1、2012 年全国各地中考数学压轴题专集答案十、动态综合型问题1 （ 北 京 模 拟 ） 已知抛物线 yx 22xm2 与 y 轴交于点 A（0，2m7） ，与直线 y2x 交于点B、C（B 在 C 的右侧） （1）求抛物线的解析式；（2）设抛物线的顶点为 E，在抛物线的对称轴上是否存在一点 F，使得BFECFE，若存在，求出点 F 的坐标，若不存在，说明理由；（3）动点 P、Q 同时从原点出发，分别以每秒 个单位长度、每秒 2 个单位长度的速度沿射线 OC 运5 5动，以 PQ 为斜边在直线 BC 的上方作直角三角形 PMQ（直角边分别平行于坐标轴） ，设运动时间为 t秒若PMQ 与抛物线 y
2、x 22xm 2 有公共点，求 t 的取值范围解：（1）把点 A（0，2m7 ）代入 yx 22xm 2，得 m5抛物线的解析式为 yx 22x 3（2）由 解得 B（ ，2 ） ，C（ ，2 ）3 3 3 3yx 22x 3( x1 )24抛物线的对称轴为 x1设 F（1，y）BFE CFE，tanBFEtan CFE当点 F 在点 B 上方时， 解得 y6，F （1，6）当点 F 在点 B 下方时， 解得 y6（舍去）满足条件的点 F 的坐标是 F（1，6）（3）由题意，OP t，OQ2 t，PQ t5 5 5P、Q 在直线直线 y2x 上设 P（x，2x） ，则 Q（2x ， 4x） （
3、x 0） t，x tx 2 4x 2 5P（t，2t） ，Q（2t，4t ）M（2t，2t）当 M（2t，2t）在抛物线上时，有2t4t 24t3解得 t （舍去负值）当 P（t，2t）在抛物线上时，有2t t 22t 3xOyA BCPQMxOyA BCFExOyA BCPQM解得 t （舍去负值）3t 的取值范围是： t 32 （ 北 京 模 拟 ） 在平面直角坐标系中，抛物线 y1ax 2 3xc 经过原点及点 A（1，2） ，与 x 轴相交于另一点 B（1）求抛物线 y1 的解析式及 B 点坐标；（2）若将抛物线 y1 以 x3 为对称轴向右翻折后，得到一条新的抛物线 y2，已知抛物线
4、 y2 与 x 轴交于两点，其中右边的交点为 C 点动点 P 从 O 点出发，沿线段 OC 向 C 点运动，过 P 点作 x 轴的垂线，交直线 OA 于 D 点，以 PD 为边在 PD 的右侧作正方形 PDEF当点 E 落在抛物线 y1 上时，求 OP 的长；若点 P 的运动速度为每秒 1 个单位长度，同时线段 OC 上另一点 Q 从 C 点出发向 O 点运动，速度为每秒 2 个单位长度，当 Q 点到达 O 点时 P、Q 两点停止运动过 Q 点作 x 轴的垂线，与直线 AC 交于 G 点，以 QG 为边在 QG 的左侧作正方形 QGMN当这两个正方形分别有一条边恰好落在同一条直线上时，求 t的
5、值 （正方形在 x 轴上的边除外）解：（1）抛物线 y1ax 2 3xc 经过原点及点 A（1，2） 解得 抛物线 y1 的解析式为 y1x 23x令 y10，得x 23x 0，解得 x10，x 23B（3，0）（2） 由题意，可得 C（6，0）过 A 作 AHx 轴于 H，设 OPa可得ODP OAH， 2DPOP AHOHDP2OP 2a正方形 PDEF，E（3a，2a）E（3a，2a）在抛物线 y1 x 23x 上2a9a 29a，解得 a10（舍去） ，a 2 79OP 的长为 79设直线 AC 的解析式为 ykxb 解得 k ，b 25 125直线 AC 的解析式为 y x 25 1
6、25xAyODB CP FEDQGNMxAyODB CP FEDQGNMHO P N Q C xyDAEFM G由题意，OPt，PF 2t，QC2t，GQ t45当 EF 与 MN 重合时，则 OFCN63t2t t6，t 45 3029当 EF 与 GQ 重合时，则 OFQC63t2t6，t 65当 DP 与 MN 重合时，则 OPCN6t2t t6，t 45 3019当 DP 与 GQ 重合时，则 OPCQ6t2t6，t23 （ 北 京 模 拟 ） 如 图 ， 在 平 面 直 角 坐 标 系 中 ， 抛物线 yax 2bx4 经过 A（3，0） 、B（4，0）两点，且与 y 轴交于点 C，
7、点 D 在 x 轴的负半轴上，且 BDBC动点 P 从点 A 出发，沿线段 AB 以每秒 1 个单位长度的速度向点 B 移动，同时动点 Q 从点 C 出发，沿线段 CA 以某一速度向点 A 移动（1）求该抛物线的解析式；（2）若经过 t 秒的移动，线段 PQ 被 CD 垂直平分，求此时 t 的值；（3）该抛物线的对称轴上是否存在一点 M，使 MQMA 的值最小？若存在，求出点 M 的坐标；若不存在，请说明理由解：（1）抛物线 yax 2 bx4 经过 A（3，0） 、B（4，0）两点 解得 a ，b 13 13所求抛物线的解析式为 y x 2 x413 13（2）连接 DQ，依题意知 APt抛
8、物线 y x 2 x4 与 y 轴交于点 C13 13C（0，4）又 A（3，0，B（4，0）可得 AC5，BC4 ，AB72BDBC，ADAB BD74 2CD 垂直平分 PQ，QDDP ，CDQ CDPBDBC，DCBCDBCDQDCB，DQ BCxAyODCBD PQO P N Q C xyDAEFM GO PN Q C xyDAEFM GO PN Q C xyDAEFM GxAyODCBEQ Mx 12xAyODCBD PQADQ ABC ， ADAB DQBC ， ADAB DPBC解得 DP4 ，APADDP 2327 177线段 PQ 被 CD 垂直平分时， t 的值为 177（
9、3）设抛物线 y x 2 x4 的对称轴 x 与 x 轴交于点 E13 13 12由于点 A、B 关于对称轴 x 对称，连接 BQ 交对称轴于点 M12则 MQ MAMQMB，即 MQMA BQ当 BQAC 时，BQ 最小，此时 EBMACOtanEBMtanACO 34 ，即 ，解得 ME MEBE 34 34 218M（ ， ）12218在抛物线的对称轴上存在一点 M（ ， ） ，使得 MQMA 的值最小122184 （ 北 京 模 拟 ） 如图，在 RtABC 中，C90，AC6，BC8动点 P 从点 A 出发，沿ACCBBA 边运动，点 P 在 AC、CB、BA 边上运动的速度分别为每
10、秒 3、4、5 个单位直线 l 从与 AC重合的位置开始，以每秒 个单位的速度沿 CB 方向移动，移动过程中保持 lAC，且分别与 CB、AB 边43交于点 E、F 点 P 与直线 l 同时出发，设运动的时间为 t 秒，当点 P 第一次回到点 A 时，点 P 和直线 l同时停止运动（1）当 t_秒时，点 P 与点 E 重合；当 t_秒时，点 P 与点 F 重合；（2）当点 P 在 AC 边上运动时，将PEF 绕点 E 逆时针旋转，使得点 P 的对应点 P 落在 EF 上，点 F 的对应点为 F ，当 EFAB 时，求 t 的值；（3）作点 P 关于直线 EF 的对称点 Q，在运动过程中，若形成
11、的四边形 PEQF 为菱形，求 t 的值；（4）在整个运动过程中，设PEF 的面积为 S，直接写出 S 关于 t 的函数关系式及 S 的最大值解：（1）3；4.5提示：在 Rt ABC 中，C90 ，AC6，BC8AB 10，sinB ，cosB ， tanB 6 2 8 2ACAB 35 BCAB 45 ACBC 34当点 P 与点 E 重合时，点 P 在 CB 边上，CP CEBCAPlFEBCA备用图BCAlFE(P)AC6，点 P 在 AC、CB 边上运动的速度分别为每秒 3、4 个单位点 P 在 AC 边上运动的时间为 2 秒，CP 4( t2 )CE t，4( t2 ) t，解得
12、t343 43当点 P 与点 F 重合时，点 P 在 BA 边上，BP BFAC6，BC8，点 P 在 AC、CB、BA 边上运动的速度分别为每秒 3、4、5 个单位点 P 在 AC、CB 边上运动的时间共为 4 秒，BFBP5( t4 )CE t，BE8 t43 43在 Rt BEF 中， cos BBEBF ，解得 t4.545（2）由题意，PEFMENEFAC， C90， BEF90 ，CPE PEFENAB， BMENCPEB，tan CPE tan BtanCPE ，tanB CECP ACBC 34 ，CP CECECP 34 43AP3t（0 t 2） ，CE t，CP63t43
13、63t t，解得 t 43 43 5443（3）连接 PQ 交 EF 于 OP、Q 关于直线 EF 对称，EF 垂直平分 PQ若四边形 PEQF 为菱形，则 OEOF EF12当点 P 在 AC 边上运动时易知四边形 POEC 为矩形，OEPCPC EF12CE t，BE8 t，EFBE tanB ( 8 t )6 t43 43 34 4363t ( 6t )，解得 t 12 65当点 P 在 CB 边上运动时，P、E、Q 三点共线，不存在四边形 PEQF当点 P 在 BA 边上运动时，则点 P 在点 B、F 之间BE8 t， BF ( 8 t )10 t43 BEcosB 54 43 53B
14、P5( t4 )，PF BFBP10 t5( t4 )30 t53 203POFBEF90，POBE，OPFB在 Rt POF 中， sinBOFPFEBOCAPlFQEBMCAPlFNEBCA PlFQOBCAlFE(P) ，解得 t 35 307当 t 或 t 时，四边形 PEQF 为菱形65 307（4）S S 的最大值为 1635 （北京模拟）在等腰梯形 ABCD 中，ABCD，AB10，CD6，ADBC4点 P 从点 B 出发，沿线段 BA 向点 A 匀速运动，速度为每秒 2 个单位，过点 P 作直线 BC 的垂线 PE，垂足为 E设点 P 的运动时间为 t（秒） （1）A_ ；（2
15、）将PBE 沿直线 PE 翻折，得到PB E，记PB E 与梯形 ABCD 重叠部分的面积为 S，求 S 与 t 之间的函数关系式，并求出 S 的最大值；（3）在整个运动过程中，是否存在以点 D、P、B 为顶点的三角形为直角三角形或等腰三角形？若存在，求出 t 的值；若不存在，请说明理由解：（1）60（2）AB60，PBPB PB B 是等边三角形PBPB BB 2t，BE B Et，PE t3当 0t 2 时SS PB E BEPE t t t 212 12 3当 2t 4 时SS PB E SFB C t 2 ( 2t4 )2 t 24 t43 3当 4t 5 时设 PB、PE 分别交 D
16、C 于点 G、H ，作 GKPH 于 KPB B 是等边三角形，B PB60 APGAD ，又 DGAP四边形 APGD 是平行四边形PGAD 4ABCD，GHP BPHGPH BPH B PB3012GHP GPH30 ，PG GH4ACBDPEBACBD备用图ACBDPEBFACBDPEBGK PG2，PKKHPG cos30212 3PH2PK4 3SS PGH PHGK 4 2412 12 3 3综上得，S 与 t 之间的函数关系式为：S （3）若DPB 90B PB60，DPA 30又A60 ，ADP 90AP2AD ，102t8，t 1若PDB 90作 DM AB 于 M，DNB
17、B 于 N则 AM2，DM2 ，NC 3，DN 33 3PM|1022t|82t|NB|342 t|72t|DP 2DM 2PM 2( 2 )2( 82t )2( 82t )2123DB 2DN 2NB ( 3 )2( 72t )2( 72t )2273DP 2DB 2B P 2( 82t )212( 72t )227( 2t )2解得 t1 5（舍去） ，t 2 若DB P90，则 DB 2B P 2DP 2( 72t )227( 2t )2( 82t )212解得 t11（舍去） ，t 20（舍去）存在以点 D、P、B 为顶点的三角形为直角三角形，此时 t1 或 t 若 DPB P，则(
18、82t )212( 2t )2解得 t 198若 BDB P，则( 72t )227( 2t )2解得 t 197若 DPDB ，则( 82t )212 ( 72t )227解得 t0（舍去）存在以点 D、P、B 为顶点的三角形为等腰三角形，此时 t 或 t 198 1976 （北京模拟）已知二次函数 y mx 23mx2 的图象与 x 轴交于点 A（2 ，0） 、点 B，与 y 轴交3于点 C（1）求点 B 坐标；（2）点 P 从点 C 出发以每秒 1 个单位的速度沿线段 CO 向 O 点运动，到达点 O 后停止运动，过点 P 作PQAC 交 OA 于点 Q，将四边形 PQAC 沿 PQ 翻
19、折，得到四边形 PQAC，设点 P 的运动时间为 tACBDPEBG HKACBDPEBACBDPEBMNACBDPEBACBDPBE当 t 为何值时，点 A 恰好落在二次函数 y mx 23mx2 图象的对称轴上；设四边形 PQAC 落在第一象限内的图形面积为 S，求 S 关于 t 的函数关系式，并求出 S 的最大值解：（1）将 A（2 ，0）代入 y mx 23mx 23得 0 m( 2 )23m 2 2，解得 m 3 3y x 2 x213 3令 y0，得 x 2 x20，解得：x 1 ，x 2213 3 3 3B（ ，0）3（2）由 y x 2 x2，令 x0，得 y213 3C（0，
20、2）y x 2 x2 ( x )2 13 3 13 323 14二次函数图象的对称轴为直线 x 323过 A 作 AHOA 于 H在 Rt AOC 中， OC 2，OA2 3OAC30，OCA60PQA150，A QH60，AQ A Q2QH点 A 在二次函数图象的对称轴上 解得 QH AQ ，CP13t1分两种情况：）当 0t 1 时，四边形 PQAC 落在第一象限内的图形为等腰三角形 QADDQA Q t3AHAQ sin60 t t332SS A DQ t t t 212 3 32当 0t 1 时，S 随 t 的增大而增大当 t1 时，S 有最大值 ）当 1t 2 时，四边形 PQAC
21、落在第一象限内的图形为四边形 EOQAS 四边形 EOQA S 梯形 PQAC SOPQ SP CE2 ( 2t )2 ( 2t )2 t 23 t 24 t23 3ABCOAxPHCy(Q)ABCOAxPQ HDCyABCOAxPQ HECy t 24 t2 ( t )2 3 385且 1 2，当 t 时， S 有最大值 85 85 ，S 的最大值是 7（北京模拟）已知梯形 ABCD 中，ADBC，A120，E 是 AB 的中点，过 E 点作射线 EFBC ，交 CD 于点 G，AB、AD 的长恰好是方程 x 24xa 22a50 的两个相等实数根，动点 P、Q 分别从点A、E 出发，点 P
22、 以每秒 1 个单位长度的速度沿 AB 由 A 向 B 运动，点 Q 以每秒 2 个单位长度的速度沿EF 由 E 向 F 运动，设点 P、Q 运动的时间为 t（秒） （1）求线段 AB、AD 的长；（2）当 t 1 时，求DPQ 的面积 S 与时间 t 之间的函数关系式；（3）是否存在DPQ 是直角三角形的情况，如果存在，求出时间 t；如果不存在，请说明理由解：（1）由题意，4 24( a 22a5 )4( a1 )20a1原方程可化为 x 2440，解得x 1x 22ABAD 2（2）作 AHBC 于 H，交 EG 于 O，DKEF 于 K，PMDA 交 DA 的延长线于 MADBC，A12
23、0，ABAD 2B60 ，AH 3E 是 AB 中点，且 EFBC，AODK APt，PM tt 1，点 P 在点 E 下方延长 FE 交 PM 于 S，设 DP 与 EF 交于点 N则 PS t ADBC，EF BC，EFAD ， ENAD PEPA EN2 t 1tEN ，QN2t 2(t 1)t 2(t 1)tS ( 2t )( t )12 2(t 1)t t 2 t 即 S t 2 t （t 1）（3）由题意，AM t，DM2 t12 12ABDQCPE FGABDQCPE FN GS ONKHMDP 2DM 2 PM 2( 2 t )2( t )2t 22t412又 DQ 2DK 2
24、KQ 2( )2( 2t 2 )24t 210t712PQ 2PS 2SQ 2( t )2( 2t )27t 24t1t 12若PDQ 90，则 DP 2DQ 2PQ 2t 22t44t 210t77t 24t 1解得 t 1（舍去负值）6若DPQ 90，则 PD 2PQ 2DQ 2t 22t47t 24t14t 2 10t7解得 t 1（舍去负值）若DQP 90，则 DQ 2PQ 2PD 24t 210t77t 24t1t 22t 4解得 t 综上所述，存在DPQ 是直角三角形的情况，此时 t 1，t 1，t 68 （天津模拟）如图，在平面直角坐标系中，直 yx4 交 x 轴于点 A，交 y
25、 轴于点 B在线段 OA2上有一动点 P，以每秒 个单位长度的速度由点 O 向点 A 匀速运动，以 OP 为边作正方形 OPQM 交 y 轴2于点 M，连接 QA 和 QB，并从 QA 和 QB 的中点 C 和 D 向 AB 作垂线，垂足分别为点 F 和点 E设 P 点运动的时间为 t 秒，四边形 CDEF 的面积为 S1，正方形 OPQM 与四边形 CDEF 重叠部分的面积为 S2（1）直接写出 A 点和 B 点坐标及 t 的取值范围；（2）当 t1 时，求 S1 的值；（3）试求 S2 与 t 的函数关系式（4）直接写出在整个运动过程中，点 C 和点 D 所走过的路程之和解：（1）A（4 ，0） 、B（ 0，4 ） ，0t 42 2（2）过 Q 作 QHAB 于 HC、D 分别是 QA 和 QB 的中点CDAB ，CD AB 4 412 12 2 2CFAB，DEAB，CFDE四边形 CDEF 是平行四边形又CFAB， 四边形 CDEF 是矩形CFAB，QH AB ，CFQH又C 是 QA 中点，CF QH12连接 OQyP AQxODCFBMEyP AQxODCFBMEH1 23 4
