1、平行四边形的判定一、选择题(每小题 4 分,共 12 分)1.(2013荆门中考)四边形 ABCD 中,对角线 AC,BD 相交于点 O,给出下列四个条件:ADBC;AD=BC;OA=OC;OB=OD.从中任选两个条件,能使四边形 ABCD 为平行四边形的选法有( )A.3 种 B.4 种 C.5 种 D.6 种2.若以 A(-0.5,0),B(2,0),C(0,1)三点为顶点要画平行四边形,则第四个顶点不可能在( )A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限3.(2013鄂州中考)如图,已知直线 ab,且 a 与 b 之间的距离为 4,点 A 到直线 a 的距离为 2,点 B 到直
2、线 b 的距离为 3,AB=2 .试在直线 a 上找一点 M,在直线 b 上找一点 N,满足 MNa 且 AM+MN+NB 的值最小,则此时AM+NB=( )A.6 B.8 C.10 D.12二、填空题(每小题 4 分,共 12 分)4.(2013三明中考)如图,在四边形 ABCD 中,ABCD,请你添加一个条件,使得四边形 ABCD 成为平行四边形,你添加的条件是 .5.如图,在平行四边形 ABCD 中,AE=CG,DH=BF,连接 EF,FG,GH,HE,则四边形 EFGH 是 .6.(2013十堰中考)如图,ABCD 中,ABC=60,E,F 分别在 CD 和 BC 的延长线上,AEBD
3、,EFBC,EF= ,则AB 的长是 .三、解答题(共 26 分)7.(8 分)在ABCD 中,分别以 AD,BC 为边向内作等边ADE 和等边BCF,连接 BE,DF.求证:四边形 BEDF 是平行四边形.8.(8 分)如图所示,AB,CD 交于点 O,ACDB,AO=BO,E,F 分别为 OC,OD 的中点,连接 AF,BE,求证 AFBE.【拓展延伸】9.(10 分)如图 1,在OAB 中,OAB=90,AOB=30,OB=8.以 OB 为一边,在OAB 外作等边三角形 OBC,D是 OB 的中点,连接 AD 并延长交 OC 于 E.(1)求点 B 的坐标.(2)求证:四边形 ABCE
4、是平行四边形.(3)如图 2,将图 1 中的四边形 ABCO 折叠,使点 C 与点 A 重合,折痕为 FG,求 OG 的长.答案解析1.【解析】选 B.从四个条件中任选两个,共有 6 种选法.若选、或选、,则不能使四边形 ABCD 是平行四边形.其他 4 种选法,即选、或、或、或、,则均能使四边形 ABCD 为平行四边形.2.【解析】选 C.根据题意画出图形,如图所示:分三种情况考虑:以 CB 为对角线作平行四边形 ABD1C,此时第四个顶点 D1落在第一象限;以 AC 为对角线作平行四边形 ABCD2,此时第四个顶点 D2落在第二象限;以 AB 为对角线作平行四边形 ACBD3,此时第四个顶
5、点 D3落在第四象限,则第四个顶点不可能落在第三象限.3.【解析】选 B.作点 A 关于直线 a 的对称点 A,连接 AB 交直线 b 于点N,过点 N 作 NM直线 a,连接 AM,此时 AM+MN+NB 的值最小.A 到直线 a 的距离为 2,a 与 b 之间的距离为 4,AA=MN=4,四边形 AANM 是平行四边形,AM+NB=AN+NB=AB,过点 B 作 BEAA,交 AA于点 E,易得 AE=2+4+3=9,AB=2 ,AE=2+3=5,在 RtAEB 中,BE= = ,在 RtAEB 中,AB= =8.4.【解析】已知 ABCD,可根据有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形来
6、判定,也可根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形来判定.答案:AB=CD(答案不唯一)5.【解析】易证AHECFG,DHGBFE,HE=FG,EF=GH,四边形 EFGH 是平行四边形.答案:平行四边形6.【解析】四边形 ABCD 是平行四边形,ABDC,AB=CD.AEBD,四边形 ABDE 是平行四边形,AB=DE=CD,即 D 为 CE 中点.EFBC,EFC=90.ABCD,DCF=ABC=60,CEF=30.EF= ,CE=2,AB=1.答案:17.【证明】四边形 ABCD 是平行四边形,CD=AB,AD=CB,DAB=BCD.又ADE 和BCF 都是等边三角形,DE=BF,AE=
7、CF,DAE=BCF=60.DCF=BCD-BCF,BAE=DAB-DAE,DCF=BAE.DCFBAE(SAS).DF=BE.四边形 BEDF 是平行四边形.8.【证明】如图所示,连接 AD,CB,AE,BF,ACDB,1=2.又AO=BO,3=4,ACOBDO(AAS).AC=DB.四边形 ADBC 是平行四边形.OC=OD.点 E,F 分别为 OC,OD 的中点,OE= OC,OF= OD.OE=OF.OA=OB,四边形 AFBE 是平行四边形.AFBE.9.【解析】(1)AOB=30,OB=8,AB=4,OA=4 ,B(4 ,4).(2)OBC 是等边三角形,OC=OB=8.D 点为 OB 的中点,OD=4.又AD 是 RtOAB 斜边的中线,AD= OB=OD,ODA=180-230=120,EDO=60.又EOD=60,OED 为等边三角形,OE=4,E(0,4),CE=4,CE=AB.又CEAB,四边形 ABCE 是平行四边形.(3)GA=GC,GA 2=GC2.即 OG2+OA2=(OC-OG)2,OG2+(4 )2=(8-OG)2,OG=1.
