1、开始输入xx1?2xy22 logy x 结束输出y是否秘密启用前 试卷类型：A 2018年广州市普通高中毕业班综合测试（二） 理科数学 20184 编辑：李志刚 微信 （2）令n nb na , 求数列 nb 的前n项和nS . 17（1）证明：由2 21 13 2n n n na a a a ，得2 21 12 3 0n n n na a a a ， 得1 1( )( 3 ) 0n n n na a a a 1分 由已知 0na ，得10n na a ，所以13n na a 2分 所以数列 na 是公比为3的等比数列3分 2 4 33 3a a a 得1 1 13 27 3 (9 3)a
2、a a 4分 解得13a 5分 所以 3nna 6分 另法：由2 21 13 2n n n na a a a 且 0na 得21 12 3 0n nn na aa a 得1 11 3 0n nn na aa a 1分 由已知 0na 得11 0nnaa 所以13 0nnaa ，即13n na a 2分 所以数列 na 是公比为3的等比数列3分 2 4 33 3a a a 得1 1 13 27 3 (9 3)a a a 4分 解得13a 5分 所以 3nna 6分 （2）解法1：由 3nn nb na n ，则 2 3 11 2 3 13 2 3 3 3 ( 1) 3 3n nn n nS b
3、b b b b n n 7分 2 3 4 13 3 2 3 3 3 ( 1) 3 3n nnS n n 8分 ，得2 3 12 3 3 3 3 3n nnS n 9分 13 (1 3 )31 3nnn 10分 11 332 2nn 11分 所以11 332 4 4nnnS 12分 解法2：由11 3 1 3( 1) 3 32 4 2 4n nn nb na n n ，8分 则1 2 3 1n n nS b b b b b 2 3 2 4 31 1 3 1 5 33 3 3 3 3 34 4 4 4 4 4 1 11 3 1 3 1 3 1 33 ( 1) 3 ( 1) 3 32 4 2 4 2
4、 4 2 4n n n nn n n n 11分 13 134 2 4nn 12分 18（本小题满分12分） 如图，已知三棱柱1 1 1ABC ABC 的底面是边长为1的正三角形，1 1AA AC ， 侧面1 1AACC 底面ABC，直线1AB与平面1 1AACC 所成角为60 （1）证明: 1 1AA AC ； （2）求二面角1A AB C 的余弦值 18（1）证明：取AC的中点O，连接1,AO BO 由于 ABC 是正三角形，则BO AC 1分 因为平面1 1AACC 底面ABC，且平面1 1AACC 底面ABC AC BO平面ABC， A1C1B1C B A 所以BO平面1 1AACC
5、所以1OAB 是直线1AB与平面1 1AACC 所成的角2分 依题意得160OAB 3分 由于 ABC 是边长为1的正三角形，则32BO 在1Rt AOB 中111tan 2BOAOOAB 4分 由于1 1AA AC ，则1AO AC 由于112AO OA OC ，则1 1 145OAA OAA OAC 所以1 1 190AAC OAA OAC 5分 所以1AA AC 6分 （2）解法1：过A作1AD AB 于D连接CD 在1AAB 和1ACB 中1 1 1 1, ,AB BC AA AC AB AB 所以1 1AAB ACB 7分 所以1CD AB 且CD AD 所以 ADC 是二面角1A
6、AB C 的平面角8分 在1Rt AOB 中，2 21 11AB AO BO 9分 在1Rt AOA 中，2 21 122AA AO AO 10分 由1221 1 11 1 12 2 2AABS AA AB AA AB AD 解得74AD 则74CD AD 11分 在 ADC 中2 2 21cos2 7AD CD ACADCAD CD 所以二面角1A AB C 的余弦值为17 12分 ABCA1B1C1OD解法2：由（1）可得1AO平面ABC 7分 以O为原点1, ,OB OC OA所在直线为x轴，y轴，z轴建立如图所示空间直角坐标系O xyz ，则11 3 1 10, ,0 , ,0,0 ,
7、 0, ,0 , 0,0,2 2 2 2A B C A 8分 所以1 13 1 1 1 3 1 1 1, ,0 , 0, , , , ,0 , 0, ,2 2 2 2 2 2 2 2AB AA BC CA 设平面1AAB的法向量为1 1 1 1( , , )n x y z 则1 1 11 1 1 13 102 21 102 2n AB x yn AA y z ，令11x ，得1 13, 3y z 所以平面1AAB的一个法向量为1(1, 3, 3)n 9分 设平面1ABC的法向量为2 2 2 2( , , )n x y z， 则2 2 22 1 2 23 102 21 102 2n BC x y
8、n CA y z ，令21x ，得2 23, 3y z 所以平面1ABC的一个法向量为2(1, 3, 3)n 10分 则1 21 21 21cos ,7n nn nn n 11分 而二面角1A AB C 为钝角，所以二面角1A AB C 的余弦值为17 12分 ABCA1B1C1Oxyz19（本小题满分12分） 某工厂生产的A产品按每盒10件包装，每盒产品需检验合格后方可出厂，检验方案是：从每盒10件产品中任取4件，4件都做检验，若4件都为合格品，则认为该盒产品合格且其余产品不再检验；若4件中次品数多于1件，则认为该盒产品不合格且其余产品不再检验；若4件中只有1件次品，则把剩余的6件采用一件一
9、件抽取出来检验，没有检验出次品则认为该盒产品合格，检验出次品则认为该盒产品不合格且停止检验假设某盒A产品中有8件合格品，2件次品 （1）求该盒A产品可出厂的概率； （2）已知每件产品的检验费用为10元，且抽取的每件都需要检验，设该盒A产品的检验费用为X (单位：元) （）求 40P X ； （）求X的分布列和数学期望EX 19解：（1）依题意，该盒A产品可出厂即任取的4件产品都为合格品 1分 从10件产品中任取4件的基本事件数为410C 4件都为合格品的事件数为48C 2分 故该盒A产品可出厂的概率为4841013CPC 3分 （2）（i）该盒A产品的检验费用 40X 元表示只检验4件产品就停
10、止检验4分 记“从该盒10件产品中任取4件产品都为合格品”为事件1T “从该盒10件产品中任取4件产品，2件为合格品，2件为次品”为事件2T 事件1T与事件2T 为互斥事件5分 则2 28 21 2 1 2 4101 7( 40) ( ) ( ) ( )3 15C CP X P T T P T P TC 7分 （ii）X的可能取值为40，50，60，70，80，90，1008分 则3 18 24107 1 4( 40) , ( 50)15 6 45C CP X P XC 9分 3 1 3 18 2 8 24 410 105 1 4 5 4 1 4( 60) , ( 70)6 5 45 6 5
11、4 45C C C CP X P XC C 同理4 4 4( 80) , ( 90) , ( 100)45 45 45P X P X P X 10分 所以X的分布列为： X 40 50 60 70 80 90 100 P 71544544544544544544511分 7 4 4 4 4 4 4 240 50 60 70 80 90 100 5815 45 45 45 45 45 45 3EX 12分 20（本小题满分12分） 已知O为坐标原点，点 (0,2)R ，F是抛物线 2: 2 0C x py p 的焦点， 3RF OF （1）求抛物线C的方程； （2）过点R的直线l与抛物线C相交于
12、 ,A B两点，与直线 2y 交于点M ，抛物线C在点A,B处的切线分别记为1 2,l l ，1l 与2l 交于点N，若 MON 是等腰三角形， 求直线l的方程. 20（1）因为F是抛物线 2: 2 0C x py p 的焦点，所以点F的坐标为 0,2p 因为点 (0,2)R ， 3RF OF 则2 32 2p p 1分 解得： 1p 或 2p （舍去） 2分 所以抛物线C的方程为22x y 3分 （2）解法1：依题意，设直线l的方程为 2 ( 0)y kx k 由22yy kx ，解得42xky，所以点4, 2Mk 4分 由222x yy kx ，消去y得22 4 0x kx ，设1 1 2
13、 2( , ), ( , )A x y B x y 则1 2 1 22 , 4x x k xx 5分 由22xy ，得y x 则抛物线C在点A处的切线1l的方程为1 1 1( )y y x x x 由于点A在抛物线上，则2112xy ，所以1l的方程为2112xy xx 6分 同理可得2l 的方程为2222xy x x 7分 由解得2x ky，即点N的坐标为( , 2)k 8分 由于212OM ONkk kk 则OM ON 9分 又 MON 是等腰三角形，则OM ON ，即22164 4kk 10分 解得 2k 11分 所以直线l的方程为 2 2y x 或 2 2y x 12分 另法：（i）若
14、OM ON ，即22164 4kk ，解得 2k ；9分 1210864225NMBARFO（ii）若MN OM ，则224 164kk k 无解；10分 （iii）若MN ON ，则2244k kk 无解11分 所以直线l的方程为 2 2y x 或 2 2y x 12分 解法2：由于点 ,A B在抛物线C上，设2 21 21 2, , ,2 2x xA x B x 则直线l的方程为2 21 21 21 22 22 22x xx xy x xx x 令 2y ，得1 28xx x 所以点1 28, 2Mx x 4分 由1 22222x xy xx y ，消去y，得21 2( ) 4 0x x
15、x x 则1 24xx 5分 由22xy ，得y x 则抛物线C在点A处的切线1l的方程为1 1 1( )y y x x x 由于点A在抛物线上，则2112xy ，所以1l的方程为2112xy xx 6分 同理可得2l 的方程为2222xy x x 7分 由解得1 2, 22x xx y ，即点N的坐标为1 2, 22x x 8分 由于1 21 28( 2) ( 2) 02x xOM ONx x 则OM ON 又 MON 是等腰三角形则OM ON ，即221 21 284 42x xx x 10分 解得1 24x x ， 11分 所以直线l的方程为为 2 2y x 或 2 2y x 12分 2
16、1（本小题满分12分） 已知函数2( )xf x e x ax （1）若函数 ( )f x 在R上单调递增，求a的取值范围； （2）若 1a ，证明：当 0x 时，2ln2 ln2( ) 12 2f x 参考数据： e 2.71828 ，ln2 0.69 21（1）解法1：由2( )xf x e x ax ，得 ( ) 2xf x e x a 1分 因为函数 ( )f x 在R上单调递增，所以 ( ) 2 0xf x e x a 得 2xa e x 2分 设 ( ) 2xg x e x ，则 ( ) 2xg x e 当 ln2x 时， ( ) 0g x ，当 ln2x 时， ( ) 0g x
17、则函数 ( )g x 在( ,ln2) 上单调递减，在(ln2, ) 上单调递增 所以当 ln2x 时， ( )g x 取得最小值ln2(ln2) 2ln2 2 2ln2g e 3分 所以 2 2ln2a ，所以a的取值范围是,2 2ln2 4分 解法2：由2( )xf x e x ax ，得 ( ) 2xf x e x a 1分 设 ( ) 2xh x e x a ，则 ( ) 2xh x e 令 ( ) 2 0xh x e ，得 ln2x 当 ln2x 时， ( ) 0h x ，当 ln2x 时， ( ) 0h x 则函数 ( )h x 在( ,ln2) 上单调递减，在(ln2, ) 上单
18、调递增 所以当 ln2x 时， ( )h x 取得最小值ln2(ln2) 2ln2 2 2ln2h e a a 2分 因为函数 ( )f x 在R上单调递增，所以 ( ) 2 0xf x e x a ，3分 由于 ( ) ( )f x h x ，则2 2ln2 0a ，得 2 2ln2a ， 所以a的取值范围是,2 2ln2 4分 （2）证明：若 1a ，则2( )xf x e x x 得 ( ) 2 1xf x e x 由（1）知函数 ( )f x 在( ,ln2) 上单调递减，在(ln2, ) 上单调递增 又 (0) 0, (1) 3 0,f f e 5分 11 ln221 11 ln2
19、2 1 ln2 1 2 3 ln2 02 2f e e 6分 则存在011,1 ln22x ，使0( ) 0f x ，即002 1 0xe x 7分 当0(0, )x x 时， ( ) 0f x ；当0( , )x x 时， ( ) 0f x 则函数 ( )f x 在0(0, )x 上单调递减，在0( , )x 上单调递增 则当0x x 时，函数 ( )f x 取得最小值020 0 0( )xf x e x x 8分 所以当 0x 时，0( ) ( )f x f x 9分 由002 1 0xe x ，得002 1xe x 则02 20 0 0 0 0 0( ) 2 1xf x e x x x
20、x x 10分 220 0 01 512 4x x x 由于011,1 ln22x ， 则2 2 20 01 5 1 1 ln2 ln2( ) 1 ln2 1 ln2 1 12 4 2 2 2 2f x x 11分 所以当 0x 时，2ln2 ln2( ) 12 2f x 12分 （二）选考题：共10分请考生在第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分 22（本小题满分10分）选修44：坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为11 ,2(3,2x tty t 为参数) . 以坐标原点为极点， 以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为 2 21
21、2sin 0a a （1）求l的普通方程和C的直角坐标方程； （2）若l与C相交于A，B两点，且 AB 2 35，求a的值 22（1）解：由11 ,23,2x ty t 消去t，得l的普通方程为 3( 1)y x ，即 3 3 0x y 2分 由 2 21 2sin a ，得2 2 22 sin a 3分 把2 2 2, sinx y y 代入上式，得2 23x y a ， 所以C的直角坐标方程为2 23x y a 5分 （2）解法1：把11 ,23,2x ty t 代入2 23x y a 得25 2 2 2 0t t a （*）6分 设 ,A B两点对应的参数分别为1 2,t t ，则1 2
22、 1 22 2 2,5 5at t tt ，7分 221 2 1 2 1 22 2 2 2 10 9( ) 4 45 5 5a aAB t t t t tt 8分 又2 35AB ，所以2 10 9 2 35 5a 解得65a 9分 此时，（*）式的判别式64 4 5 2 2 12 05 ，所以a的值为6510分 解法2：由2 23( 1)3y xx y a ，消去y，得210 18 9 0x x a （*） 6分 设1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y ，得1 2 1 29 9,5 10ax x xx 7分 21 2 1 281 9 2 10 9(1 3) ( ) 4
23、 4 425 10 5a aAB x x xx 8分 又2 35AB ，所以2 10 9 2 35 5a 解得65a 9分 此时，（*）式的判别式6324 40 9 324 360 48 12 05 ， 所以a的值为6510分 23（本小题满分10分）选修45：不等式选讲 已知函数 ( ) 2 1 2 1f x x x ，不等式 ( ) 2f x 的解集为M （1）求M ； （2）证明：当 ,a b M 时， 1a b a b 23（1）解： ( ) 2f x ，即2 1 2 1 2x x 1分 当12x 时， (2 1) (1 2 ) 2x x ，解得12x- ，故12x ；2分 当1 12
24、 2x 时，(2 1) (2 1) 2x x ，即2 2 ，故1 12 2x ；3分 当12x 时，(2 1) (2 1) 2x x ，解得12x ，故12x 4分 所以不等式 ( ) 2f x 的解集1 12 2M x x 5分 （2）证明：当 ,a b M 时，即1 1 1 1,2 2 2 2a b 得1 1,2 2a b 当( )( ) 0a b a b 时， ( ) ( ) 2 1a b a b a b a b a ；7分 当( )( ) 0a b a b 时， ( ) ( ) 2 1a b a b a b a b b ；9分 所以 1a b a b 10分 另法：当 ,a b M 时，即1 1 1 1,2 2 2 2a b 得1 1,2 2a b 2 2 222 2 2 22 2 24 ,2 24a a ba b a b a b a bb a b 7分 由于2 21 1,4 4a b 则2 24 1, 4 1a b 8分 故 21a b a b 9分 所以 1a b a b 10分
