、B 的滑动角（1）已知APB 是 O 上关于点 A、B 的滑动角，若 AB 是 O 的直径，则APB= 90 ；若O 的半径是 1，AB= ，求APB 的度数；（2）已知 O2 是O 1 外一点，以 O2 为圆心作一个圆与O 1 相交于 A、B 两点， APB 是O1 上关于点 A、B
14、 的滑动角，直线 PA、PB 分别交O 2 于 M、N（点 M 与点 A、点 N与点 B 均不重合） ，连接 AN，试探索APB 与 MAN、 ANB 之间的数量关系考点： 勾股定理；垂径定理；圆周角定理；点与圆的位置关系；圆与圆的位置关系。804869 专题： 几何综合题。分析： （1）根据直径所对的圆周角等于 90即可求解；根据勾股定理的逆定理可得AOB=90，再分点 P 在优弧 上；点 P 在劣弧 上两种情况讨论求解；（2）根据点 P 在 O1 上的位置分为四种情况得到 APB 与 MAN、 ANB 之间的数量关系解答： 解：（1）若 AB 是 O 的直径，则APB=90如图，连接 AB
15、、OA、OB在AOB 中，OA=OB=1AB= ，OA2+OB2=AB2AOB=90当点 P 在优弧 上时，AP 1B= AOB=45；当点 P 在劣弧 上时，AP 2B= （360 AOB）=1356 分（2）根据点 P 在 O1 上的位置分为以下四种情况第一种情况：点 P 在 O2 外，且点 A 在点 P 与点 M 之间，点 B 在点 P 与点 N 之间，如图MAN=APB+ANB，APB=MANANB；第二种情况：点 P 在 O2 外，且点 A 在点 P 与点 M 之间，点 N 在点 P 与点 B 之间，如图MAN=APB+ANP=APB+（180ANB） ，APB=MAN+ANB180
16、；第三种情况：点 P 在 O2 外，且点 M 在点 P 与点 A 之间，点 B 在点 P 与点 N 之间，如图APB+ANB+MAN=180，APB=180MANANB，第四种情况：点 P 在 O2 内，如图 ，APB=MAN+ANB点评： 综合考查了圆周角定理，勾股定理的逆定理，点与圆的位置关系，本题难度较大，/ 2310注意分类思想的运用25 （2012德州）如图所示，现有一张边长为 4 的正方形纸片 ABCD，点 P 为正方形 AD边上的一点（不与点 A、点 D 重合）将正方形纸片折叠，使点 B 落在 P 处，点 C 落在 G处，PG 交 DC 于 H，折痕为 EF，连接 BP、BH（1
17、）求证：APB= BPH；（2）当点 P 在边 AD 上移动时，PDH 的周长是否发生变化？并证明你的结论；（3）设 AP 为 x，四边形 EFGP 的面积为 S，求出 S 与 x 的函数关系式，试问 S 是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由考点： 翻折变换（折叠问题） ；二次函数的最值；全等三角形的判定与性质；正方形的性质。804869 分析： （1）根据翻折变换的性质得出PBC=BPH ，进而利用平行线的性质得出APB=PBC 即可得出答案；（2）首先证明ABPQBP，进而得出BCHBQH ，即可得出PD+DH+PH=AP+PD+DH+HC=AD+CD=8；（3）利
18、用已知得出EFMBPA，进而利用在 RtAPE 中， （4BE） 2+x2=BE2，利用二次函数的最值求出即可解答： （1）解：如图 1，PE=BE ，EBP=EPB又EPH=EBC=90 ，EPHEPB=EBCEBP即PBC=BPH又 ADBC，APB=PBCAPB=BPH（2）PHD 的周长不变为定值 8证明：如图 2，过 B 作 BQPH，垂足为 Q由（1）知APB= BPH，又A= BQP=90，BP=BP，ABPQBPAP=QP，AB=BQ又 AB=BC，BC=BQ又C=BQH=90 ，BH=BH，BCHBQHCH=QHPHD 的周长为：PD+DH+PH=AP+PD+DH+HC=AD
19、+CD=8（3）如图 3，过 F 作 FMAB，垂足为 M，则 FM=BC=AB又 EF 为折痕，EFBPEFM+MEF=ABP+BEF=90，EFM=ABP又A= EMF=90，EFMBPAEM=AP=x在 RtAPE 中， （4BE） 2+x2=BE2解得， 又四边形 PEFG 与四边形 BEFC 全等， 即： 配方得， ，当 x=2 时，S 有最小值 6/ 2312点评： 此题主要考查了翻折变换的性质以及全等三角形的判定与性质和勾股定理、二次函数的最值问题等知识，熟练利用全等三角形的判定得出对应相等关系是解题关键26 （2012湘潭）如图，抛物线 的图象与 x 轴交于 A、B 两点，与
20、y 轴交于 C 点，已知 B 点坐标为（4，0） （1）求抛物线的解析式；（2）试探究ABC 的外接圆的圆心位置，并求出圆心坐标；（3）若点 M 是线段 BC 下方的抛物线上一点，求 MBC 的面积的最大值，并求出此时 M点的坐标考点： 二次函数综合题。804869 专题： 转化思想。分析： （1）该函数解析式只有一个待定系数，只需将 B 点坐标代入解析式中即可（2）首先根据抛物线的解析式确定 A 点坐标，然后通过证明ABC 是直角三角形来推导出直径 AB 和圆心的位置，由此确定圆心坐标（3）MBC 的面积可由 SMBC= BCh 表示，若要它的面积最大，需要使 h 取最大值，即点 M 到直线
21、 BC 的距离最大，若设一条平行于 BC 的直线，那么当该直线与抛物线有且只有一个交点时，该交点就是点 M解答： 解：（1）将 B（4，0）代入抛物线的解析式中，得：0=16a 42，即：a= ；抛物线的解析式为：y= x2 x2（2）由（1）的函数解析式可求得：A （1，0） 、C（0， 2） ；OA=1，OC=2，OB=4 ，即：OC 2=OAOB，又：OCAB，OACOCB，得：OCA= OBC；ACB=OCA+OCB=OBC+OCB=90，ABC 为直角三角形，AB 为ABC 外接圆的直径；所以该外接圆的圆心为 AB 的中点，且坐标为：（ ，0） （3）已求得：B（4，0） 、C（0，
22、2） ，可得直线 BC 的解析式为：y= x2；设直线 lBC，则该直线的解析式可表示为：y= x+b，当直线 l 与抛物线只有一个交点时，可列方程：x+b= x2 x2，即： x22x2b=0，且=0；44 （2b）=0，即 b=4；直线 l：y= x4由于 SMBC= BCh，当 h 最大（即点 M 到直线 BC 的距离最远）时， ABC 的面积最大所以点 M 即直线 l 和抛物线的唯一交点，有：，解得：即 M（2，3） 点评： 考查了二次函数综合题，该题的难度不算太大，但用到的琐碎知识点较多，综合性很强熟练掌握直角三角形的相关性质以及三角形的面积公式是理出思路的关键/ 231427 （2
23、012嘉兴）在平面直角坐标系 xOy 中，点 P 是抛物线： y=x2 上的动点（点在第一象限内） 连接 OP，过点 0 作 OP 的垂线交抛物线于另一点 Q连接 PQ，交 y 轴于点M作 PA 丄 x 轴于点 A，QB 丄 x 轴于点 B设点 P 的横坐标为 m（1）如图 1，当 m= 时，求线段 OP 的长和 tanPOM 的值；在 y 轴上找一点 C，使OCQ 是以 OQ 为腰的等腰三角形，求点 C 的坐标；（2）如图 2，连接 AM、BM，分别与 OP、OQ 相交于点 D、E用含 m 的代数式表示点 Q 的坐标；求证：四边形 ODME 是矩形考点： 二次函数综合题。804869 专题：
24、 代数几何综合题；分类讨论。分析： （1）已知 m 的值，代入抛物线的解析式中可求出点 P 的坐标；由此确定PA、OA 的长，通过解直角三角形易得出结论题干要求OCQ 是以 OQ 为腰的等腰三角形，所以分 QO=OC、QC=QO、CQ=CO三种情况来判断：QO=QC 时，Q 在线段 OC 的垂直平分线上， Q、O 的纵坐标已知，C 点坐标即可确定；QO=OC 时，先求出 OQ 的长，那么 C 点坐标可确定；CQ=CO 时，OQ 为底，不合题意（2）由QOP=90 ，易求得 QBOMOA，通过相关的比例线段来表示出点 Q的坐标；在四边形 ODME 中，已知了一个直角，只需判定该四边形是平行四边形
25、即可，那么可通过证明两组对边平行来得证解答： 解：（1）把 x= 代入 y=x2，得 y=2，P （ ，2） ， OP=PA 丄 x 轴，PA MO tanP0M=tan0PA= = 设 Q（n，n 2） ，tanQOB=tan POM， n=Q（ ， ） ， OQ= 当 OQ=OC 时，则 C1（0， ） ，C 2（0， ） ；当 OQ=CQ 时，则 C3（0，1） ；当 CQ=CO 时，OQ 为底，则 C4（0， ）不合题意，舍去综上所述，所求点 C 坐标为： C1（0， ） ，C 2（0， ） ，C 3（0，1） ；（2）P（m，m 2） ，设 Q（n，n 2） ，APOBOQ ， ，得
26、 n= ，Q（ ， ） 设直线 PQ 的解析式为：y=kx+b ，把 P（m ，m 2） 、Q （ ， ）代入，得：解得 b=1，M（0，1） ，QBO= MOA=90，QBOMOAMAO=QOB，QOMA同理可证：EMOD又EOD=90，四边形 ODME 是矩形点评： 考查了二次函数综合题，该题涉及的知识点较多，有：解直角三角形、相似三角形、等腰直角三角形的判定、矩形的判定等重要知识点；（1）题中，要注意分类进行讨论，以免出现漏解、错解的情况28 （2012连云港）已知梯形 ABCD，ADBC，AB BC，AD=1，AB=2，BC=3，问题 1：如图 1，P 为 AB 边上的一点，以 PD，
27、PC 为边作平行四边形 PCQD，请问对角线PQ，DC 的长能否相等，为什么？/ 2316问题 2：如图 2，若 P 为 AB 边上一点，以 PD，PC 为边作平行四边形 PCQD，请问对角线PQ 的长是否存在最小值？如果存在，请求出最小值，如果不存在，请说明理由问题 3：若 P 为 AB 边上任意一点，延长 PD 到 E，使 DE=PD，再以 PE，PC 为边作平行四边形 PCQE，请探究对角线 PQ 的长是否也存在最小值？如果存在，请求出最小值，如果不存在，请说明理由问题 4：如图 3，若 P 为 DC 边上任意一点，延长 PA 到 E，使 AE=nPA（n 为常数） ，以PE、PB 为边
28、作平行四边形 PBQE，请探究对角线 PQ 的长是否也存在最小值？如果存在，请求出最小值，如果不存在，请说明理由考点： 相似三角形的判定与性质；根的判别式；全等三角形的判定与性质；勾股定理；平行四边形的判定与性质。804869 专题： 代数几何综合题。分析： 问题 1：四边形 PCQD 是平行四边形，若对角线 PQ、DC 相等，则四边形 PCQD 是矩形，然后利用矩形的性质，设 PB=x，可得方程 x2+32+（2x） 2+1=8，由判别式0，可知此方程无实数根，即对角线 PQ，DC 的长不可能相等；问题 2：在平行四边形 PCQD 中，设对角线 PQ 与 DC 相交于点 G，可得 G 是 D
29、C 的中点，过点 Q 作 QHBC，交 BC 的延长线于 H，易证得 RtADPRtHCQ，即可求得 BH=4，则可得当 PQAB 时，PQ 的长最小，即为 4；问题 3：设 PQ 与 DC 相交于点 G，PE CQ，PD=DE，可得 = = ，易证得 RtADPRtHCQ，继而求得 BH 的长，即可求得答案；问题 4：作 QHPE，交 CB 的延长线于 H，过点 C 作 CKCD，交 QH 的延长线于K，易证得 = 与ADPBHQ ，又由DCB=45 ，可得CKH 是等腰直角三角形，继而可求得 CK 的值，即可求得答案解答： 解：问题 1：四边形 PCQD 是平行四边形，若对角线 PQ、DC
30、 相等，则四边形 PCQD 是矩形，DPC=90，AD=1，AB=2，BC=3，DC=2 ，设 PB=x，则 AP=2x，在 RtDPC 中，PD 2+PC2=DC2，即 x2+32+（2x） 2+1=8，化简得 x22x+3=0，=（2） 2413=80，方程无解，对角线 PQ 与 DC 不可能相等问题 2：如图 2，在平行四边形 PCQD 中，设对角线 PQ 与 DC 相交于点 G，则 G 是 DC 的中点，过点 Q 作 QHBC，交 BC 的延长线于 H，ADBC，ADC=DCH，即ADP+PDG= DCQ+QCH，PDCQ，PDC=DCQ，ADP=QCH，又 PD=CQ，RtADPRt
31、HCQ，AD=HC，AD=1，BC=3，BH=4，当 PQAB 时，PQ 的长最小，即为 4问题 3：如图 3，设 PQ 与 DC 相交于点 G，PECQ，PD=DE， = = ，G 是 DC 上一定点，作 QHBC，交 BC 的延长线于 H，同理可证ADP=QCH，RtADPRtHCQ，即 = = ，CH=2，BH=BC+CH=3+2=5，当 PQAB 时，PQ 的长最小，即为 5问题 4：如图 4，设 PQ 与 AB 相交于点 G，PEBQ，AE=nPA， = ，G 是 AB 上一定点，作 QHCD，交 CB 的延长线于 H，过点 C 作 CKCD，交 QH 的延长线于 K，ADBC，AB
32、BC，D=QHC，DAP+ PAG=QBH+QBG=90，PAG=QBG，QBH=PAD，ADPBHQ， ，AD=1，BH=n+1，CH=BH+BC=3+n+1=n+4，过点 D 作 DMBC 于 M，/ 2318则四边形 ABMD 是矩形，BM=AD=1， DM=AB=2CM=BCBM=31=2=DM，DCM=45，KCH=45，CK=CHcos45= （n+4） ，当 PQCD 时，PQ 的长最小，最小值为 （n+4） 点评： 此题考查了相似三角形的判定与性质、直角梯形的性质、平行四边形的性质、矩形的性质、勾股定理、一元二次方程根的判别式、全等三角形的判定与性质以及直角三角形的性质等知识此
33、题难度较大，注意准确作出辅助线是解此题的关键，注意数形结合思想与方程思想的应用29 （2012江西）已知，纸片 O 的半径为 2，如图 1，沿弦 AB 折叠操作（1）如图 2，当折叠后的 经过圆心 O 时，求 的长；（2）如图 3，当弦 AB=2 时，求折叠后 所在圆的圆心 O到弦 AB 的距离；（3）在图 1 中，再将纸片O 沿弦 CD 折叠操作如图 4，当 ABCD，折叠后的 与 所在圆外切于点 P 时，设点 O 到弦 AB、CD 的距离之和为 d，求 d 的值；如图 5，当 AB 与 CD 不平行，折叠后的 与 所在圆外切于点 P 时，设点 M 为 AB的中点，点 N 为 CD 的中点试
34、探究四边形 OMPN 的形状，并证明你的结论考点： 相切两圆的性质；等边三角形的判定与性质；平行四边形的判定；垂径定理；弧长的计算；翻折变换（折叠问题） ；解直角三角形。804869 专题： 几何综合题。分析： （1）如图 2，过点 O 作 OEAB 交 O 于点 E，连接 OA、OB、AE、BE，可得OAE、 OBE 为等边三角形，从而得到 的圆心角，再根据弧长公式计算即可；（2）如图 3，连接 OA、OB，过点 O作 OEAB 于点 E，可得AO B 为等边三角形，根据三角函数的知识可求折叠后 所在圆的圆心 O到弦 AB 的距离；（3）如图 4， 与 所在圆外切于点 P 时，过点 O 作
35、EFAB 交 于点E，交 于点 F，根据垂径定理及折叠，可求点 O 到 AB、CD 的距离之和；根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形即可得证解答： 解：（1）如图 2，过点 O 作 OEAB 交 O 于点 E，连接 OA、OB、AE、BE点 E 与点 O 关于 AB 对称OAE、OBE 为等边三角形；1 分OEA=OEB=60 = = ；2 分（2）如图 3，连接 OA、OB， 折叠前后所在的 O 与O 是等圆，OA=OB=OA=AB=2AOB 为等边三角形；3 分过点 O作 OEAB 于点 EOE=OBsin60= ；4 分（3）如图 4， 与 所在圆外切于点 P 时，过点 O 作 EF
36、AB 交 于点 E，交 于点 F，/ 2320ABCD，EF 垂直平分 CD、且必过点 P，5 分根据垂径定理及折叠，可知 ，6 分又 EF=4，点 O 到 AB、CD 的距离之和为：d=PH+PG= ；7 分如图 5，当 AB 与 CD 不平行时，四边形 OMPN 是平行四边形8 分证明如下：设 O、O为 和 所在圆的圆心，由折叠可知：O与 O 关于 AB 对称，O 与 O 关于 CD 对称，M 为 OO的中点，N 为 OO的中点；9 分 所在圆外切，连心线 OO必过点 P， 所在圆与 O 都是等圆，OP=OP=2； ；四边形 OMPN 是平行四边形点评： 综合考查了相切两圆的性质，等边三角
37、形的判定与性质，平行四边形的判定，垂径定理，弧长的计算，翻折变换（折叠问题） ，解直角三角形，综合性较强，难度较大30 （2012德阳）在平面直角坐标 xOy 中， （如图）正方形 OABC 的边长为 4，边 OA 在x 轴的正半轴上，边 OC 在 y 轴的正半轴上，点 D 是 OC 的中点，BEDB 交 x 轴于点 E（1）求经过点 D、B、E 的抛物线的解析式；（2）将DBE 绕点 B 旋转一定的角度后，边 BE 交线段 OA 于点 F，边 BD 交 y 轴于点G，交（1）中的抛物线于 M（不与点 B 重合） ，如果点 M 的横坐标为 ，那么结论OF= DG 能成立吗？请说明理由；（3）过
38、（2）中的点 F 的直线交射线 CB 于点 P，交（1）中的抛物线在第一象限的部分于点 Q，且使PFE 为等腰三角形，求 Q 点的坐标考点： 二次函数综合题。804869 / 2322分析： （1）本题关键是求得 E 点坐标，然后利用待定系数法求抛物线解析式如题图，可以证明BCDBAE，则 AE=CD，从而得到 E 点坐标；（2）首先求出 M 点坐标，然后利用待定系数法求直线 MB 的解析式，令 x=0，求得G 点坐标，进而得到线段 CG、DG 的长度；由 BCGBAF，可得 AF=CG，从而求得 OF 的长度比较 OF 与 DG 的长度，它们满足 OF= DG 的关系，所以结论成立；（3）本
39、问关键在于分类讨论PFE 为等腰三角形，如解答图所示，可能有三种情况，需逐一讨论并求解解答： 解：（1）BE DB 交 x 轴于点 E，OABC 是正方形，DBC=EBA在BCD 与BAE 中， ，BCDBAE，AE=CDOABC 是正方形，OA=4，D 是 OC 的中点，A（ 4， 0） ，B（4，4） ，C（0，4） ，D （0，2） ， E（6，0） 设过点 D（0，2） ，B（4，4） ，E（6，0）的抛物线解析式为 y=ax2+bx+c，则有：，解得 ，经过点 D、B、E 的抛物线的解析式为：y= x2+ x+2（2）结论 OF= DG 能成立理由如下：由题意，当DBE 绕点 B 旋
40、转一定的角度后，同理可证得BCGBAF，AF=CGxM= ，y M= xM2+ xM+2= ，M（ ， ） 设直线 MB 的解析式为 yMB=kx+b，M（ ， ） ，B（4，4） ， ，解得 ，yMB= x+6，G（ 0， 6） ，CG=2，DG=4AF=CG=2，OF=OA AF=2，F （2，0） OF=2，DG=4，结论 OF= DG 成立（3）如图，PFE 为等腰三角形，可能有三种情况，分类讨论如下：若 PF=FEFE=4，BC 与 OA 平行线之间距离为 4，此时 P 点位于射线 CB 上，F（ 2，0） ，P（ 2，4） ，此时直线 FPx 轴，xQ=2，yQ= xQ2+ xQ+
41、2= ，Q 1（2， ） ；若 PF=PE如图所示，AF=AE=2 ，BA FE，BEF 为等腰三角形，此时点 P、Q 与点 B 重合，Q2（4 ，4） ；若 PE=EFFE=4，BC 与 OA 平行线之间距离为 4，此时 P 点位于射线 CB 上，E（ 6，0） ， P（6，4） 设直线 yPF 的解析式为 yPF=kx+b，F（2，0） ，P（6，4） ， ，解得 ，yPF=x2Q 点既在直线 PF 上，也在抛物线上， x2+ x+2=x2，化简得 5x214x48=0，解得 x1= ，x 2=2（不合题意，舍去）xQ=2，/ 2324yQ=xQ2= 2= Q3（ ， ） 综上所述，Q 点的坐标为 Q1（2， ）或 Q2（4，4）或 Q3（ ， ） 点评： 本题是二次函数综合题，考查了二次函数的图象与性质、待定系数法求二次函数的解析式、待定系数法求一次函数解析式、解一元二次方程、全等三角形的判定与性质以及等腰三角形性质等知识点，考查内容涉及初中数学代数与几何的多个重要知识点，难度较大本题第（3）问需要针对等腰三角形PFE 的三种可能情况进行分类讨论，避免漏解
